Modelowanie matematyczne (cz. 2)

W poprzednim artykule poznaliśmy Jasia Malutkiego i jego nowe przedsięwzięcie ekonomiczne. Jaś zajmował się produkcją i sprzedażą zakładek do książek. Wprawdzie robił to na małą skalę, ale zawsze jest to przedsięwzięcie o charakterze ekonomicznym i ma szanse rozwinąć się w coś poważniejszego, np. firmę papierniczą. Pójdźmy teraz kawałek dalej.

Przykład 2

Po jakimś czasie Jaś Malutki stwierdził, że ma w szufladzie 1000 zł zarobione na zakładkach i zaczął się zastanawiać, co zrobić, aby te pieniądze też przynosiły mu zysk. Słyszał od rodziców o inflacji i wiedział już, że jego zarobki tracą na wartości, jeśli leżą w szufladzie. Przy kolacji, rozmawiając z rodzicami i bratem, dostał od nich następujące propozycje:

• brat zaoferował Jasiowi, że pożyczy od niego te pieniądze na rower, a po trzech latach zwróci mu jego pieniądze i dołoży mu jeszcze 120 zł za każdy rok pożyczki,
• tata zaproponował Jasiowi podobny układ, również na trzy lata, z tym że co roku dołoży Jasiowi 12% aktualnej wartości pożyczki,
• mama zaproponowała nieco zmienioną ofertę taty, dokładając Jasiowi co miesiąc 1% aktualnej wartości pożyczki.

 

 

 

Którą ofertę Jaś powinien wybrać? Każda z nich wygląda bardzo podobnie, prawie identycznie.
Jak przedtem, tak i teraz Jaś postanowił sprawdzić w Excelu, która oferta jest lepsza. Po utworzeniu w arkuszu trzech kolumn z odpowiednimi wzorami Jaś otrzymał model problemu wraz z rozwiązaniem. Poniżej pokazujemy to rozwiązanie oraz wzory w nim użyte (lewy górny róg modelu, ten z kwotą 1000, ma położenie A1). Model pokazuje, że oferta mamy była najlepsza.

Komentarz

Zauważmy, czego tym razem nauczą się uczniowie? Mamy tu do czynienia z ciągami zadanymi w postaci rekurencyjnej. Pojęcie rekursji jest dość trudne do wytłumaczenia w szkolnej matematyce, podczas gdy tutaj występuje w sposób zupełnie naturalny i właściwie niczego nie trzeba tłumaczyć. Wystarczy zwrócić uwagę, jak te trzy ciągi zostały utworzone, aby uczeń zrozumiał istotę rzeczy.

Jak w prawie każdym przypadku, wykres pokazuje, jak nasz model funkcjonuje. Możemy naocznie przekonać się, że pozornie ten sam procent liczony w skali rocznej i miesięcznej daje zupełnie różne wyniki.

Ile to będzie warte w przyszłości?

Z tego miejsca możemy pójść jeszcze kawałek do przodu i skomplikować problem jeszcze bardziej.

Przykład 3

Po zastanowieniu się Jaś uznał, że żadne z proponowanych przez rodziców i brata rozwiązań nie satysfakcjonuje go w pełni. Dlaczego? Za jakiś czas, kiedy zyski z wytwarzania zakładek znowu zaczną się gromadzić w szufladzie, trzeba będzie ponownie zastanawiać się, co z nimi zrobić. Tu Jaś zwrócił uwagę na okoliczne banki i zaczął zastanawiać się, jak funkcjonuje system oszczędzania pieniędzy w takim banku i dlaczego banki tak chętnie pożyczają ludziom pieniądze. Dość prosty model, również wykonany w Excelu, pokazał, że systematyczne oszczędzanie przynosi zyski stronie oszczędzającej. Konstruując swój model, Jaś postanowił przeanalizować osobno, co będzie się działo z depozytem początkowym i miesięcznymi wpłatami. W tym celu utworzył trzy kolumny: depozyt, wpłaty i razem. Oto, co otrzymał, analizując tylko dwa lata, przy założeniu, że oprocentowanie konta jest w skali 0,5% miesięcznie (czyli 6% rocznie).

 

 

 

Komentarz

W tym przykładzie mamy sporo interesujących informacji. Na początek zauważmy, że otrzymane tu rozwiązanie może być wyrażone wzorem:

gdzie:
A0 – wpłata początkowa,
An – stan konta w miesiącu n,
i – stopa procentowa,
F – wpłaty miesięczne.

Prawa część wzoru zawiera sumę dwóch wyrażeń: pierwsze z nich odpowiada kolumnie „Depozyt” w modelu Excela, natomiast drugie to z F, odpowiada kolumnie „Wpłaty”. Zwróćmy uw...