Dołącz do czytelników
Brak wyników

O!kręgi rozwoju

23 listopada 2022

NR 58 (Listopad 2022)

Kamienie milowe w rozwoju matematyki

0 43

Ważną informacją dla Czytelnika może być to, że mój PESEL zaczyna się cyfrą 4. To daje mi pewien przywilej – otóż mogę sobie gawędzić o tym i o owym, w szczególności o tym, co fascynowało mnie od zawsze, czyli o matematyce. A o kamieniach milowych w jej rozwoju piszę tak, jak to widzę. Koledzy i Koleżanki, którzy/które bardziej profesjonalnie zajmują się historią matematyki, mogą inaczej postawić akcenty, wyróżnić to, o czym ja tylko wspomniałem i wytknąć mi, że pewne fakty przeceniam, innych nie doceniam. Ja to jednak tak widzę. Postawiłem dwanaście kamieni. To ładna, symboliczna liczba.

Kamień pierwszy. Wynalezienie matematyki. Tales z Miletu

Wielu słuchaczy/czytelników pomyśli, że powinienem był powiedzieć „odkrycie matematyki”. Przecież twierdzenia matematyczne odkrywamy jak nieznane lądy. Idę o zakład, że właśnie tak myśli każdy matematyk. W porządku, ale właśnie nie chodzi o tak rozumianą penetrację światów, tylko o sam wynalazek, o pomysł, o ideę, że świat można opisywać za pomocą formuł, a intelektualnie jest to muzyka duszy. Tradycyjna muzyka europejska ma swoje aksjomaty i reguły, a wynaleziono ją (muzykę) w prehistorii.
Obiegową prawdą jest przekonanie, że matematyka wzięła się z praktycznej geometrii (pomiarów pól uprawnych) i konkretnych obliczeń (handlowych). Nie jest to jedyna przyczyna sprawcza rozwoju naszej nauki. Taką praktyczną matematykę (Babilonia, Egipt) nazywano dawniej prematematyką. Od pewnego czasu zaczyna przeważać pogląd, że jest to „tylko” preinformatyka, bo warunkiem koniecznym zaliczenia jakiejś dyscypliny do matematyki jest to, by jej prawa i twierdzenia były wyprowadzane w ścisły sposób, zgodnie z prawami logiki formalnej. Powinny być prawdziwe w każdych warunkach politycznych, na każdej planecie i w każdym czasie. W tym sensie informatyka podobna jest do medycyny: lekarz ma wyleczyć pacjenta – program ma dać szybko właściwą odpowiedź na postawione pytanie. Nieważne, czy algorytm na placek z wiśniami jest poprawny logicznie, ważne, że produkt smakuje. Nie bójmy się porównania nauczyciela do artysty, a nie do naukowca! Praktyczne dzieło rzemieślnika-artysty jest niekiedy więcej warte niż profesorskie teoretyzowanie.
Od stuleci mamy trudności ze zrozumieniem, dlaczego właśnie w Grecji, mniej więcej w siódmym wieku przed Chrystusem, nastąpił tak olbrzymi skok cywilizacyjny. Z umiejętności mierzenia zalewanych przez Nil poletek fellachów, geometria stała się oderwaną nauką dedukcyjną. Skąd Platonowi (Πλάτων, 426–346 p.n.e.) 
przyszła do głowy myśl o świecie zapełnionym przez idee? Dlaczego Tales z Miletu (Θαλῆςὁ Μιλήσιος, VII/VI wiek p.n.e.) zadał sobie trud, by myśleć o dowodzie faktu, w który przecież „nikt przy zdrowych zmysłach” nie wątpi, że przy przecinaniu ramion kąta przez proste równoległe odpowiednie odcinki będą 
proporcjonalne? 
Grecy spojrzeli na matematykę właśnie nie jak na umiejętność, nie jak narzędzie do opisu świata, ale jak na sztukę, filozofię, a ujmując rzecz jeszcze ogólniej – jak na mimetykę, czyli mniej więcej naśladowanie rzeczywistości w sztuce. Z pewnością i w powstaniu geometrii ten mimetyczny czynnik był obecny. Tak można pojąć rewolucję intelektualną, jaka w niezwykłej formie dokonała się w kręgu cywilizacji śródziemnomorskiej 2500 lat temu, a której przyczyn nie umiemy sobie racjonalnie wytłumaczyć. 

POLECAMY

Kamień drugi. Pitagoras

Był w historii ludzkości VI wiek p.n.e. Żyli w nim między innymi: 孔夫子 (551–479), Siddhartha Gautama (560–483) i Πυθαγόρας (572–497), czyli Konfucjusz, Budda i Pitagoras. Jak widać, przedziały ich życia mają niepuste przecięcie…
Zadanie. Przez ile lat panowie ci przebywali razem na tym świecie? 
Były to dawne czasy. Nie wiadomo, czy nasi trzej mędrcy wiedzieli wzajemnie o sobie. Internet działał wtedy powoli, zasięg telefonii komórkowej był słaby. Niektórzy badacze twierdzą, że nie było wtedy ani Internetu, ani mobile phones. Ale włóżmy to między bajki – to niczym nieuzasadnione twierdzenia. Internet był zawsze.
Jak wiemy, filozof nie musi sam być mądry. Filozof to „przyjaciel mądrości” – tak o sobie skromnie mówił Pitagoras. Zawdzięczamy mu o wiele więcej niż twierdzenie o trójkątach prostokątnych, znane zresztą i Babilończykom, i Egipcjanom. Od Pitagorasa wzięła się tradycja europejskiej szkoły filozoficznej i ogólniej – poznawczej. Szkoła rozpadła się, gdy odkryto liczby niewymierne – coś, co ówczesnym mędrcom nie mieściło się w głowie. Zburzył im się świat. Wierzyli, że wszystko da się opisać prostymi stosunkami liczbowymi. A tu wyskoczył √2. Notabene, podawany dzisiaj w szkołach dowód niewymierności tej liczby jest oczywiście logiczny i prosty, ale zabija całą głębię odkrycia. Przekątna kwadratu jest niewspółmierna z jego bokiem. O to chodzi. Przypomnę ten piękny dowód geometryczny. Załóżmy, że bok kwadratu ABCD i jego przekątna mają wspólną miarę – odcinek, który mieści się całkowitą liczbę razy w AB i w AC. Pamiętamy, że suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej. Wynika stąd, że w przekątnej mieści się parzysta liczba odcineczków. Będziemy mieli zatem tę samą wspólną miarę boku mniejszego kwadratu EBFC i jego przekątnej BC. Zmniejszamy znów kwadrat i znów mamy tę samą co na początku wspólną miarę boku kwadratu CFHC i jego przekątnej CF. Kwadraty zmniejszają się, a hipotetyczna wspólna miara zostaje niezmieniona, a zatem kiedyś będzie dłuższa niż bok kwadratu. Sprzeczność. 
 


O, właśnie. Zauważmy, że posługujemy się tutaj dowodem „nie wprost”. To też odkrycie Greków. Nawet w XXI wieku niektórym ludziom trudno jest pojąć samą ideę takiego dowodu. Jak to? Przyjmujemy coś, co chcemy obalić? 

Kamień trzeci. Archimedes. Całki i odkrycia wyprzedzające swoje czasy

Archimedes (Ἀρχιμήδηςὁ Συρακόσιος) został zabity przez żołnierza rzymskiego w 212 r. (wszystko oczywiście „na minusach”, czyli przed naszą erą). Zawołał gniewnie do żołnierza: noli turbare circulos meos – nie psuj moich kół. Żołnierz nie posłuchał.
Starożytni posiedli rozległą i głęboką wiedzę geometryczną. Nie ma wielkiej przesady w tym, że potrafili już całkować. Archimedes poprawnie obliczył pole pod łukiem paraboli, czyli właśnie całkę. Wprawdzie robił to inaczej niż teraz, bo metodą wyczerpywania, a nie przez sumy Riemanna, ale jednak zgłębił tajemnicę przechodzenia do granicy. Właśnie to odkrycie Archimedesa jest dla mnie kamieniem milowym – szczytowym osiągnięciem, wierzchołkiem góry, krańcem podróży. Dlaczego ogólny rachunek całkowy powstał dopiero mniej więcej 1900 lat później? Jedną z przyczyn łatwo zgadnąć – Starożytni doszli do kresu swoich możliwości intelektualnych. Ale ważniejsze jest co innego. Nie było żadnego zapotrzebowania społecznego na tego typu spekulacje i odkrycia. Gdyby było, na pewno uczeni tamtych czasów opanowaliby i te obszary. Inaczej było w XVII wieku, o czym niżej. Odnotujmy, że elementy rachunku różniczkowego odkrył też Bhāskara (1114–1185) – indyjski mędrzec często mylony z VII-wiecznym uczonym o tym samym imieniu. 
Wreszcie pamiętajmy też, że zaprojektowana i częściowo zbudowana w 1849 r. przez Charlesa Babbage’a (1791–1871) Maszyna Analityczna spełniała warunki współczesnego komputera: można ją było programować. Wynalazcy zabrakło pieniędzy na dokończenie projektu, ale z pewnością by je znalazł, gdyby istniało zapotrzebowanie społeczne. Wynalazek podzielił los setek odkryć, który przyszły za wcześnie. 

Kamień czwarty. Algebra

Dziwna rzecz a prawdziwa. Oto i algebra.
Z wyjętego poezji stworzona jest żebra.
Dlatego ku jednym i tym samym stronom
Kierują swe kroki i wieszcz i astronom.
Józef Bohdan Zaleski (1802–1886), filomata, 

przyjaciel Adama Mickiewicza

Jak sugeruje sam przedrostek al-, słowo „algebra” jest pochodzenia arabskiego. W IX wieku mędrzec arabski Al-Chorezmi (Chorezm to dzisiejsza Chiwa w Uzbekistanie) napisał książkę pod zrozumiałym (dla każdego, kto zna arabski) tytułem:

co po transliteracji brzmi zagadkowo i kwieciście: Al-kitab al-muchtasar fi hisab al-dżabrwa-al-mukabala, a na polski bywa przekładane jako Krótka księga o rachowaniu przez dopełnianie i równoważenie. Uznajemy to za początek algebry. Chociaż nie było jeszcze oznaczeń literowych w dzisiejszym sensie, autor nauczył nas, że można rachować na obiektach, których nie znamy. Mówiąc dzisiejszym językiem, rachować na niewiadomych. Nieważne, jakimi liczbami są x, y, z. 
Zawsze, jeżeli x + y = z, to x + y – z = 0. Wydaje się to dla nas łatwe i oczywiste. Mamy rację – wydaje nam się. 
Należy tu podziękować Arabom, że przełożyli dzieła Greków na arabski. Dzięki temu Europejczycy mogli wiele odzyskać po okresie rekonkwisty na półwyspie Iberyjskim (początek 718, koniec 1492). O roli tłumaczy pięknie pisze Olga Tokarczuk („Prace Hermesa, czyli jak tłumacze codziennie ratują świat” w tomie „Czuły narrator”).

Kamień piąty. Scipione del Ferro (1465–1526), Gerolamo Cardano (1501–1576), Niccolò Fontana – Tartaglia (1499–1557) 

Ci trzej panowie przeszli do historii matematyki jako odkrywcy sposobów rozwiązywania równań stopnia 3 i 4. Przyjmuje się dziś, że – przynajmniej jeśli chodzi o stopień 3 – pierwszy był najstarszy z nich – del Ferro, a pozostali dwaj weszli w posiadanie stosownych formuł w nie do końca uczciwy sposób. Nie dlatego zasłużyli sobie, by uhonorować ich specjalnym kamieniem. Postawienie ich (szczególnie Cardana) przy słupie milowym zawdzięczają rozważaniom liczb zespolonych, które „torturują umysł”, ale prowadzą do poprawnych i pożytecznych wniosków. To Cardano odkrył casus irreducibilis. Jeżeli równanie trzeciego stopnia ma trzy różne niewymierne pierwiastki (rzeczywiste), to nie można się do nich „dobrać” bez liczb zespolonych. Trzeba przeżyć owe „tortury umysłu” – tak właśnie o nich pisze Cardano w swoim Ars Magna (1545).
Do czasów Leonharda Eulera (1707–1783) liczby urojone weszły już w matematyce do powszechnego użycia, ale ich prawdziwa istota pozostawała tajemnicza. Dopiero w końcu XVIII wieku znaleziono ich prostą interpretację: liczby zespolone to po prostu punkty na płaszczyźnie. Jednak mistyka ich nie zniknęła całkowicie. Z liczbami zespolonymi ma też problemy egzystencjalne tytułowy bohater debiutanckiej powieści austriackiego pisarza Roberta Musila Niepokoje wychowanka Törlessa (książka 1906 r., film z 1966 r.). Zadziwia się liczbami urojonymi. Mówi do kolegi: „Pomyśl sobie: w takim rachunku występują z początku całkiem solidne liczby, które mogą przedstawiać metry, ciężary lub coś innego, równie realnego, i przynajmniej są prawdziwymi liczbami. Przy końcu rachunku też są takie liczby. Ale te liczby łączy coś, czego nie ma. Czy to nie jest jak most, w którym jest tylko pierwsze i ostatnie przęsło, a przez który przechodzi się mimo to tak pewnie, jak gdyby stał cały? Dla mnie w takim rachunku jest coś, co powoduje zawrót głowy, jak gdyby kawałek drogi prowadził Bóg wie dokąd” (cyt. według przekładu Wandy Kragen).

Kamień szósty. Księga Natury

Pierwszym uczonym, który zastanawiał się nad matematycznością świata, był Galileo Galilei – Galileusz (1564–1642). Spuszczamy kulę po równi pochyłej i stacza się ona w czasie uprzednio przez nas wyliczonym. Co sprawia, że świat w tak doskonałym stopniu stosuje się do umysłu człowieka? Co więcej, świat JEST matematyczny.
W latach 1665–1667 Isaac Newton (1642–1727) z powodu epidemii w Anglii musiał się uczyć zdalnie, chociaż jeszcze nie za pomocą łączy internetowych. Stworzył podstawy rachunku różniczkowego i całkowego, opanowawszy pojęcie nieskończenie małych wielkości. Nie wszyscy uczeni przyjęli to ze zrozumieniem. 

Nature and nature’s work lay hid in night.
God said: Let Newton be! and there was light.
Przyrody wszelkie dzieło w pomroce leżało. 
Bóg rzekł: Niech będzie Newton! i jasno się stało!.
(w przekładzie Juliana Tuwima)
Newton był nie tylko największym badaczem, 
ale i najbardziej fortunnym, bo tylko jeden człowiek może po raz pierwszy odkryć tajemnice Wszechświata. 

(Joseph Louis de Lagrange)

Na matematyce znał się stosunkowo dobrze Jan Paweł II. 
Jego następca, Benedykt XV,  otwarcie mówił o matematyczności świata. Immanuel Kant inaczej interpretuje fakt, że świat „słucha się” formuł matematycznych. Można powiedzieć, że przyjmuje pierwszą tezę Galileusza: świat przemawia do nas językiem matematyki, a odrzuca tezę, że świat jest matematyczny. Zakłada, że świat jest niepoznawalny, ale nasz umysł ma pewne właściwości i jedną z nich jest na przykład logiczne, powiązane w wiązki przyczynowo-skutkowe postrzeganie rzeczywistości. Wiązki wrażeń odbierane przez nas ze świata przetwarzamy zgodnie z tymi „formami naoczności”, jakimi są czas i przestrzeń. To przypomina motyw z filozofii Karla Jaspersa (1883–1969) – jego fundamentalne pojęcie nieodgadnionej Transcendencji. Napotykamy ją, gdy naszą intuicją chcemy wykraczać poza granice wiedzy. Nie możemy jej objąć słowem. Mówi ona do nas językiem szyfrów. Szyfrów takich jest wiele – jednym z nich jest sztuka i nauka. 

Kamień siódmy. Paolo Ruffini, EVARISTE GALOIS i Niels Henrik Abel

W XVI wieku uczeni włoscy umieli rozwiązać równania stopnia 3 i 4. W 1785 r. Paolo Ruffini wykazał, że dla ogólnego równania piątego stopnia nie mogą istnieć wzory na pierwiastki – wzory, w których występują tylko cztery działania arytmetyczne i wyciąganie pierwiastka dowolnego stopnia. Jak się to zdarzało, dowód nie został doceniony przez współczesnych. W 1826 r. norweski uczony Abel otrzymał ten sam wynik. Pierwiastki ogólnego równania stopnia 5 i wyższych nie dadzą się otrzymać drogą czterech podstawowych działań arytmetycznych, plus wyciąganie pierwiastka dowolnego stopnia. Samo odkrycie nie jest specjalnie ważne. Ważna jest metoda: pójście w abstrakcję, zastosowanie algebry abstrakcyjnej, konkretnie teorii grup. Dziś znamy to jako teorię Galois. Nieśmiałe początki teorii grup. W pół wieku później Felix Klein (program z Erlangen, 1875) zmieni postrzeganie geometrii: geometria to badanie niezmienników grup przekształceń. Wielu historyków stawia kamień milowy właśnie przy programie z Erlangen.

Kamień ósmy. O hipotezach, które leżą u podstaw geometrii

Za półtora roku przypadnie 170. rocznica jednego z najważniejszych wydarzeń w historii matematyki. 10 czerwca 1854 r. dwudziestoośmioletni Bernhard Riemann wygłosił na uniwersytecie w Getyndze swój wykład habilitacyjny. Niemiecki tytuł wykładu brzmiał Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen, co na polski można przetłumaczyć tak właśnie: O hipotezach, które leżą u podstaw geometrii. Chodzi o pojęcie przestrzeni. Co to jest przestrzeń? Czy warto się nad tym zastanawiać?
Już Mikołaj z Oresme (1323–1382) w traktacie Tractatus de configuration ibus qualitatum et motuum (ok. 1350 r.) użył terminu ymagineé na oznaczenie przestrzeni. Poza trzy wymiary matematycy próbowali wyjść dopiero na początku XIX wieku. Pierwszy głęboki matematyczny traktat o ogólnie rozumianej przestrzeni stworzył Hermann Grassmann (1809–1877) – praca z 1844 r. Ausdehnungslehre („nauka o rozciągłości”).
W swoim wykładzie Bernhard Riemann nie opowiedział o tym, czego się nauczył, co udowodnił on lub inni matematycy, nie opowiadał interesująco w efektownym (dziś powiedzielibyśmy: telewizyjnym) stylu. Po prostu wytyczył rozwój geometrii na co najmniej kilkadziesiąt lat. Ot tak, po prostu. Wziął i wytyczył. Zrobił to tak, że od tej chwili mamy już inny topos przestrzeni. 
Pojęcie toposu jest używane w teorii literatury od czasów starożytnych. Kwintyliusz wyjaśniał, że topos to „skład wątków myślowych” czy „odwołanie się do ogólnie znanych prawd”. Jest to więc ogół wyobrażeń, jakie wywołuje w nas dane hasło. Dla uszu matematyka ciekawie brzmi zwrot „topos hiperboliczny”. Jest to zwyczaj nakazujący nam w pewnych sytuacjach wyolbrzymiać nasze uczucia, nie tylko w uroczystych chwilach, bo nawet mówiąc na powitanie „bardzo mi przyjemnie”, ulegamy takiemu toposowi.

Kiedyś Grace Budd powiedziała mi: 
– Nie ma nic piękniejszego niż przestrzeń.
A było to w jednej z małych, brudnych, ciemnych stacji metra w Nowym Jorku.
Chodziło jej o przestrzeń nie tę, która nas otaczała, ale o tę, która dawała się pomyśleć, dawała się stworzyć mocą wyobraźni. 

(Ryszard Kapuściński, Lapidaria, Czytelnik, 1997)

Co było takiego w wykładzie Riemanna, że mówimy o zmianie toposu? Otóż ludzie od zawsze interesowali się przestrzenią. Jedni skakali z wieży, inni wysyłali sondy na Tytana, a inni o przestrzeni „tylko” myśleli. Matematycy potrzebowali oczywiście precyzji. Geometria została ujęta zatem w aksjomaty. Zapamiętałem taki fragment opowiadania autora, którego nazwisko wyleciało mi z pamięci: „Kowboje znają sposób skrępowania byczka tak, że zwierzę nie może się poruszyć ani pomyśleć. Taki węzeł nazywa się hog-tie i to właśnie Euklides zrobił z geometrią”.
Riemann zaś przedstawił sposób rozumienia przestrzeni wielowymiarowych. Dla jego współczesnych były to istotnie „tortury umysłu”. 
Dopiero Einstein ok. 1910 r. zrozumiał, że geometria Riemanna jest tym, czego fizycy potrzebowali: polem Faradaya dla grawitacji. „Równania Einsteina wyrażone za pomocą tensora metrycznego mają elegancję taką, jakiej nie było do tej pory w fizyce” – pisze Michio Kaku[2], a my zauważmy, że nie potrzeba żadnej mistyki ani filozoficznych rozważań – znając tensor metryczny, podstawiamy dane do odpowiednich wzorów geometrii różniczkowej i mamy opis krzywizny każdej przestrzeni, nawet tej, w której wszyscy się znajdujemy w tej chwili. 

Przestrzeń, podobnie jak czas, 
przynosi zapomnienie…

(Thomas Mann, Czarodziejska góra, tłum. Józef Kramsztyk)

Kamień dziewiąty. Georg Cantor

Powszechnie przyjmuje się, że odkrycia Cantora (1845–1918) zmieniły paradygmat matematyki. Od tej pory jest ona częścią teorii mnogości. Poję...

Pozostałe 70% treści dostępne jest tylko dla Prenumeratorów

Co zyskasz, kupując prenumeratę?
  • 6 wydań czasopisma "Matematyka"
  • Dostęp do wszystkich archiwalnych artykułów w wersji online
  • Możliwość pobrania materiałów dodatkowych, testów i zadań
  • ...i wiele więcej!
Sprawdź

Przypisy