Dołącz do czytelników
Brak wyników

Dowodzenie w szkole

12 września 2019

NR 40 (Wrzesień 2019)

Jak oswoić dzieci z dowodzeniem twierdzeń?

0 58

Rozwiązywanie zadań na dowodzenie pomaga w uczeniu logicznego myślenia, precyzji argumentowania, zdolności rozwiązywania złożonych problemów, rozróżnienia założenia od tezy, stosowania języka matematyki. To wiedzą wszyscy nauczyciele matematyki. Jednak na dźwięk polecenia „Uzasadnij, że…” czy „Wykaż, że…” uczniowie reagują nerwowo, a zdecydowana większość takie zadania omija szerokim łukiem, blokuje się.

Zadania tego typu pojawiły się kilka lat temu na maturze, nauczyciele i uczniowie szkół ponadgimnazjalnych zaczęli więc mierzyć się z ich istotą. W podręcznikach, na tym etapie edukacji, pojawiają się one dopiero przed maturą, w klasie trzeciej. Zbyt późno. Warto podpatrzeć autorskie programy z matematyki w szkołach, w których pracuje się z młodzieżą szczególnie uzdolnioną matematycznie, tzw. olimpijskich. Pomysł polega na przeprowadzeniu kilku (4–5) lekcji w klasie pierwszej, aby uczniowie mogli zapoznać się ze słownictwem, elementami dowodu, sposobem zapisu, tak by przy każdej nadarzającej się okazji takie zadania rozwiązywać. Wszak zadania na dowodzenie są lżejszą wersją zadania samą w sobie. Jest tam treść i… odpowiedź. Brakuje tylko rozwiązania.

Dowodzenie twierdzeń w podstawie programowej do szkoły podstawowej i ponadpodstawowej

W obecnej podstawie programowej do szkoły podstawowej i ponadpodstawowej (rozporządzenie z dnia 14 lutego 2017 r. oraz rozporządzenie z dnia 30 stycznia 2018 r.) jednym z celów kształcenia – wymagań ogólnych – jest:
IV. Rozumowanie i argumentacja

  1. Przeprowadzanie prostego rozumowania (rozumowań, także wieloetapowych), podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnienie dowodu od przykładu.
  2. Dostrzeganie regularności, podobieństw oraz analogii, formułowanie wniosków na ich podstawie i uzasadnianie ich poprawności.
  3. Stosowanie strategii wynikającej z treści zadania, tworzenie strategii rozwiązania problemu, również w rozwiązaniach wieloetapowych oraz w takich, które wymagają umiejętności łączenia wiedzy z różnych działów matematyki.
  4. Dobieranie argumentów do uzasadnienia poprawności rozwiązywania problemów, tworzenie ciągu argumentów, gwarantujących poprawność rozwiązania i skuteczność w poszukiwaniu rozwiązań zagadnienia.

Autorzy tejże podstawy zaplanowali takie same cele kształcenia do szkoły ponadpodstawowej (kursywą), więc nareszcie jest spójność w kolejnych etapach edukacji.
W warunkach i sposobie realizacji podstawy programowej do szkoły podstawowej czytamy: „Zadania na dowodzenie stanowią ważny element wykształcenia matematycznego. Uczeń powinien dowiedzieć się, że w twierdzeniach zaczynających się od słów »Wykaż, że dla każdego…«” podawanie wielu przykładów nie jest dowodem, a podanie jednego kontrprzykładu świadczy o tym, że stwierdzenie nie jest prawdziwe. Nie oznacza to, że uczeń nie powinien szukać przykładów bądź kontrprzykładów. Często takie poszukiwanie i sprawdzanie prawdziwości tezy dla konkretnych przypadków pozwala uczniowi zrozumieć postawiony problem, a następnie podać ogólne rozumowanie.
W szkole podstawowej zadania na dowodzenie powinny być proste (w przypadku zdolnych uczniów można rozszerzyć stopień trudności). Oznacza to, że na przykład do dowodu zadania z geometrii powinno wystarczyć obliczanie kątów (z wykorzystaniem równości kątów wierzchołkowych, odpowiadających i naprzemianległych, twierdzenia o sumie kątów trójkąta oraz twierdzenia o kątach przy podstawie trójkąta równoramiennego), użycie cech przystawania trójkątów do uzasadnienia przystawania jednej dostrzeżonej pary trójkątów przystających oraz wyciągnięcie wniosków z tej własności”. W podstawie programowej do szkoły ponadpodstawowej wymienia się konkretne twierdzenia, których dowody uczeń, na poziomie zarówno podstawowym, jak i rozszerzonym, powinien poznać. Bowiem „jedną z metod rozwijania umiejętności dowodzenia jest analizowanie dowodów poznanych twierdzeń. (…). Umiejętność formułowania poprawnych rozumowań i uzasadnień jest ważna również poza matematyką”.

Kiedy zacząć? I jak?

Odpowiedź jest prosta: od najmłodszych lat. Dzieci są bardzo ciekawe i stale pytają „Dlaczego?”. Trzeba to wykorzystać. Spróbujmy na początku nie używać tych „strasznych” słów: „Wykaż, że” czy „Udowodnij, że”, a zastąpić je pytaniami: „Dlaczego?” czy „Pokaż dlaczego”, „Skąd wiesz?”, „Jak to sprawdzić?”. Zwykłe zadania zaś warto przeformułować na dowodowe.

Przykład:
Zadanie: Dany jest kwadrat o boku długości 5 cm. Oblicz pole tego kwadratu.
Zadanie na dowodzenie: Dany jest kwadrat o boku 5 cm. Dlaczego (wykaż, że) jego pole wynosi 25 cm2?
Szczególnie polecane dla młodszych dzieci są zadania geometryczne. O nich mowa będzie dalej.

Kilka słów o konstrukcji twierdzenia1
Twierdzenie matematyczne: Jeżeli zdanie 1, to zdanie 2.
Zdanie 1 – założenie,
Zdanie 2 – teza.
Dowód twierdzenia polega na wykazaniu tezy na podstawie założenia lub zestawu założeń.
Kolejne kroki:

  • Zapisz założenie i tezę.
  • Przypomnij sobie (wypisz) znane Ci twierdzenia i własności związane z tezą.
  • Postępuj krok po kroku od założenia do tezy, uzasadniając każdy krok. Zapisuj to uzasadnie...

Pozostałe 70% treści dostępne jest tylko dla Prenumeratorów.

Co zyskasz, kupując prenumeratę?
  • 6 wydań czasopisma "Matematyka"
  • Dostęp do wszystkich archiwalnych artykułów w wersji online
  • Możliwość pobrania materiałów dodatkowych, testów i zadań
  • ...i wiele więcej!
Sprawdź

Przypisy