Dołącz do czytelników
Brak wyników

Dowodzenie w szkole

21 stycznia 2020

NR 42 (Styczeń 2020)

Podzielność liczb. Jak oswoić dzieci z dowodzeniem twierdzeń?

178

Zadania związane z podzielnością liczb są bardzo wdzięcznym tematem do szlifowania dowodzenia. Możemy tutaj pokazać różne sposoby przedstawiania dowodu, a nasi uczniowie mają ogromny wybór zadań do samodzielnego rozwiązywania zarówno w podręcznikach różnych wydawnictw, zbiorach zadań, jak i wprost w książkach tylko z zadaniami na dowodzenie. Właściwie w każdym momencie możemy te zadania powtarzać. Warto zbudować sobie swoją bazę zadań i do nich, wraz z uczniami, wracać. Wszak krzywa zapominania jest nieubłagalna.

Przy tego typu zadaniach wśród rozwiązań pojawią się zapewnienia o prawdziwości twierdzeń („to na pewno jest prawdziwe”) oraz dowodzenie poprzez podanie kilku przykładów. O ile pierwsze zdanie omówimy z uczniami, drążąc i dopytując, dlaczego to twierdzenie jest prawdziwe, czyli wskażemy drogę do rozumowania, o tyle sposób dowodzenia poprzez podanie przykładów jest wart zatrzymania w pracy dydaktycznej nauczyciela. To dobry początek dowodu. Myśl, która biegnie do konkretnych liczb, wskazuje nam, naszym uczniom, drogę do uogólnienia. Nie negujmy tego, a pozwólmy wykorzystać tę myśl do przedstawienia dowodu dla wszystkich liczb. Jak to zrobić? To nasze, nauczycieli, zadanie. Kilkukrotnie powtórzony przeskok do ogólności, wyrażeń, liter pozwoli w przyszłości naszym uczniom samodzielnie, przy trudniejszych zadaniach, rozumować w ten sposób. I o to chodzi.

Cechy podzielności liczb

Przypomnijmy wspólnie cechy podzielności przez 2, 3, 4, 5, 6, 9 i 10. Warto przy tej okazji zwrócić uwagę na cechę podzielności przez 4, która została dołączona do nowej podstawy programowej do szkoły podstawowej.

Zapis formalny liczby podzielnej przez 2, 3, 4, 5 itd.:
2n, n€N – liczba parzysta (podzielna przez 2),
3n, n€N – liczba podzielna przez 3,
4n, n€N – liczba podzielna przez 4 itd.
Cecha podzielności przez 4 – dodać (uzupełnić) zgodnie z nową podstawą programową do szkoły podstawowej.

Przedstawię tutaj swoje zadania bazowe (zostały one zaczerpnięte z różnych zbiorów zadań, do których się odwołuję), kilka z nich rozwiążę. Wszystkie te zadania już pokazałam w klasie pierwszej liceum po szkole podstawowej. Pojawiły się też wśród zadań na sprawdzianie Liczby rzeczywiste i, niestety, nie wypadły powszechnie dobrze. Zatem konsekwentnie będę pokazywać nowe i wracać do zapisów, aby moi uczniowie oswoili się z tym typem zadań. 

Zadanie 1. Udowodnij, że suma trzech kolejnych liczb całkowitych jest podzielna przez 3.

Rozwiązanie:
Założenie: n, n + 1, n + 2, gdzie n€Z (czyt. dane są trzy kolejne liczby całkowite)
Teza: n + (n + 1) + (n + 2) = 3k, gdzie n, k€Z (suma liczb z założenia jest podzielna przez 3)
Dowód: Rozważmy lewą stronę równości zapisanej w tezie:
L = n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3 = 3 (n + 1)
z założenia n€Z, więc n + 1 = k€Z,
stąd L = 3k, gdzie k€Z
L = P
cnd.

Zadanie 2. Wykaż, że suma czterech kolejnych liczb naturalnych przy dzieleniu przez 4 daje resztę 2.
Uwaga: Liczba, która przy dzieleniu przez 4 daje resztę 2. Zapis ten może sprawić uczniom trudność i wtedy warto na konkretnych przykładach rozpisać, zanim sformułujemy tezę:
4 = 4 · 1 + 0
5 = 4 · 1 + 1
6 = 4 · 1 + 2
7 = 4 · 1 + 3
8 = 4 · 2 + 0
9 = 4 · 2 + 1
10 = 4 · 2 + 2
11 = 4 · 2 + 3
12 = 4 · 3 + 0

Rozwiązanie:
Założenie: n, n + 1, n + 2, n + 3, gdzie n€N (czyt. dane są cztery kolejne liczby naturalne)
Teza: n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) = 4k + 2, gdzie n, k€N (suma liczb z założenia przy dzieleniu przez 4 daję resztę 2)
Dowód: Rozważmy lewą stronę równości zapisanej w tezie: 
L = n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) = 4n + 6 = 4n + 4 + 2 = 4 (n + 1) + 2
z założenia ndN, więc n + 1 = kdN,
stąd L = 4k + 2, gdzie k€N
L = P
cnd.

Zadanie 3. Wykaż, że jeśli dane są trzy kolejne liczby całkowite, to ich iloczyn jest podzielny przez 6.

Roz...

Pozostałe 70% treści dostępne jest tylko dla Prenumeratorów

Co zyskasz, kupując prenumeratę?
  • 6 wydań czasopisma "Matematyka"
  • Dostęp do wszystkich archiwalnych artykułów w wersji online
  • Możliwość pobrania materiałów dodatkowych, testów i zadań
  • ...i wiele więcej!
Sprawdź

Przypisy