Zadania tego typu pojawiły się kilka lat temu na maturze, nauczyciele i uczniowie szkół ponadgimnazjalnych zaczęli więc mierzyć się z ich istotą. W podręcznikach, na tym etapie edukacji, pojawiają się one dopiero przed maturą, w klasie trzeciej. Zbyt późno. Warto podpatrzeć autorskie programy z matematyki w szkołach, w których pracuje się z młodzieżą szczególnie uzdolnioną matematycznie, tzw. olimpijskich. Pomysł polega na przeprowadzeniu kilku (4–5) lekcji w klasie pierwszej, aby uczniowie mogli zapoznać się ze słownictwem, elementami dowodu, sposobem zapisu, tak by przy każdej nadarzającej się okazji takie zadania rozwiązywać. Wszak zadania na dowodzenie są lżejszą wersją zadania samą w sobie. Jest tam treść i… odpowiedź. Brakuje tylko rozwiązania.
POLECAMY
Dowodzenie twierdzeń w podstawie programowej do szkoły podstawowej i ponadpodstawowej
W obecnej podstawie programowej do szkoły podstawowej i ponadpodstawowej (rozporządzenie z dnia 14 lutego 2017 r. oraz rozporządzenie z dnia 30 stycznia 2018 r.) jednym z celów kształcenia – wymagań ogólnych – jest:
IV. Rozumowanie i argumentacja
- Przeprowadzanie prostego rozumowania (rozumowań, także wieloetapowych), podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnienie dowodu od przykładu.
- Dostrzeganie regularności, podobieństw oraz analogii, formułowanie wniosków na ich podstawie i uzasadnianie ich poprawności.
- Stosowanie strategii wynikającej z treści zadania, tworzenie strategii rozwiązania problemu, również w rozwiązaniach wieloetapowych oraz w takich, które wymagają umiejętności łączenia wiedzy z różnych działów matematyki.
- Dobieranie argumentów do uzasadnienia poprawności rozwiązywania problemów, tworzenie ciągu argumentów, gwarantujących poprawność rozwiązania i skuteczność w poszukiwaniu rozwiązań zagadnienia.
Autorzy tejże podstawy zaplanowali takie same cele kształcenia do szkoły ponadpodstawowej (kursywą), więc nareszcie jest spójność w kolejnych etapach edukacji.
W warunkach i sposobie realizacji podstawy programowej do szkoły podstawowej czytamy: „Zadania na dowodzenie stanowią ważny element wykształcenia matematycznego. Uczeń powinien dowiedzieć się, że w twierdzeniach zaczynających się od słów »Wykaż, że dla każdego…«” podawanie wielu przykładów nie jest dowodem, a podanie jednego kontrprzykładu świadczy o tym, że stwierdzenie nie jest prawdziwe. Nie oznacza to, że uczeń nie powinien szukać przykładów bądź kontrprzykładów. Często takie poszukiwanie i sprawdzanie prawdziwości tezy dla konkretnych przypadków pozwala uczniowi zrozumieć postawiony problem, a następnie podać ogólne rozumowanie.
W szkole podstawowej zadania na dowodzenie powinny być proste (w przypadku zdolnych uczniów można rozszerzyć stopień trudności). Oznacza to, że na przykład do dowodu zadania z geometrii powinno wystarczyć obliczanie kątów (z wykorzystaniem równości kątów wierzchołkowych, odpowiadających i naprzemianległych, twierdzenia o sumie kątów trójkąta oraz twierdzenia o kątach przy podstawie trójkąta równoramiennego), użycie cech przystawania trójkątów do uzasadnienia przystawania jednej dostrzeżonej pary trójkątów przystających oraz wyciągnięcie wniosków z tej własności”. W podstawie programowej do szkoły ponadpodstawowej wymienia się konkretne twierdzenia, których dowody uczeń, na poziomie zarówno podstawowym, jak i rozszerzonym, powinien poznać. Bowiem „jedną z metod rozwijania umiejętności dowodzenia jest analizowanie dowodów poznanych twierdzeń. (…). Umiejętność formułowania poprawnych rozumowań i uzasadnień jest ważna również poza matematyką”.
Kiedy zacząć? I jak?
Odpowiedź jest prosta: od najmłodszych lat. Dzieci są bardzo ciekawe i stale pytają „Dlaczego?”. Trzeba to wykorzystać. Spróbujmy na początku nie używać tych „strasznych” słów: „Wykaż, że” czy „Udowodnij, że”, a zastąpić je pytaniami: „Dlaczego?” czy „Pokaż dlaczego”, „Skąd wiesz?”, „Jak to sprawdzić?”. Zwykłe zadania zaś warto przeformułować na dowodowe.
Przykład:
Zadanie: Dany jest kwadrat o boku długości 5 cm. Oblicz pole tego kwadratu.
Zadanie na dowodzenie: Dany jest kwadrat o boku 5 cm. Dlaczego (wykaż, że) jego pole wynosi 25 cm2?
Szczególnie polecane dla młodszych dzieci są zadania geometryczne. O nich mowa będzie dalej.
Kilka słów o konstrukcji twierdzenia1
Twierdzenie matematyczne: Jeżeli zdanie 1, to zdanie 2.
Zdanie 1 – założenie,
Zdanie 2 – teza.
Dowód twierdzenia polega na wykazaniu tezy na podstawie założenia lub zestawu założeń.
Kolejne kroki:
- Zapisz założenie i tezę.
- Przypomnij sobie (wypisz) znane Ci twierdzenia i własności związane z tezą.
- Postępuj krok po kroku od założenia do tezy, uzasadniając każdy krok. Zapisuj to uzasadnienie, może być w tabeli,.
- Oznacz koniec dowodu (cnd., cbdu., cbdo., ckd., kwadracik ■, OK, QED).
Przygotowanie do dowodzenia – kilka formalizmów (dla starszych uczniów)
Zapis formalny
liczba parzysta: 2n, n ∈ N
liczba nieparzysta: 2n + 1, n ∈ N lub 2n – 1, n ∈ N+
Zapis formalny kolejnych liczb całkowitych: n, n + 1, n + 2, n ∈ Z
Uwaga: wraz z nową podstawą programową powróciły do szkół, po wielu latach, symbole określające zbiory liczbowe:
- Liczby całkowite – Z,
- Liczby wymierne – Q,
- Liczby rzeczywiste – R.
Zapisz:
- Kolejne liczby parzyste.
- Kolejne liczby nieparzyste.
- Dowolne liczby parzyste.
- Dowolne liczby nieparzyste.
Odp.:
- 2n, 2n + 2, 2n + 4, dla n ∈ N
- np. 2n + 1, 2n + 3, 2n + 5, dla n ∈ N
- 2n, 2m, 2k, dla n, m, k ∈ N
- 2n + 1, 2m + 1, 2k + 1, dla n N
Zapis formalny liczby podzielnej przez 2, 3, 4, 5 itd.
- 2n, n ∈ N – liczba parzysta (podzielna przez 2),
- 3n, n ∈ N – liczba podzielna przez 3,
- 4n, n ∈ N – liczba podzielna przez 4 itd.
Liczby parzyste i nieparzyste – zadania „wprawki”
Zadanie 1. Wykaż, że suma dowolnych dwóch liczb parzystych jest liczbą parzystą.
Zadanie 2. Wykaż, że suma dowolnych dwóch liczb nieparzystych jest liczbą parzystą.
Zadanie 3. Wykaż, że suma liczby parzystej i nieparzystej jest liczbą nieparzystą.
Rozwiązanie:
Założenie: 2n, 2k + 1, gdzie n, k ∈ N (czyt. dana jest liczba parzysta i nieparzysta).
Teza: 2n + (2k + 1) = 2m +1, gdzie m ∈ N (suma liczb z założenia jest nieparzysta).
Dowód: Rozważmy lewą stronę równości zapisanej w tezie:
L = 2n + (2k + 1) = 2n + 2k + 1 = 2 (n + k) + 1
z założenia n, k ∈ N, więc n + k = m ∈ N,
stąd L = 2m + 1, gdzie m ∈ N
Zadanie 4. Wykaż, że iloczyn dwóch dowolnych liczb nieparzystych jest liczbą nieparzystą.
Zadanie 5. Suma pewnych trzech liczb całkowitych jest parzysta. Wykaż, że dokładnie jedna z tych liczb jest parzysta lub wszystkie są parzyste1.
Rozwiązanie:
Założenie: Suma pewnych trzech liczb jest parzysta.
Teza: Dokładnie jedna z tych liczb jest parzysta lub wszystkie są parzyste.
Dowód: Nie wiemy nic o parzystości tych konkretnych liczb. Rozważmy więc różne możliwości.
- Wszystkie trzy liczby są nieparzyste, więc ich suma też jest nieparzysta, a to nie jest zgodne z założeniem.
- Dwie liczby są nieparzyste, a trzecia parzysta. Suma dwóch liczb nieparzystych jest parzysta (zad. 2) i dodając trzecią, parzystą, mamy sumę parzystą.
- Jedna jest nieparzysta, a dwie parzyste. Suma dwóch parzystych jest parzysta (zad. 1) i dodając do niej liczbę nieparzystą, otrzymuję sumę nieparzystą, co nie jest zgodne z założeniem.
- Trzy liczby są parzyste. Oczywiście, ich suma jest parzysta.
- Zatem albo wszystkie składniki są parzyste, albo tylko jedna z nich jest parzysta.
Zadanie 6. Czy kasjer może wydać 20 zł siedmioma monetami, z których każda ma wartość 1 zł lub 5 zł?2
Odp.: Nie. Wskazówka: patrz zad. 2 i 3.
Zadanie dowodowe: Udowodnij, że kasjer nie może wydać 20 zł siedmioma monetami, z których każda ma wartość 1 zł lub 5 zł.
Zadanie 7. Piotr twierdzi, że istnieją cztery liczby naturalne, których zarówno suma, jak i iloczyn są liczbami nieparzystymi. Czy ma rację?2
Odp.: Nie ma racji. Wskazówka: patrz zad. 1–4.
Zadanie dowodowe: Wykaż, że nie istnieją cztery takie liczby naturalne, których zarówno suma, jak i iloczyn są liczbami nieparzystymi.
Bibliografia:
- Mędrzycka M., Dlaczego? Zbiór zadań na dowodzenie, Nowa Era, Warszawa 2014.
- Bobiński Z., Nodzyński P., Uscki M., Liga zadaniowa, Zbiór zadań dla uczniów zainteresowanych matematyką, Aksjomat, Toruń 2004.
