Wpływ odzyskania niepodległości przez Polskę na nauczanie matematyki w szkołach średnich

Jedną z największych reform z początku XX wieku, związanych z nauczaniem matematyki w szkołach średnich, był tzw. Program Merański. Został on przygotowany przez Felixa Kleina – matematyka z Getyngi. Program Merański zmieniał ogólną organizację szkolnictwa. Stanowił, iż od 1905 roku będzie miało miejsce równouprawnienie gimnazjów, gimnazjów realnych oraz wyższych szkół realnych. W każdej z tych szkół miało się przykładać jednakową wagę do kształcenia w zakresie przedmiotów zarówno matematyczno-przyrodniczych, jak i filologiczno-historycznych¹. Wszystkim szkołom nadano charakter ogólnokształcący, a ich absolwenci mieli wstępować na studia uniwersyteckie na jednakowych zasadach.

Ogólne cele nauczania według Programu Merańskiego były następujące:

• O1. umiejętność logicznego myślenia,
• O2. umiejętność samodzielnego myślenia,
• O3. umiejętność matematyzowania zjawisk przyrody,
• O4. świadomość, że matematyka odgrywa ważną rolę we wszystkich dziedzinach życia i jest niezbędna dla ludzi i społeczeństwa przemysłowego.

Cele specyficzne:

• S1. kształcenie wyobraźni przestrzennej,
• S2. wyrabianie nawyków myślenia funkcyjnego,
• S3. wiązanie ze sobą różnych zagadnień matematycznych,
• S4. zwracanie uwagi na zastosowania matematyki,
• S5. zachowanie równowagi pomiędzy zastosowaniami matematyki a teorią,
• S6. wspólne podejście do planimetrii i stereometrii,
• S7. nacisk na historię matematyki.

Zalecane metody dydaktyczne:

• M1. metoda genetyczna – „należy wiązać idee, umieścić nową wiedzę z wiedzą już zdobytą w związku nierozłącznym, w końcu powiązać wiedzę z resztą materiału edukacyjnego szkoły bardziej i bardziej, aby połączenie wiedzy było coraz większe, a uczniowie bardziej świadomi”,
• M2. zasada psychologiczna – materiał powinien być dostosowany do przebiegu rozwoju intelektualnego uczniów,
• M3. zasada użyteczności – pokazywanie, że matematyka ma ogromne znaczenie w życiu codziennym.

Program Merański od 1905 roku zaczęto powoli wdrażać do szkół pruskich, również do tych funkcjonujących na ziemiach polskich pod zaborem pruskim. Zdobywał on coraz większą rzeszę zwolenników. Wybrane postulaty Programu Merańskiego wprowadzano też do szkół z polskim językiem wykładowym pod zaborem austriackim. Porównamy teraz programy nauczania matematyki realizowane w roku szkolnym 1908/1909 w polskojęzycznym Gimnazjum im. Mickiewicza we Lwowie (zabór austriacki)² oraz w Gimnazjum Toruńskim z niemieckim językiem wykładowym (zabór pruski)³.

Gimnazjum im. Mickiewicza we Lwowie i Gimnazjum Toruńskie były szkołami sześcioklasowymi. We Lwowie nauka w każdej klasie trwała jeden rok. W Toruniu klasy III, II i I były dwuletnie, dlatego zakres omawianego materiału był szerszy.

Porównując powyższe programy nauczania, można zauważyć, że w roku szkolnym 1908/1909 Gimnazjum im. Mickiewicza we Lwowie i Gimnazjum Toruńskie realizowały kilka postulatów Programu Merańskiego. W Gimnazjum we Lwowie realizowano postulat wspólnego podejścia do planimetrii i stereometrii (postulat S.6.). Najpierw zapoznawano uczniów z podstawowymi obiektami stereometrycznymi, a następnie na ich bazie wprowadzano podstawowe pojęcia planimetryczne. Geometrię omawiano już w najniższej klasie – VI. W Gimnazjum Toruńskim ten postulat Programu Merańskiego nie był realizowany. Naukę geometrii rozpoczynano w klasie IV od omówienia podstawowych pojęć planimetrycznych. Stereometrię wprowadzano dopiero w najwyższej klasie – I.

W Gimnazjum Toruńskim przywiązywano dużą wagę do zadań konstrukcyjnych. Pozwalało to realizować postulaty: wyrabiania umiejętności logicznego myślenia (O.1.), kształcenia wyobraźni przestrzennej (S.1.), stosowania metody genetycznej w nauczaniu (M.1.) oraz wyrabiania nawyków myślenia funkcyjnego (S.2.) – obserwowania, w jaki sposób zmiana jednych wielkości wpływa na zmianę innych oraz szukania relacji łączącej pewne wielkości. Zadania konstrukcyjne w Gimnazjum Toruńskim często były bardzo złożone, wieloetapowe i wymagały dobrej znajomości twierdzeń geometrycznych. Przykładowe zadanie:

Zadanie⁴

Skonstruuj czworokąt, znając jego dwa stykające się boki, stosunek dwóch pozostałych boków oraz obie przekątne.

W programie nauczania Gimnazjum im. Mickiewicza we Lwowie nie zostały wymienione konstrukcje geometryczne. Wyobraźnia przestrzenna (S.1.) była tam kształtowana w trakcie omawiania wszelkich zagadnień stereometrycznych, umiejętność logicznego myślenia (O.1.) – przy analizowaniu twierdzeń matematycznych i przeprowadzaniu dowodów. Trudno powiedzieć, czy w Gimnazjum we Lwowie był realizowany postulat wyrabiania nawyków myślenia funkcyjnego.

W obu szkołach zwracano uwagę na zastosowanie matematyki w życiu codziennym (O.4., M.3.) – przede wszystkim na wykorzystanie reguły trzech oraz procentów do rozwiązywania zadań związanych z rachunkami kupieckimi oraz obliczaniem wysokości rent i emerytur. W Gimnazjum Toruńskim ukazywano też zastosowanie matematyki w chemii i metaloznawstwie (Zadanie⁵. Ile soli należy dodać do kilograma 10% solanki, aby otrzymać roztwór 25%?), fizyce (Zadanie⁶. O 7 rano z Berlina wyruszył pociąg osobowy, w ciągu każdej sekundy pokonywał on 6 mil. O 8 rano w tym samym kierunku wyruszył pociąg pośpieszny i w ciągu każdej sekundy pokonywał 9 mil. Kiedy i gdzie te pociągi się spotkają?), grach loteryjnych i hazardowych (Zadanie⁷. W loterii o 90 losach 5 losów wygrywa. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wyciągnięty przez nas los wygra?) czy astronomii i geografii (Zadanie⁸. Pozorny obieg Księżyca wokół Ziemi trwa 27 dni 7 godzin 34 minuty 5 sekund, pozorny obieg Słońca wokół Ziemi trwa 365 dni 5 godzin 48 minut 49 sekund. Jak długi jest miesiąc synodyczny, tzn. czas między kolejnymi nowiami Księżyca?).

Nauczanie matematyki w polskich szkołach średnich po 1918 roku

Tuż po odzyskaniu przez Polskę niepodległości Ministerstwo Wyznań Religijnych i Oświecenia Publicznego przygotowało nowe zasady organizacji szkolnictwa. Podstawą było tutaj stwierdzenie: przyszła szkoła polska nie może być kopią jakiejkolwiek szkoły obcej, a w szczególności rosyjskiej, pruskiej czy austriackiej, ale winna być tworem nowym, dostosowanym do potrzeb współczesnego życia polskiego, a pomyślanym zgodnie z postępem wiedzy pedagogicznej⁹. Ustalono, że gimnazja będą składać się z trzyletniego gimnazjum niższego i pięcioletniego gimnazjum wyższego zróżnicowanego na cztery wydziały: matematyczno-przyrodniczy, humanistyczny, humanistyczny z łaciną oraz klasyczny.

Nauczanie matematyki w gimnazjum wyższym miało cztery podstawowe cele¹⁰:

1. Wdrożenie ucznia do ścisłego rozumowania,
2. Przyzwyczajenie ucznia do dostrzegania związków funkcjonalnych zachodzących pomiędzy znanymi mu zjawiskami oraz do matematyzowania zjawisk przyrody.
3. Rozwijanie intuicji geometrycznej.
4. Wykorzystywanie matematyki do rozwiązywania zadań z nauk pokrewnych matematyce i do rozwiązywania zadań z życia codziennego.

Widoczne jest, że cele nauczania przygotowane przez Ministerstwo Wyznań Religijnych i Oświecenia Publicznego były zbliżone do wybranych postulatów Programu Merańskiego.

Oto ramowy program nauczania dla polskiego gimnazjum wyższego, od najniższej klasy – V do najwyższej – I¹¹:

Klasa V (4 godziny tygodniowo)

Algebra: wyrażenia algebraiczne, jednomiany i wielomiany, zależność funkcjonalna (zmienne zależne i niezależne). Geometria: przystawanie figur płaskich, figury symetryczne, podstawowe konstrukcje geometryczne (np. konstrukcje trójkąta, gdy dane są jego boki, konstrukcja prostej prostopadłej do danej)

Klasa IV (4 godziny tygodniowo)

Algebra: równania pierwszego stopnia z jedną i dwiema niewiadomymi, funkcje liniowe, pierwiastki kwadratowe wraz z wprowadzeniem liczb niewymiernych, równania kwadratowe. Geometria: koło, linie w kole, czworokąty wpisane i opisane na kole, zadania konstrukcyjne, wielokąty równoważne (tj. mające równe pola powierzchni), podstawowe pojęcia stereometryczne (położenie linii prostych i płaszczyzn w przestrzeni, kąt dwuścienny i trójścienny)

Klasa III (3 godziny tygodniowo)

Algebra: trójmian kwadratowy: miejsca zerowe, minima i maksima, graficzne rozwiązywanie nierówności kwadratowych, ciągi arytmetyczne i geometryczne. Geometria: obliczanie pól wielokątów, rzut ukośny równoległy (rzuty ostrosłupów i graniastosłupów)

Klasa II (3 godziny tygodniowo)

Algebra: funkcja wykładnicza i logarytmiczna, własności potęg i logarytmów. Geometria i trygonometria: obliczanie pól powierzchni wielościanów, obliczanie objętości graniastosłupów, funkcje trygonometryczne dowolnego kąta (wykresy, okresowość funkcji trygonometrycznych, wzory redukcyjne). Pojęcie granicy i jego zastosowania: ciągi liczbowe zbieżne i rozbieżne, obliczanie długości okręgu i pola koła, obliczanie pól powierzchni i objętości brył obrotowych

Klasa I (3 godziny)

Powtórzenie i rozszerzenie materiału omawianego w poprzednich klasach

Najważniejsze zmiany związane z nauczaniem matematyki dotyczyły wprowadzenia do programów nauczania funkcji, granic oraz elementów geometrii wykreślnej. Z programów nauczania usunięto natomiast złożone konstrukcje geometryczne oraz geometrię sferyczną.

Pierwsze polskie matury z matematyki w II Rzeczypospolitej

Pierwsze polskie matury przeprowadzono już w 1919 roku. Przykładowo Gimnazjum im. Karola Marcinkowskiego w Poznaniu zostało przejęte przez Polaków 1 kwietnia 1919 roku. W grudniu tego roku przeprowadzono w nim pierwszą polską maturę, jednakże wciąż była ona w języku niemieckim¹². Pierwsza matura w języku polskim została przeprowadzona w tej szkole 4 czerwca 1920 roku. Zadania z matematyki były wówczas następujące¹³:

Zadanie 1

Żelazna kula wydrążona o ciężarze 30 kg zanurza się w wodzie do połowy; obliczyć grubość ściany kuli, przyjmując ciężar właściwy żelaza s = 7,7.

Zadanie 2

Suma sześciu pierwszych wyrazów postępu geometrycznego jest równa 189, a suma następnych sześciu 12 096. Jaki to postęp?

Zadanie 3

Rozwiązać równania:

5 sinx + siny = 4,

3(5 sinx) − 2(3 siny) = 5.

Zadanie 4

Przez trzy punkty:

przeprowadzić koło (napisać jego równanie), a następnie obliczyć kąt, jaki tworzą ze sobą styczne poprowadzone w punktach A i B.

Przez kolejne pięć lat postać egzaminów maturalnych z matematyki w Gimnazjum im. Karola Marcinkowskiego była bardzo podobna do postaci matur przeprowadzanych w zaborze pruskim pod koniec XIX wieku i na początku XX wieku. Zestawy maturalne składały się z czterech zadań: zadania arytmetyczno-algebraicznego (często dotyczyło ono ciągów arytmetycznych i geometrycznych, czasem było też związane z wyznaczaniem kapitału, obliczaniem zysku, zastosowaniem matematyki w fizyce oraz rozwiązywaniem równań), planimetrycznego (zazwyczaj analitycznego), stereometrycznego (związanego z obliczaniem objętości podstawowych brył: kuli, stożka i ostrosłupa) oraz trygonometrycznego (zazwyczaj wymagało ono rozwiązania trójkąta).

W latach 1926–1929 na pisemnych maturach z matematyki uczniowie Gimnazjum im. Karola Marcinkowskiego otrzymali już tylko dwa zadania. Przykładowo w roku szkolnym 1926/1927 na egzaminie maturalnym z matematyki dla typu klasycznego pojawiły się następujące¹⁴:

Zadanie 1

Pierwsze wyrazy postępu arytmetycznego i geometrycznego sąrówne 4, drugie wyrazy są sobie równe, zaś trzeci wyraz postępu geometrycznego jest iloczynem liczby

\(25 \over 10\)

i trzeciego wyrazu postępu arytmetycznego. Co to za postępy?

Zadanie 2

Promienie podstaw prostego stożka ściętego wynoszą: R = 5 cm, r = 3 cm, bok tej bryły jest nachylony do większej podstawy pod kątem φ = 28ʺ21ʹ. Oblicz objętość i pobocznicę tej bryły.

Podobną formę przybrały matury z matematyki w innych szkołach, np. w Państwowym Gimnazjum Klasycznym i Humanis-tycznym w Toruniu w roku 1926/1927 uczniowie typu klasycznego otrzymali zadania¹⁵:

Zadanie 1

Dany jest układ:

\(y2 = 4x − 24\)

\(y = mx + 1\)

Wyznaczyć m tak, aby układ posiadał jedną parę pierwiastków.

Zadanie 2

Różnica dwóch równoległych boków trapezu równoramien-nego wynosi 15 m, suma ich kwadratów 425 m2, a bok nierównoległy jest średnią geometryczną obu boków równoległych. Oblicz boki, kąty i przekątną trapezu.

Porównując egzaminy maturalne z matematyki przeprowadzone w Poznaniu w latach 1925–1929¹⁶ i w Toruniu w latach 1928–1933^171819202122 z egzaminami, które odbyły się wcześniej na terenach I Rzeczypospolitej znajdujących się pod zaborem pruskim, otrzymujemy następujące wnioski:

1. Po odzyskaniu przez Polskę niepodległości uczniowie na egzaminach maturalnych otrzymywali dwa zadania. Nie było wyraźnego wskazania, których działów mają one dotyczyć. Pojawiały się zadania planimetryczne (analityczne), stereometryczne, trygonometryczne (zazwyczaj związane z rozwiązywaniem trójkątów), zadania dotyczące rozwiązywania równań i nierówności metodą rachunkową i graficzną, rozwiązywania równań z parametrem, wyznaczania miejsc zerowych funkcji oraz zadania związane z obliczeniami obywatelskimi (obliczaniem kapitału, zysku, straty, wysokości odsetek itp.). Wśród nich były pewne typy zadań, które wyjątkowo często pojawiały się na maturach w szkołach w Toruniu i Poznaniu. W Toruniu w większości zestawów maturalnych było zadanie związane z rozwiązywaniem równania z parametrem. W Poznaniu bardzo często pojawiało się zadanie dotyczące ciągów arytmetycznych i geometrycznych. Ponadto w obu szkołach często były zadania związane z wyznaczaniem objętości i pola powierzchni brył obrotowych. W związku z tym uczniowie mogli się spodziewać, z jakimi typami zadań przyjdzie im się zmierzyć na maturze.
   Przez kilkanaście lat po odzyskaniu niepodległości w Polsce dopiero opracowywano zasady przeprowadzania egzaminów maturalnych, stąd duże zróżnicowanie związane z tematyką zadań.
2. W odrodzonej Polsce każda szkoła przeprowadzała egzaminy maturalne w innych terminach. Zadania były przygotowywane indywidualnie dla każdej szkoły. Tym samym została tu zachowana tendencja z czasów zaborów.
3. Po odzyskaniu przez Polskę niepodległości na egzaminach maturalnych nie było zadań konstrukcyjnych, podczas gdy zadania te bardzo często pojawiały się na maturach przeprowadzanych w czasach zaborów. Zadania konstrukcyjne na terenach dawnej I Rzeczypospolitej zagarniętych przez Prusy wymagały dokonania złożonych konstrukcji geometrycznych, opierających się zazwyczaj na wykorzystaniu kilku twierdzeń.
4. Na egzaminach maturalnych przeprowadzanych w Toruniu i Poznaniu po 1925 roku pojawiały się typy zadań, które były już wcześniej na maturach w XIX i początku XX wieku. Trzeba tu jednak zwrócić uwagę na dwie rzeczy:
   1. Już w XIX wieku pojawiały się zadania dotyczące rozwiązywania równań z parametrem. W XIX wieku w zadaniach tego typu nigdy nie wymagano przeprowadzenia dyskusji związanej z liczbą rozwiązań. Było to spowodowane tym, że wówczas równania zawsze rozwiązywano w liczbach zespolonych.
      Na maturze z matematyki przeprowadzonej w Toruniu w roku 1929/1930 uczniowie otrzymali polecenie²³:
      Zadanie
      Rozwiąż układ:
      \(9x2 + 4y2 = 36\)
      \(y = 2x − k\)
      W zależności od parametru k rozważyć, kiedy układ nie będzie posiadał pierwiastków, kiedy będzie miał jedną, a kiedy dwie pary pierwiastków.
      Postać tego zadania pokazuje, że po odzyskaniu niepodległości z programów nauczania w Toruniu usunięto liczby zespolone. Równania, nierówności czy układy równań rozwiązywano już w liczbach rzeczywistych.
   2. W XIX wieku pojawiały się na maturach zadania związane z rozwiązaniem równań czy nierówności, jednakże w poleceniach nie było wymagane przeprowadzenie rozwiązania metodą graficzną. Inaczej było w XX wieku. Przykładowe zadanie:
      Zadanie²⁴
      Rozwiąż nierówność ułamkową:
      \({x^2+3\over{x^2+x-5}}>0\)
      rachunkiem i za pomocą wykresu.
      Graficzne przedstawienie równań i nierówności, a właściwie graficzne przedstawienie zależności funkcyjnych stało się obowiązkowym punktem programów nauczania dopiero kilka lat po wprowadzeniu Programu Merańskiego w 1905 roku. Wtedy zależności funkcyjne, ich graficzne przedstawienie oraz rozwiązywanie równań i nierówności metodą graficzną na stałe zagościły w programach nauczania szkół średnich²⁵.
5. Na egzaminach maturalnych przeprowadzanych na ziemiach polskich zagarniętych przez Prusy pojawiały się zagadnienia, których w odrodzonej Polsce już nie było. Przykładem są tutaj ciągi arytmetyczne drugiego rzędu. Przykładowe zadanie maturalne:
   Zadanie²⁶
   W ciągu arytmetycznym drugiego rzędu suma pierwszego i trzeciego wyrazu ciągu jest równa 21, suma drugiego i czwartego wyrazu jest równa 37, a suma trzeciego i piątego wyrazu jest równa 59. Ponadto n-ty wyraz tego ciągu jest równy 612. Jaka jest suma n pierwszych wyrazów tego ciągu?
   11 marca 1932 roku wprowadzono w Polsce reformę jędrzeje-wiczowską, na mocy której szkoła średnia składała się z cztero-letniego gimnazjum i dwuletniego liceum (trzy typy liceów: humanistyczne, matematyczno-przyrodnicze i klasyczne). Na maturach z matematyki w dalszym ciągu były dwa zadania.