Dołącz do czytelników
Brak wyników

Matematyka dawniej i dziś

6 lutego 2019

NR 36 (Styczeń 2019)

Harmonia sfer

0 178

Treścią tego cyklu będą szerokie rozmyślania na temat związków matematyki z muzyką. Czytelnikowi nie zostanie przedstawiona żadna teoria, nie zostanie obroniona żadna hipoteza – poza tą, że matematyka i muzyka są ze sobą pewien sposób powiązane.

Można spotkać się ze stwierdzeniem, że matematyka i muzyka mają ze sobą dużo wspólnego. Ale co dokładnie?
Pierwsze podobieństwo narzuca się samo. Kiedy powstała muzyka? Kiedy tylko ludzie zaczęli się ze sobą porozumiewać. Kiedy powstała matematyka? Niedługo potem. Obie te sztuki – tak, sztuki – towarzyszą człowiekowi od zarania dziejów. Od zawsze zarówno matematyka, jak i muzyka były obecne w życiu człowieka.
Co to znaczy: rozumieć muzykę? Rozumieć budowę utworu muzycznego? Jego przesłanie? Treść? A może chodzi tu o coś innego, o coś więcej? Rozumieć muzykę znaczy rozumieć cel, dostrzec sens całego przedsięwzięcia. Zauważyć oświecenie, które towarzyszyło twórcy; natchnienie – ten dziwny stan, który nie pozwalał zasnąć… Z kompletnej nicości powstało coś wartościowego, jedynego w swoim rodzaju.

Powstaje dzieło

A co to znaczy – rozumieć matematykę? Wiele osób powie, że rzecz w zrozumieniu piękna matematyki, w zrozumieniu, że te „dziwne znaczki” mogą mieć w sobie coś, co nie pozwala skupić myśli na czymkolwiek innym, co wymaga poświęcenia im całkowitej uwagi, mnóstwa czasu… Muzyk dostrzeże piękno matematyki, wyrażające się w prostocie, w dokładności, minimalizmie; piękno ukryte w elegancko przeprowadzonych dowodach, zwięźle i jednoznacznie sformułowanych aksjomatach, w najbardziej uniwersalnym języku ze wszystkich…

Kość z Ishango, datowana na epokę górnego paleolitu. Przypuszcza się, że służyła do prostych obliczeń matematycznych
Divje Babe – flet z kości, mający ponad 41 000 lat

A co wiadomo o artystach? O wybitnych matematykach, o wybitnych muzykach? Wszak obie te dziedziny to nie tylko nauka, ale również sztuka! Co do muzyki, nikt nie ma chyba wątpliwości – muzyka jest gałęzią sztuki kreowaną za pomocą świata dźwięków. Pozostaje tworem abstrakcyjnym, nieprzedstawiającym żadnych pojęć – w przeciwieństwie do sztuk wizualnych.
Ale matematyka sztuką? Tak! I wcale nie dlatego, że jest trudna i sztuka pojąć to rozumowanie albo że ten, kto to wymyślił, musiał być geniuszem… Matematyka jest sztuką, ponieważ jest abstrakcyjna. Widział ktoś w rzeczywistości idealny torus? Czy widział go tylko oczami wyobraźni? To, co można zobaczyć w codziennym życiu, to przybliżenie torusa w postaci – dajmy na to – ciasteczka z dziurką. Gdy zaczniemy bliżej zajmować się naszym ciasteczkiem i zechcemy na przykład obliczyć jego objętość, potraktujemy je jako torus, ale torus wyidealizowany. To nasza wyobraźnia zrobi z ciasteczka torus i wtedy już bez przeszkód będzie można obliczyć jego objętość.

Torus, formalnie poprawnie: grafika, która próbuje zobrazować rzut (nadal nieidealnego) modelu torusa

Matematyk w swojej pracy cały czas musi używać wyobraźni. Oczami wyobraźni musi widzieć to, co na kartce nie wygląda już ładnie, nie jest czytelne; widzieć to, czego na papier przenieść nie można. Ponadto obiekty ruszają się, coś się z nimi dzieje. Po okręgu porusza się drugi okrąg, styczny doń wewnętrznie. Tak jakbyśmy obserwowali koło roweru jeżdżącego w kółko po ścianach kanału. Punkt na mniejszym okręgu rysuje pewną krzywą. Gdy stosunek długości promieni obu okręgów będzie odpowiedni, krzywa zamknie się i będzie posiadała cztery ramiona. Taką sytuację trudno uwidocznić na papierze. Matematyk musi stworzyć ją sobie w wyobraźni. Jest artystą. Porusza się w świecie dostępnym niewielu. I buduje nowe światy. Bada własności obiektów w nich żyjących. Analizuje. Tworzy. I odkrywa.
Obie te sztuki to twory abstrakcyjne. A sztuka abstrakcyjna jest elitarna. Przeciętny człowiek nie zna na ogół kodów tworzonych przez fachowców i dla fachowców. Doskonałych przykładów dostarcza muzyka. Utwory Krzysztofa Pendereckiego są zrozumiałe dla wąskiego grona koneserów. A ile osób rozumie Grundlagen der Arithmetik Fregego?
Obie dziedziny wymagają bezwzględnego oddania, posłuszeństwa. Nie można być matematykiem albo muzykiem tylko trochę. Praca musi stać się pasją -– by nie powiedzieć obsesją. Artyści poświęcili swojej pasji całe życie: Mozart, który jeszcze czwartego grudnia 1791 roku – noc przed śmiercią – dyktował swojemu uczniowi kolejną sekwencję Requiem; Cantor, u którego niemożność rozwiązania problemu hipotezy continuum była jedną z przyczyn załamania nerwowego wiosną 1884 roku i później zdiagnozowanej choroby psychicznej. Obie dziedziny wymagają od swoich twórców wyrzeczeń i dostarczają wielu emocji. Wspomnijmy Schumanna, u którego aparat do rozciągania dłoni własnego pomysłu spowodował trwały paraliż jednego z palców prawej ręki, i raz jeszcze Cantora, który w 1878 roku, zaskoczony równolicznością R i Rn, w liście do Dedekinda pisał: „Widzę to, ale nie wierzę!”. To nic, że Paderewski był politykiem, Euler znał się na fizyce, Verdi zasiadał w parlamencie włoskim, a Leibniz pracował jako bibliotekarz. To nic, że Berlioz studiował medycynę, Beethoven filozofię, a Viete skończył prawo. Wszyscy oni poświęcili się sztuce i jako artyści zostali zapamiętani.

Asteroida

Najbardziej wartościowe dzieła powstają często przez przypadek. Wystarczy tu wspomnieć kawiarniane życie Szkoły Lwowskiej czy nieudolne próby odtworzenia teatru antycznego przez muzyków Cameraty Florenckiej, które doprowadziły do odkrycia recytatywu. Albo słynny zapisek Fermata, który przecież zajmował się matematyką tylko amatorsko: „Jest niemożliwe, by rozłożyć sześcian na dwa sześciany, czwartą potęgę na dwie czwarte i ogólnie potęgę wyższą niż druga na dwie takie potęgi; znalazłem naprawdę zadziwiający dowód tego twierdzenia, jed...

Pozostałe 70% treści dostępne jest tylko dla Prenumeratorów.

Co zyskasz, kupując prenumeratę?
  • 6 wydań czasopisma "Matematyka"
  • Dostęp do wszystkich archiwalnych artykułów w wersji online
  • Możliwość pobrania materiałów dodatkowych, testów i zadań
  • ...i wiele więcej!
Sprawdź

Przypisy