Dołącz do czytelników
Brak wyników

Otwarty dostęp , Temat numeru

21 lipca 2021

NR 50 (Lipiec 2021)

Matematyczne podstawy tworzenia parkietaży. Propozycja zajęć dodatkowych z matematyki

0 61

Zajęcia, których przebieg opiszę poniżej, dotyczą szczelnego wypełniania płaszczyzny za pomocą wielokątów foremnych. Ich głównym celem jest odpowiedź na pytanie: w jaki sposób możemy wypełnić płaszczyznę przy pomocy dowolnych wielokątów foremnych? Przedstawię ich podstawowe własności w sposób przystępny dla uczniów zarówno szkoły podstawowej, jak i szkoły średniej.

Szczelne wypełnienie płaszczyzny figurami geometrycznymi, tak aby przylegały, ale nie nachodziły na siebie, nazywamy parkietażami. Takie parkietaże wykorzystuje się jako motyw ozdobny w budownictwie i urządzaniu mieszkań.
Punkt, w którym spotykają się wierzchołki wielokątów, nazywamy wierzchołkiem parkietażu. Typem wierzchołka nazywamy grupę liczb, które stanowią liczbę boków każdego z wielokątów w danym wierzchołku. Ustalmy, że zaczniemy od wielokąta o najmniejszej liczbie boków, obok którego znajduje się wielokąt o mniejszej liczbie boków. Kolejność liczb odczytujemy zgodnie z ruchem wskazówek zegara. 
Na początek warto wykorzystać dostępne w sprzedaży klocki w kształcie wielokątów foremnych (Reko, Dienesa, Geomag itp.) lub wykonać modele wielokątów foremnych o tej samej długości boków i pozwolić uczniom sprawdzić w praktyce, jakiego typu wielokąty mogą stanowić wierzchołek parkietażu. Na przykład:
 

POLECAMY

Ryc. 1


Dwa kwadraty i trzy trójkąty równoboczne będą wierzchołkiem parkietażu. Natomiast sześciokąt foremny, pięciokąt foremny, kwadrat i trójkąt równoboczny nie będą.
 

Ryc. 2


Oczywiste jest, że suma kątów w wielokątach wokół danego wierzchołka wynosi 360°. Skupmy się na parkietażach zbudowanych z wielokątów foremnych. Uczniowie potrafią już obliczyć miarę kąta wewnętrznego w wielokącie foremnym. Przejdźmy zatem do obliczeń.

Ćwiczenie 1
Sprawdź (wykonując odpowiednie obliczenia), czy w wierzchołku parkietażu mogą znaleźć się tylko:

  • ośmiokąt foremny, trójkąt równoboczny i kwadrat,
  • dwa trójkąty równoboczne, kwadrat i dwunastokąt foremny,
  • dwa ośmiokąty foremne i kwadrat,
  • piętnastokąt foremny, dziesięciokąt foremny i kwadrat.

Jesteśmy w stanie policzyć miary kątów w wielokątach z ćwiczenia 1 i nie jest to uciążliwe, jednak przed wykonaniem dwóch kolejnych ćwiczeń warto przypomnieć tabelę z przybliżonymi wartościami miar kątów wewnętrznych w wielokątach foremnych (tab. 1).
 

Tab. 1. Wielokąt foremty
Iiczba boków miara kąta w stopniach
3 60
4 90
5 108
6 120
7 128.57
8 135
9 140
10 144
11 147.27
12 150
13 152.31
14 154.29
15 156
16 157.5
17 158.82
18 160
19 161.05
20 162


Zauważmy, że w każdym wierzchołku parkietażu znajdują się co najmniej trzy wielokąty foremne (nie może znajdować się mniej niż trzy wielokąty, bo żaden wielokąt foremny nie ma kąta półpełnego lub wklęsłego) i co najwyżej sześć wielokątów foremnych – przy czym, jeśli jest ich sześć, to muszą to być trójkąty równoboczne (nie ma wielokąta foremnego, który ma kąt mniejszy niż 60°).

Ćwiczenie 2
Podaj po trzy przykłady typów wierzchołków parkietażu, jeżeli wiemy, że spotykają się w nim:

  • trzy wielokąty foremne,
  • cztery wielokąty foremne,
  • pięć wielokątów foremnych.

Wykonaj obliczenia.

Ćwiczenie 3
Podaj przykłady typów wierzchołków, jeżeli wiemy, że spotykają się w nim: 

  • dwa rodzaje wielokątów foremnych,
  • trzy rodzaje wielokątów foremnych.

Wykonaj obliczenia.

Pozwólmy uczniom na samodzielne wykonanie kilku prób znalezienia wielokątów, które spełnią warunki określone w dwóch powyższych ćwiczeniach. Do znalezienia większej liczby takich wielokątów przydatny może być dynamiczny aplet wykonany w programie GeoGebra. Poniżej zaprezentuję screeny z tego samego apletu, dzięki któremu możemy zwizualizować zapełnianie powierzchni wielokątami foremnymi wokół wierzchołka (ryc. 3).
 

Ryc. 3


Powyższy aplet wymaga nieco więcej pracy niż poprzednie, jednak jego wykonanie nadal można uznać za elementarne.
W Widoku Grafiki wstawiamy sześć suwaków – pierwszym trzem ustawiamy 3 jako wartość najmniejszą, trzem kolejnym ustawiamy minimalną wartość 2 (jeżeli wartość będzie wynosić 2, dany wielokąt pozostanie niewidoczny). Za pomocą narzędzia Wielokąt foremny rysujemy pierwszy wielokąt – ustalamy punkty A i B, które wyznaczą jeden z boków tego wielokąta, i liczbę n (odpowiadającą pierwszemu suwakowi) jako jego liczbę boków. Na boku BA budujemy kolejny wielokąt, wybierając jako liczbę boków etykietę kolejnego suwaka (i). Na boku DA budujemy kolejny wielokąt, tym razem o liczbie boków j i analogicznie pozostałe trzy wielokąty foremne o liczbie boków k, l, m na bokach NA, OA i PA odpowiednio, pamiętając o zmianie wartości na trzech ostatnich suwakach na 3, bo przy wartości 2 wielokąt pozostanie niewidoczny. 
Usuwamy etykiety wielokątów, odznaczamy punkty w Widoku grafiki, zmieniamy kolorystykę.
Otwieramy Widok Arkusza. Dążymy do otrzymania efektu – ryc. 4.
 

Ryc. 4


Wpisujemy z klawiatury nazwy kolumn (liczba boków, miara kąta w stopniach) i wierszy (pierwszy wielokąt itd., SUMA KĄTÓW). W polach B3, B4, B5 wpisujemy kolejno n, i, j, w polu C3 wpisujemy 180360/n i analogicznie w C4 i C5. Chcemy, aby w polach B6, B7, B8, C6, C7, C8 pokazywały się zera, jeśli te wielokąty będą niewidoczne. W tym celu u dołu ekranu w polu Wprowadź wpisujemy:
 

B6=Jeżeli(k =?  2,0,k) i analogicznie dla B7 i B8,
C6=Jeżeli(k =?  2,0,180360/k) i analogicznie dla C7 i C8.


Jest to tzw. formatowanie warunkowe, np. w polu B6: jeśli k będzie równe 2, to wyświetli się 0, w przeciwnym przypadku wyświetli się wartość k.
W polu C9 za pomocą narzędzia Dodaj wartości w zbiorze komórek sumujemy wartości z pól od C3 do C5. W polach A2 i A9 wpisujemy = i zatwierdzamy Enterem. Ustalamy kolorystykę i obramowanie tabeli i za pomocą Utwórz Tabela tworzymy tabelkę w Widoku Grafiki.
Możemy na tym zakończyć formatowanie apletu i pozostawić uczniom komentarz albo też dodać odpowiedni tekst, który będzie się wyświetlał w zależności od sytuacji. Za pomocą Wstaw tekst wpisujemy trzy teksty – tekst1: za mało o 360 – C9° (przy czym C9 wybieramy jako obiekt w polu tekstowym), tekst2: za dużo o C9 – 360°, tekst3: wierzchołek został wypełniony. Ponownie korzystamy z formatowania warunkowego. W polu Wprowadź wpisujemy: 
 

Jeżeli (C9 > 360, tekst2, Jeżeli (C9 < 360, tekst1, tekst3))


W ten sposób program zinterpretuje, czy za pomocą danych wielokątów można wypełnić powierzchnię wokół wierzchołka.
Omawiając wypełnienie płaszczyzny wokół sześciokąta foremnego, zauważyliśmy, że istnieją układy, które pozwalają na wypełnienie powierzchni tak, aby wszystkie wierzchołki były tego samego typu i takie, które nie dają takiej możliwości. Jest to punkt wyjścia do dokonania klasyfikacji parkietaży. 
Parkietaże składające się wyłącznie z przystających wielokątów foremnych nazywamy foremnymi (platońskimi).

Ile jest parkietaży foremnych?

Z matematycznego punktu widzenia suma kątów wielokątów foremnych skoncentrowanych wokół jednego wierzchołka wynosi 360°. A zatem miara kąta wielokąta foremnego, z którego zbudowany jest parkietaż, jest dzielnikiem 360°. Mamy tylko trzy wielokąty foremne spełniające ten warunek: trójkąt równoboczny, kwadrat i sześciokąt foremny – mamy zatem trzy parkietaże foremne.
Jeżeli parkietaż składa się z wielokątów foremnych i w każdym wierzchołku parkietażu znajduje się dokładnie ten sam układ wielokątów (z dokładnością do obrotu), to parkietaż nazywamy półforemnym regularnym lub archimedesowym. Typem parkietażu półforemnego regularnego nazywamy typ jego wierzchołków (ryc. 5).
 

Ryc. 5. Parkietaż typu (3, 3, 4, 3, 4)


Ćwiczenie 4
Podaj typ parkietaży półforemnych regularnych na podanych poniżej rycinach:
 

Ryc. 6

 

Ryc. 7


Da się w matematyczny sposób określić liczbę parkietaży półforemnych regularnych, jednak nie jest to dowód elementarny – tak więc po prostu omówimy wszystkie typy takich parkietaży. Zanim jednak to zrobimy, poprośmy uczniów, aby za pomocą klocków lub innych modeli wielokątów foremnych spróbowali zbudować parkietaż półforemny regularny....

Artykuł jest dostępny w całości tylko dla zalogowanych użytkowników.

Jak uzyskać dostęp? Wystarczy, że założysz bezpłatne konto lub zalogujesz się.
Czeka na Ciebie pakiet inspirujących materiałow pokazowych.
Załóż bezpłatne konto Zaloguj się

Przypisy