Dołącz do czytelników
Brak wyników

Matematyka w praktyce

12 września 2019

NR 40 (Wrzesień 2019)

Modelowanie systemu równań liniowych i ich klasyfikacje w kontekście ruchu dwóch samochodów-zabawek

0 21

Zadaniem modelowania matematycznego jest wykształcanie w uczniu umiejętności opisu otaczającej rzeczywistości i zjawisk w niej zachodzących przy pomocy narzędzi matematyki. Kształcenie tej umiejętności jest procesem długofalowym, niemniej korzyści z posiadania przez ucznia tej umiejętności wykraczają daleko poza ramy szkolnej matematyki.

Modelowanie matematyczne sięga dalej; rozbudza ono zainteresowanie matematyką, ponieważ czyni z niej naukę, która pomaga w ilościowym opisie świata przyrody lub zrozumieniu mechanizmów ekonomicznych. Modelowanie matematyczne może być realizowane w różnoraki sposób. Na przykład uczniowie mogą opracowywać dane przedstawione w postaci tabel, mogą mieć podane wykresy pewnych zależności, schematy zjawisk albo nagrany film z ich przebiegiem. W tym artykule chciałbym zaproponować jednogodzinne zajęcia dla uczniów o modelowaniu systemu liniowych układów równań. Podczas tego doświadczenia uczniowie nie tylko przygotują eksperyment i przewidzą jego zachowanie, ale też pobiorą dane i zweryfikują przewidywania, obserwując zachowanie systemu. 
Artykuł zawiera opis dydaktyczny doświadczenia, a także kartę pracy ucznia i przykłady zadań domowych, które korelują z doświadczeniem.

Ogólny opis

Podczas tego doświadczenia uczniowie będą budować system dwóch funkcji liniowych zwanych powszechnie układami równań, by opisać i analizować ruch dwóch samochodów-zabawek. Skonstruowany system równań będzie stanowił matematyczną bazę do wnikliwszej fizycznej analizy ruchu samochodów. Jakkolwiek karta pracy zawiera dwa różne scenariusze, nauczyciel może skonstruować więcej podobnych wariantów, jeśli czas lekcyjny na to pozwoli.

Cele dydaktyczne

Kilka celów dydaktycznych będzie realizowane podczas tego doświadczenia:

  • aplikowanie funkcji liniowych do modelowania ruchu jednostajnego,
  • formułowanie funkcji obrazującej położenie ciała,
  • interpretacja współczynnika nachylenia prostej jako prędkości ciała,
  • interpretacja położenia początkowego jako przecięcie funkcji z osią pionową układu współrzędnych,
  • formułowanie systemu równań dla dwóch niezależnie poruszających się samochodów,
  • klasyfikacja systemów równań na oznaczony, nieoznaczony i sprzeczny w kontekście zachowania funkcji położenia samochodów.

Wymagane pomoce dydaktyczne

Uczniowie będą pracować w czteroosobowych grupach. Każda z grup powinna posiadać zestaw następujących przyrządów pomiarowych:

  • dwa stopery,
  • taśmę mierniczą o długości do 5 metrów lub tzw. metrówkę,
  • dwa samochodziki o różnych, jednak stałych prędkościach (w granicach 0,1–0,5 m/s) i o różnych kolorach, np. czarny i biały,
  • graficzny kalkulator, jeśli to możliwe.

Podstawa merytoryczna

Karta pracy ucznia zawiera dokładny opis czynności, które uczeń będzie wykonywać. Niemniej warto, by przed rozpoczęciem doświadczenia nauczyciel krótko omówił jego cel oraz zwrócił uwagę na jego kluczowe elementy, zaczerpnięte z fizyki, które omówione są poniżej.

Znalezienie szybkości samochodów
Wykorzystamy tu prosty wzór z fizyki, który uczniowie poznają w klasie VII:
 


co symbolicznie przedstawiamy jako:
 


Szybkość samochodów będzie reprezentowała współczynniki kierunkowe liniowych funkcji ich położenia.

Konstruowanie funkcji obrazującej położenie samochodów
Tutaj również będziemy referować do fizyki, ale wzór przedstawimy w postaci algebraicznej funkcji 
 


gdzie xp = początkowe położenie wyrażone w metrach, które może być oznaczone przy pomocy liczby dodatniej lub ujemnej.

  • Położenie samochodu na lewo od punktu odniesienia musi być oznaczone jako posiadające negatywną wartość.
  • Położenie samochodu na prawo od punktu odniesienia będzie oznaczone jako posiadające pozytywną wartość.

v = prędkość ciała wyrażona w metrach na sekundę.

Musimy tu zaznaczyć, że samochody będą się poruszać w prawo lub lewo od punktu odniesienia. Różne kierunki ruchu również wymagają dodatniej lub ujemnej wielkości współczynnika kierunkowego. By precyzyjnie opisać ruch z uwzględnieniem kierunku poruszania się, musimy wprowadzić pojęcie prędkości. Jeśli powiemy uczniom, że prędkość jest wielkością wektorową, to będzie to brzmiało jak obcy i niezrozumiały język, zróbmy więc to bardziej praktycznie. Informujemy uczniów, że:

  • jeśli sa...

Pozostałe 70% treści dostępne jest tylko dla Prenumeratorów.

Co zyskasz, kupując prenumeratę?
  • 6 wydań czasopisma "Matematyka"
  • Dostęp do wszystkich archiwalnych artykułów w wersji online
  • Możliwość pobrania materiałów dodatkowych, testów i zadań
  • ...i wiele więcej!
Sprawdź

Przypisy