W poprzednim artykule poznaliśmy Jasia Malutkiego i jego nowe przedsięwzięcie ekonomiczne. Jaś zajmował się produkcją i sprzedażą zakładek do książek. Wprawdzie robił to na małą skalę, ale zawsze jest to przedsięwzięcie o charakterze ekonomicznym i ma szanse rozwinąć się w coś poważniejszego, np. firmę papierniczą. Pójdźmy teraz kawałek dalej.
POLECAMY
Przykład 2
Po jakimś czasie Jaś Malutki stwierdził, że ma w szufladzie 1000 zł zarobione na zakładkach i zaczął się zastanawiać, co zrobić, aby te pieniądze też przynosiły mu zysk. Słyszał od rodziców o inflacji i wiedział już, że jego zarobki tracą na wartości, jeśli leżą w szufladzie. Przy kolacji, rozmawiając z rodzicami i bratem, dostał od nich następujące propozycje:
- brat zaoferował Jasiowi, że pożyczy od niego te pieniądze na rower, a po trzech latach zwróci mu jego pieniądze i dołoży mu jeszcze 120 zł za każdy rok pożyczki,
- tata zaproponował Jasiowi podobny układ, również na trzy lata, z tym że co roku dołoży Jasiowi 12% aktualnej wartości pożyczki,
- mama zaproponowała nieco zmienioną ofertę taty, dokładając Jasiowi co miesiąc 1% aktualnej wartości pożyczki.
Którą ofertę Jaś powinien wybrać? Każda z nich wygląda bardzo podobnie, prawie identycznie.
Jak przedtem, tak i teraz Jaś postanowił sprawdzić w Excelu, która oferta jest lepsza. Po utworzeniu w arkuszu trzech kolumn z odpowiednimi wzorami Jaś otrzymał model problemu wraz z rozwiązaniem. Poniżej pokazujemy to rozwiązanie oraz wzory w nim użyte (lewy górny róg modelu, ten z kwotą 1000, ma położenie A1). Model pokazuje, że oferta mamy była najlepsza.
Komentarz
Zauważmy, czego tym razem nauczą się uczniowie? Mamy tu do czynienia z ciągami zadanymi w postaci rekurencyjnej. Pojęcie rekursji jest dość trudne do wytłumaczenia w szkolnej matematyce, podczas gdy tutaj występuje w sposób zupełnie naturalny i właściwie niczego nie trzeba tłumaczyć. Wystarczy zwrócić uwagę, jak te trzy ciągi zostały utworzone, aby uczeń zrozumiał istotę rzeczy.
Jak w prawie każdym przypadku, wykres pokazuje, jak nasz model funkcjonuje. Możemy naocznie przekonać się, że pozornie ten sam procent liczony w skali rocznej i miesięcznej daje zupełnie różne wyniki.
Ile to będzie warte w przyszłości?
Z tego miejsca możemy pójść jeszcze kawałek do przodu i skomplikować problem jeszcze bardziej.
Przykład 3
Po zastanowieniu się Jaś uznał, że żadne z proponowanych przez rodziców i brata rozwiązań nie satysfakcjonuje go w pełni. Dlaczego? Za jakiś czas, kiedy zyski z wytwarzania zakładek znowu zaczną się gromadzić w szufladzie, trzeba będzie ponownie zastanawiać się, co z nimi zrobić. Tu Jaś zwrócił uwagę na okoliczne banki i zaczął zastanawiać się, jak funkcjonuje system oszczędzania pieniędzy w takim banku i dlaczego banki tak chętnie pożyczają ludziom pieniądze. Dość prosty model, również wykonany w Excelu, pokazał, że systematyczne oszczędzanie przynosi zyski stronie oszczędzającej. Konstruując swój model, Jaś postanowił przeanalizować osobno, co będzie się działo z depozytem początkowym i miesięcznymi wpłatami. W tym celu utworzył trzy kolumny: depozyt, wpłaty i razem. Oto, co otrzymał, analizując tylko dwa lata, przy założeniu, że oprocentowanie konta jest w skali 0,5% miesięcznie (czyli 6% rocznie).
24 miesięcy
za okres 24 miesięcy
24 miesięcy
Komentarz
W tym przykładzie mamy sporo interesujących informacji. Na początek zauważmy, że otrzymane tu rozwiązanie może być wyrażone wzorem:
gdzie:
A0 – wpłata początkowa,
An – stan konta w miesiącu n,
i – stopa procentowa,
F – wpłaty miesięczne.
Prawa część wzoru zawiera sumę dwóch wyrażeń: pierwsze z nich odpowiada kolumnie „Depozyt” w modelu Excela, natomiast drugie to z F, odpowiada kolumnie „Wpłaty”. Zwróćmy uwagę na to, że intuicje przekształcone we wzory matematyczne mogą prowadzić do znacznie bardziej skomplikowanych rozwiązań niż te wynikające bezpośrednio z logiki sytuacji. Wzory rekurencyjne zastosowane w naszym modelu są znacznie prostsze niż wzór matematyczny pokazany powyżej.
Niezwykle ciekawe jest to, co pokazuje otrzymany wykres. Tu widać wyraźnie, że stan konta bankowego jest budowany przez systematyczne oszczędzanie, a nie depozyt jednorazowy.
Otrzymany tu model jest bardzo elastyczny. Możemy użyć go praktycznie w każdej sytuacji związanej z oszczędzaniem czy pożyczaniem pieniędzy z banku. Dla przykładu założenie, że kwota wpłacona na początku jest ujemna, odpowiada sytuacji, kiedy pożyczamy pieniądze z banku i oddajemy je w ratach. To prowadzi do interesujących problemów, np. ile musimy wpłacać miesięcznie, aby spłacić dług w ciągu określonej liczby miesięcy lub lat? Jakie musiałoby być oprocentowanie, abyśmy byli w stanie spłacić dług w realnym czasie, z realnymi wpłatami?
Wreszcie warto rozważyć jeszcze inną sytuację. Możemy założyć, że wpłacamy na początku określoną sumę na określony procent i wybieramy co roku pewną stałą kwotę. Pytanie – na ile lat nam to starczy i ile naprawdę otrzymamy z banku?
Wreszcie nasz model można tak zmodyfikować, aby można było za każdym razem wpłacać inną kwotę i uwzględnić zmieniające się oprocentowanie konta.
Podobne modele możemy konstruować dla wielu innych sytuacji, niekoniecznie związanych z ekonomią. Możemy w ten sposób skonstruować modele znanych ciągów – ciągu Fibonacciego Fn, ciągu Lucasa Ln i wielu innych. Mając takie modele, możemy sprawdzać własności tych ciągów – Ln = Fn − 1 + Fn + 1, 5Fn = Ln − 1 + Ln + 1 itd.
Bibliografia:
- Keng Cheng A., Mathematical Modeling in the Secondary and Junior College Classroom, Prentice Hall, Pearson Education South Asia, Singapur 2009.
- Neumaier A., Mathematical Modeling, //www.mat.univie.ac.at/»neum/, 2003.
- Sevilla A., Somers K., Quantitative Reasoning – tools for today’s informed citizen, Key College Publishing, Emerville (USA) 2007.
- Tomastik E.C., Epstein J.L., Applied Finite Mathematics, Brooks/Cole, CENGAGE Learning, 2008.
