Dołącz do czytelników
Brak wyników

O!kręgi rozwoju

26 września 2022

NR 57 (Wrzesień 2022)

Matematyczne mantry, czyli jak pomóc uczniom w uczeniu się

0 185

Z niezrozumiałych dla mnie powodów moi licealiści kiepsko zapamiętywali definicję logarytmu i nie potrafili określić wartości logarytmów o różnych podstawach. Gdy zaczęłam się zastanawiać nad tym, dlaczego tak się dzieje, uświadomiłam sobie, że po prostu uczniowie spotkali się z logarytmami po raz pierwszy, że jest to dla nich zupełnie nowe działanie i potrzebują czasu i ćwiczeń, aby logarytmowanie stało się tak samo oczywiste jak potęgowanie. W poniższym materiale przedstawię kilka trików, które ułatwiają uczniom zrozumienie i przyswojenie materiału.

Po jakimś czasie uświadomiłam sobie jeszcze jeden problem, a mianowicie, że uczniowie nie rozpoznają np. w liczbie 16 czwartej potęgi liczby 2 czy w liczbie 27 – sześcianu liczby 3. 

POLECAMY

Myślę, że w czasach, gdy wszyscy korzystamy z telefonów komórkowych i nawet nie podejmujemy próby zapamiętania jakiegokolwiek numeru telefonu, nie powinien nas dziwić fakt, że uczniowie nie zapamiętują wyników działań, które można odczytać z kalkulatora. 

Dlatego zawsze zanim zacznę z uczniami wyznaczać wartości logarytmów, proszę ich, aby najpierw w zeszycie w słupkach zapisali:

  • kolejne potęgi liczby 2,
  • kolejne potęgi liczby 3,
  • kolejne potęgi liczby 5,
  • kwadraty kolejnych liczb naturalnych od 1 do 20,
  • sześciany kolejnych liczb naturalnych od 1 do 10.

Proszę, aby notatka była kolorowa i każdy słupek innego koloru. Podpowiadam również uczniom, aby na stronie z zapisanymi potęgami przykleili samoprzylepne karteczki-zakładki (tzw. sklerotki), aby w każdej chwili, gdy będziemy wyznaczać logarytmy, mogli zajrzeć do swojej notatki.

Gdy w głowach wartości potęg są poukładane, możemy przejść do logarytmów. Zapisujemy w zeszycie definicję, a pod nią pytanie, które jak mantrę będziemy powtarzać przez kolejne lekcje: „Do jakiej potęgi należy podnieść a, aby otrzymać b?”.

Schemat 1


Teraz kolejne osoby otrzymują zadanie: podaj wartość logarytmu:
log2^8 = ?, log3^81 = ?, log6^1 = ? … itp.
Dajemy sobie czas, nie spieszymy się. Każdy uczeń, zanim poda wartość, najpierw głośnio zadaje sobie pytanie:

  • Do jakiej potęgi należy podnieść 2, aby otrzymać 8?
  • Do jakiej potęgi należy podnieść 3, aby otrzymać 81?
  • Do jakiej potęgi należy podnieść 7, aby otrzymać 1?

itd.

Wielokrotnie powtarzane pytanie, jak mantra, w końcu staje się dla uczniów oczywiste. Gdy widzę, że formułowanie go nie sprawia uczniom kłopotów i podawanie wartości logarytmów na prostych przykładach również, przechodzę do przykładów typu: log4^(1/16), a na końcu do przykładów typu log3^√3, czyli takich, w których wartość logarytmu jest liczbą wymierną lub ujemną. Bardzo zależy mi na tym, aby każdy uczeń w czasie pierwszego spotkania z logarytmami miał możliwość głośnego wypowiedzenia formułki i przekonania się, że logarytmowanie nie jest niczym skomplikowanym.

Kolejny etap to zadania typu: podaj wartość logarytmu log4^2√8 = ?

Oczywiście w tym momencie uczniowie robią wielkie oczy, bo starają się podać bez obliczeń wartość logarytmu. Uspokajam wtedy wszystkich i tłumaczę, że to jest ten moment, gdy mogą ze spokojem odpowiedzieć „NIE WIEM”, a znak zapytania zastąpić niewiadomą x. To z kolei wiąże się z zastąpieniem równania logarytmicznego równoważnym równaniem wykładniczym. I tu pora na kolejną matematyczną mantrę. Gdy widzę, że przejście z równania log4^2√8 = x do równania 4x = 2√8 sprawia uczniom kłopoty, wykonuję ćwiczenie typu połącz w pary. Mam w kopertach przygotowane zestawy karteczek (jak pary w poniższej tabelce), które uczniowie porządkują, pracując w grupach.

logab = c    ac = b
logab = b    ab = c
logcb = a    ca = b
logcb = b    cb = s
logbb = c    bc = a
logbb = a    ba = c


W tym momencie warto zauważyć, że utrwalanie nowej wiedzy z wykorzystaniem gier sprawdza się nie tylko w szkole podstawowej, ale również w szkole średniej. Uczniowie chętnie angażują się w wykonanie tak przygotowanych ćwiczeń i co najważniejsze – ich skupienie na rozwiązaniu problemu jest bezcenne.

Schemat 2


Nierówności kwadratowe

Nauka rozwiązywania nierówności kwadratowych ax^2 + bx + c > 0 następuje oczywiście po opanowaniu umiejętności rozwiązywania równań kwadratowych ax^2 + bx + c = 0. Zwracamy wówczas uczniom uwagę, że po wyznaczeniu miejsc zerowych trójmianu należy naszkicować odpowiednią parabolę, aby z wykresu odczytać rozwiązanie nierówności. Niestety, rozwiązując nierówności kwadratowe, uczniowie często kończą swoją pracę na wyznaczeniu tylko miejsc zerowych. Dlatego jak mantrę należy powtarzać, że rozwiązując nierówność kwadratową, należy naszkicować pomocniczy wykres. Na etapie nauki jak najczęściej zadawajmy głośno pytania: Nierówność kwadratowa, więc o czym pamiętamy? Jaką rysujemy parabolę? Możemy poprosić o odpowiedź w formie mowy ciała (Ile miejsc zerowych? Jak skierowane ramiona?) – wtedy uczniowie na migi mogą pokazać, jak będą rysować swoje parabole.

Jak mantrę powtarzajmy pytanie: O czym należy pamiętać, rozwiązując nierówność kwadratową? O wykresie oczywiście!

Odczytywanie z wykresu własności funkcji

Ważną do opanowania przez uczniów umiejętnością jest odczytywanie własności funkcji z jej wykresu. Aby uczniowie mogli skupić się na nauce, a nie na rysowaniu kolejnych wykresów w zeszycie, podczas ćwiczeń korzystam z przygotowanych wcześniej kart pracy (przykład poniżej) i kolorowych pisaków. Zaczynamy np. od miejsc zerowych – tym samym kolorem zaznaczamy je na wszystkich piętnastu wykresach. Kolejni uczniowie opowiadają, ile widzą miejsc zerowych i jakie są ich wartości.

 

 

Następnie innym kolorem zaznaczamy na wykresach fragmenty leżące powyżej osi OX i określamy przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości dodatnie. Na pewno po 15 przykładach nie ma żadnego problemu z określeniem przedziałów, gdzie funkcje przyjmują wartości ujemne.

Ta sama karta pracy może posłużyć do nauki odczytywania dziedziny funkcji i zbioru jej wartości. Wówczas wystarczą dwa kolory – zaznaczamy odpowiednio przedziały na osi OX lub OY. Wykorzystuję karty pracy również do określania przedziałów monotoniczności. Wtedy potrzebne są trzy kolory – najpierw na wszystkich wykresach w karcie zaznaczamy fragmenty funkcji rosnącej (tym samym kolorem oczywiście) i odczytujemy odpowiadające im zbiory argumentów, następnie powtarzamy to dla funkcji malejącej i stałej. 

Po analizie piętnastu wykresów można się spodziewać, że uczniowie nabiorą wprawy w odczytywaniu własności funkcji. Dzięki karcie pracy lekcja ma fajne dynamiczne tempo, a uczniowie nabierają pewności, wykonując kolejne ćwiczenia.

Własności funkcji homograficznej
 

 

Kartę pracy i kolorowe pisaki można również wykorzystać podczas ćwiczenia odczytywania własności funkcji homograficznej. Uczniowie często błędnie zapisują równania asymptot, dlatego warto korzystać z kolorowych pisaków. Najpierw kolorem niebieskim podkreślamy hasło ASYMPTOTA POZIOMA, następnie tym samym kolorem poprawiamy asymptotę poziomą, a na końcu również tym samym kolorem zapisujemy równanie asymptoty. To samo powtarzamy z asymptotą pionową, ale oczywiście już z innym kolorem. 

Podobnie postępujemy, określając dziedzinę i z...

Pozostałe 70% treści dostępne jest tylko dla Prenumeratorów

Co zyskasz, kupując prenumeratę?
  • 6 wydań czasopisma "Matematyka"
  • Dostęp do wszystkich archiwalnych artykułów w wersji online
  • Możliwość pobrania materiałów dodatkowych, testów i zadań
  • ...i wiele więcej!
Sprawdź

Przypisy