Dołącz do czytelników
Brak wyników

Temat numeru

18 marca 2021

NR 48 (Marzec 2021)

Jak (NIE) zostać milionerem, czyli bezduszność kombinatoryki i rachunku prawdopodobieństwa

110

Dużo mówimy o wykorzystywaniu gier na lekcjach matematyki. Dziś chciałabym odwrócić to zagadnienie, czyli opowiedzieć o zastosowaniu matematyki w różnego rodzaju grach losowych, które funkcjonują na rynku komercyjnym.

Każdy, kto bierze udział w tego typu grach, ma nadzieję na wygraną i niemal każdy rozczarowuje się, gdy ta wygrana nie następuje. Jednak ktoś, kto dobrze rozumie mechanizmy funkcjonowania gier losowych, nie będzie zaskoczony przegraną – i tylko takie świadome ryzyka osoby powinny w tego rodzaju rozrywkach brać udział. Młodzież ostatnich klas szkoły podstawowej i uczniowie szkół średnich są szczególnie narażeni na ułudę zwycięstwa i szybki zarobek, tak atrakcyjny w dzisiejszym skomercjalizowanym świecie. Uważam więc, że omawiając zagadnienia związane z rachunkiem prawdopodobieństwa i statystyką, nauczyciele matematyki powinni pokazać uczniom, jak te zagadnienia bezlitośnie wskazują na to, że uczestnik gry nie wygra.

POLECAMY

A może tak Lotto?

Wszystkie gry losowe, które wymagają od uczestników wytypowania zwycięskiego układu, bazują na rachunku prawdopodobieństwa i kombinatoryce. Najbardziej rozpowszechnionym problemem rachunku prawdopodobieństwa, z którym spotyka się niemal każdy Polak, jest wytypowanie zwycięskiej szóstki w losowaniu Lotto. Bardzo często podajemy ten przykład na lekcjach wprowadzających do rachunku prawdopodobieństwa. Informację tę znajdziemy również na stronie Lotto.
Szóstkę można trafić z prawdopodobieństwem \({1\over 13 983 816}\), piatkę \({1\over 54201}\), czwórkę \({1\over 1032}\) i trójkę z prawdopodobieństwem \({1\over 57}\). Przyjrzyjmy się jednak innej kwestii związanej z grą Lotto. Zgodnie z regulaminem, do puli wygranych trafia co najmniej 51% stawek wpłaconych za udział w grze Lotto. Wygrana I stopnia stanowi 44% całej puli przeznaczonej na wygraną, przy czym nie mniej niż 2 000 000 zł. Na wygraną II stopnia (tzw. piątki) przeznacza się 8% puli, wygrane IV stopnia (trójki) to kwota 24 zł, pozostała część puli jest przeznaczona na wygrane III stopnia (czwórki). Lotto jest grą kumulacyjną, co oznacza, że jeśli nie padnie szóstka, to suma przeznaczona na nagrodę I stopnia jest dorzucana do wygranej w kolejnym losowaniu. Każdy zakład kosztuje 3 zł1.

Dlaczego gry typu Lotto w ogóle istnieją i są opłacalne?

Jednym z podstawowych pojęć rachunku prawdopodobieństwa jest wartość oczekiwana (nazywana również wartością średnią), definiowana jako spodziewany wynik doświadczenia losowego przy pewnym założonym z góry prawdopodobieństwie poszczególnych zdarzeń. Dla każdej gry, w której znane jest prawdopodobieństwo poszczególnych wypłat, możemy obliczyć wartość oczekiwaną gry dla poszczególnych 
uczestników.
 

Przykład
Rzucamy dwiema symetrycznymi, rozróżnialnymi monetami. Jeśli wypadną dwa orły, to gracz otrzymuje 8 zł, jeśli orzeł i reszka, to nie otrzymuje nic, jeśli dwie reszki, otrzymuje 2 zł. Aby przystąpić do gry, trzeba wpłacić 2 zł.
Przestrzeń zdarzeń elementarnych to Ω = {(o, o), (r, o), (o, r), (r, r)}. Prawdopodobieństwo wypadnięcia dwóch orłów (lub dwóch reszek) wynosi \({1\over 4}\), zaś prawdopodobieństwo wypadnięcia orła i reszki \({1\over 2}\).

Jeżeli chcemy wiedzieć, ile zyska średnio uczestnik takiej gry, liczymy wartość oczekiwaną gry jako sumę iloczynów prawdopodobieństwa danych zdarzeń losowych (2 orły, orzeł i reszka, 2 reszki) przez wartość wygranej, przy otrzymanym zdarzeniu. 
Czyli:

Oznacza to, że taka gra jest opłacalna dla gracza, nie dla organizatora, ponieważ średnio uczestnik gry wygrywa 2,5 zł, a jego wkład stanowił 2 zł. Średnio więc zysk wynosi 0,5 zł na gracza.


To właśnie wartość oczekiwana gry w dużej mierze decyduje o tym, czy przystąpić do gry, czy też nie. W przykładzie podanym powyżej wartość oczekiwana zysku gracza jest liczbą dodatnią. Grę nazywamy sprawiedliwą, jeżeli wartość oczekiwana zysku gracza wynosi 0. W rzeczywistości jednak gry losowe muszą być opłacalne dla organizatora, a zatem wartość oczekiwana zysku gracza w dłuższej perspektywie czasu jest najczęściej liczbą ujemną.
Wróćmy do zakładów Lotto. Weźmy ostatnie losowanie (przed oddaniem niniejszego artykułu), w którym padła szóstka. Było to 31.12.2020 r. Padła jedna szóstka, za którą zwycięzca otrzymał 4 440 781,6 zł, 65 piątek (każda o wartości 6628 zł), 4109 czwórek (po 182,6 zł) i 76 446 trójek.
Obliczmy wartość oczekiwaną gry pojedynczego  gracza:

A zatem średnio każdy z graczy tracił: 3 − 1,04 = 1,96 zł.
Weźmy teraz najwyższą w historii wygraną I stopnia, która padła 16.03.2017 r. (dane w tabeli 1 na podstawie źródła2).
Obliczmy wartość tej gry:

 

Tab. 1. Wyniki Lotto z dnia 16.03.2017 r.
Stopnie wygranych Liczba Kwota [zł]
Szóstka 1 36 726 210,2
Piątka 177 7724,8
Czwórka 11 461 248,9
Trójka 222 974 24,0


Przy tak wysokich wygranych średni zysk dla każdego grającego wyniósł 0,43 zł.
Analizując wyniki poszczególnych losowań, zauważamy, że przypadków, w których otrzymujemy wartość gry Lotto powyżej 3 zł, będzie naprawdę niewiele. Szacuje się, że przy nagrodzie I stopnia w wysokości ok. 31–32 mln zł wartość oczekiwana gry powinna przekroczyć 3 zł, a zatem statystyczny gracz jest na niewielkim plusie. W tych obliczeniach jest jedno „ale”. Ja je wykonałam po tym, jak wyniki były już znane. Ze względu na zmienne stawki nagrody za skreśloną piątkę lub czwórkę, zależne od liczby osób, które prawidłowo wytypowały takie kombinacje, potencjalny gracz musi się posiłkować wygranymi oszacowanymi. 
Baczny obserwator jest w stanie oszacować mniej więcej, ile mogą te wygrane wynosić, patrząc, jak się kształtowały na przestrzeni lat. W szacowanych powyżej obliczeniach zakładamy, że padła tylko jedna „nasza” szóstka. Trzeba jednak pamiętać, że przy dużych kumulacjach gra więcej osób i większe jest prawdopodobieństwo, że główną wygraną trzeba będzie się podzielić – wówczas wartość oczekiwana takiej gry będzie o wiele niższa. 7 maja 2016 roku nastąpiła pierwsza jedenastokrotna kumulacja Lotto i pula przeznaczona na nagrodę I stopnia wynosiła 57 804 715,2 zł. Szóstkę trafiło wówczas trzech graczy, którzy otrzymali nieco ponad 19 mln zł. 
W historii Lotto było też losowanie, w którym szczęście dopisało około 80 graczom – tak więc typując jedną szóstkę, można jednak się przeliczyć, nawet posiłkując się rachunkiem prawdopodobieństwa3.
Jest jeszcze jedna pokusa… gra systemowa. W Lotto można skreślić od 6 do 12 liczb. Jest to nic innego jak zawarcie pewnej liczby oddzielnych zakładów na jednym blankiecie.
Przy siedmiu liczbach jest to 7 zakładów, przy ośmiu 28 zakładów, przy dwunastu 924 zakłady (wystarczy policzyć \({n\over 6}\) dla n = 7, 8, … , 12) i dokładnie za tyle zakładów zapłacimy. A zatem przy dwunastu liczbach będzie to kwota 2772 zł. Jeżeli weźmiemy pod uwagę grę z 31.12.2020 r., to strata dla pojedynczego zakładu wynosi 1,96 zł. Co przy 924 zakładach daje 1811,04 zł straty.
Pozostaje więc kolejne pytanie:

Dlaczego Polacy tak chętnie grają w Lotto?

Oczywiste jest, że zachętą jest tu wizja bardzo wysokiej (jak dla przeciętnego Polaka) wygranej. Ważne są też ekscytacja, emocje i nadzieje związane z ewentualną możliwością wzbogacenia się (o reakcjach, które w tym czasie zachodzą w organizmie człowieka, więcej powiedzieliby zapewne biolog, psycholog czy lekarz niż matematyk). Czy warto więc grać? Na to pytanie każdy musi sobie odpowiedzieć indywidualnie. Biorąc pod uwagę, że w porównaniu do innych gier losowych gra Lotto jest stosunkowo najmniej zagrażająca budżetowi przeciętnego Polaka, można podjąć takie ryzyko, będąc świadomym podstaw matematycznych takich loterii. 
Ja nie gram, ale kiedyś w kolekturze w mojej miejscowości padła główna wygrana. 
Trzeba również podkreślić, że wartość oczekiwana pokazuje nam, jak zgodnie z rachunkiem prawdopodobieństwa będzie kształtować się potencjalny zysk (strata) w dłuższej perspektywie czasu. Nie znaczy to, 
że gracz nie może wygrać w pojedynczej grze lub nawet pomniejszej wygranej kilkukrotnie. W historii Lotto zdarzyła się osoba, która dwukrotnie wygrała w loterii nagrodę I stopnia. Tak więc nad rachunkiem prawdopodobieństwa powinni pochylić się szczególnie ci gracze, którzy grają regularnie. W ciągu poprzedniego roku odbyło się 157 losowań Lotto. Jeżeli gracz obstawiał w nich wszystkich jeden zakład, to wydał na to 157 · 3 = 471 zł. Mnożąc to przez kilka lat, otrzymujemy całkiem wysoką kwotę.

Ruletka… na szczęście nie rosyjska

Kasyna (w tym internetowe) i ruletka to już zupełnie inny poziom grania. Tu jest już większa szansa na zaprzepaszczenie oszczędności życia i uzależnienie . Zanim więc którykolwiek z naszych uczniów zdecyduje się na tego typu rozrywkę, warto, aby nauczyciel matematyki zracjonalizował mu tę grę i pokazał, jak bardzo bezwzględnie działa tu rachunek prawdopodobieństwa.
Europejska ruletka składa się z 37 ponumerowanych pól. Osiemnaście liczb znajduje się na czerwonym tle, osiemnaście – na czarnym, zero nie ma przyporządkowanego żadnego z tych dwóch kolorów. Łatwo zauważyć, że prawdopodobieństwo wytypowania prawidłowego numeru wynosi \({1\over 37}\) Oczywiste jest, że skoro każde z losowań jest niezależne, to prawdopodobieństwo to nie rośnie przy każdym kolejnym losowaniu. 
Omówię zakłady wewnętrzne i zewnętrzne stosowane w ruletce (źródło typów zakładów4).
Zakłady wewnętrzne w ruletce polegają na wytypowaniu konkretnego numeru lub linii na stole. Przypuśćmy, że gracz będzie stawiał 100 zł.
Zakład typu Streight-up polega na obstawieniu jednej konkretnej liczby – prawdopodobieństwo trafienia jest niewielkie, ale w przypadku sukcesu wygraną wypłaca się w stosunku 35 : 1. Przyjrzyjmy się wartości oczekiwanej zysku dla pojedynczej gry. Mamy więc:

To, że wartość oczekiwana jest liczbą ujemną, nie powinno nikogo dziwić. Jak już zaznaczyłam wcześniej, organizatorzy tego typu loterii bazują na zdarzeniach, których wartość oczekiwana jest ujemna, ponieważ właśnie wtedy gra jest dla nich korzystna i daje im matematyczną przewagę nad grającym.
Spróbujmy zatem zagrać inaczej. Zagranie Split to wytypowanie dwóch sąsiadujących ze sobą na stole liczb. Wygraną wypłaca się wówczas w stosunku 17 : 1. Wartość oczekiwana gry dla gracza przyjmuje w takiej sytuacji wartość:

Sytuacja się powtórzyła.
Zagranie Street to obstawienie trzech liczb znajdujących się w poziomych rzędach. Wygrana wypłacana jest w stosunku 11 : 1. Jak kształtuje się wartość oczekiwana?

Myślę, że tym razem już nikt nie jest zdziwiony wynikiem, który otrzymaliśmy.
Gracz ma jeszcze dwie możliwości zagrania wewnętrznego: Corner – obstawienie czterech liczb, które tworzą na stole kwadrat, i Six Line – obstawiamy sześć liczb położonych na dwóch sąsiadujących liniach, po trzy liczby w każdej. Wygrana wypłacana jest w stosunku 8 : 1 i 5 : 1 odpowiednio. Wszyscy domyślamy się chyba, ile będą wynosić wartości oczekiwane.
Będzie to odpowiednio:

i

Pochylę się jeszcze nad tzw. zakładami zewnętrznymi, w których obstawia się więcej liczb poprzez umieszczenie żetonów w konkretnej strefie stołu.

  • Tuzin 1, 2 i 3 – obstawiamy dwa...

Pozostałe 70% treści dostępne jest tylko dla Prenumeratorów

Co zyskasz, kupując prenumeratę?
  • 6 wydań czasopisma "Matematyka"
  • Dostęp do wszystkich archiwalnych artykułów w wersji online
  • Możliwość pobrania materiałów dodatkowych, testów i zadań
  • ...i wiele więcej!
Sprawdź

Przypisy