Modelowanie matematyczne sięga dalej; rozbudza ono zainteresowanie matematyką, ponieważ czyni z niej naukę, która pomaga w ilościowym opisie świata przyrody lub zrozumieniu mechanizmów ekonomicznych. Modelowanie matematyczne może być realizowane w różnoraki sposób. Na przykład uczniowie mogą opracowywać dane przedstawione w postaci tabel, mogą mieć podane wykresy pewnych zależności, schematy zjawisk albo nagrany film z ich przebiegiem. W tym artykule chciałbym zaproponować jednogodzinne zajęcia dla uczniów o modelowaniu systemu liniowych układów równań. Podczas tego doświadczenia uczniowie nie tylko przygotują eksperyment i przewidzą jego zachowanie, ale też pobiorą dane i zweryfikują przewidywania, obserwując zachowanie systemu.
Artykuł zawiera opis dydaktyczny doświadczenia, a także kartę pracy ucznia i przykłady zadań domowych, które korelują z doświadczeniem.
POLECAMY
Ogólny opis
Podczas tego doświadczenia uczniowie będą budować system dwóch funkcji liniowych zwanych powszechnie układami równań, by opisać i analizować ruch dwóch samochodów-zabawek. Skonstruowany system równań będzie stanowił matematyczną bazę do wnikliwszej fizycznej analizy ruchu samochodów. Jakkolwiek karta pracy zawiera dwa różne scenariusze, nauczyciel może skonstruować więcej podobnych wariantów, jeśli czas lekcyjny na to pozwoli.
Cele dydaktyczne
Kilka celów dydaktycznych będzie realizowane podczas tego doświadczenia:
- aplikowanie funkcji liniowych do modelowania ruchu jednostajnego,
- formułowanie funkcji obrazującej położenie ciała,
- interpretacja współczynnika nachylenia prostej jako prędkości ciała,
- interpretacja położenia początkowego jako przecięcie funkcji z osią pionową układu współrzędnych,
- formułowanie systemu równań dla dwóch niezależnie poruszających się samochodów,
- klasyfikacja systemów równań na oznaczony, nieoznaczony i sprzeczny w kontekście zachowania funkcji położenia samochodów.
Wymagane pomoce dydaktyczne
Uczniowie będą pracować w czteroosobowych grupach. Każda z grup powinna posiadać zestaw następujących przyrządów pomiarowych:
- dwa stopery,
- taśmę mierniczą o długości do 5 metrów lub tzw. metrówkę,
- dwa samochodziki o różnych, jednak stałych prędkościach (w granicach 0,1–0,5 m/s) i o różnych kolorach, np. czarny i biały,
- graficzny kalkulator, jeśli to możliwe.
Podstawa merytoryczna
Karta pracy ucznia zawiera dokładny opis czynności, które uczeń będzie wykonywać. Niemniej warto, by przed rozpoczęciem doświadczenia nauczyciel krótko omówił jego cel oraz zwrócił uwagę na jego kluczowe elementy, zaczerpnięte z fizyki, które omówione są poniżej.
Znalezienie szybkości samochodów
Wykorzystamy tu prosty wzór z fizyki, który uczniowie poznają w klasie VII:
co symbolicznie przedstawiamy jako:
Szybkość samochodów będzie reprezentowała współczynniki kierunkowe liniowych funkcji ich położenia.
Konstruowanie funkcji obrazującej położenie samochodów
Tutaj również będziemy referować do fizyki, ale wzór przedstawimy w postaci algebraicznej funkcji
gdzie xp = początkowe położenie wyrażone w metrach, które może być oznaczone przy pomocy liczby dodatniej lub ujemnej.
- Położenie samochodu na lewo od punktu odniesienia musi być oznaczone jako posiadające negatywną wartość.
- Położenie samochodu na prawo od punktu odniesienia będzie oznaczone jako posiadające pozytywną wartość.
v = prędkość ciała wyrażona w metrach na sekundę.
Musimy tu zaznaczyć, że samochody będą się poruszać w prawo lub lewo od punktu odniesienia. Różne kierunki ruchu również wymagają dodatniej lub ujemnej wielkości współczynnika kierunkowego. By precyzyjnie opisać ruch z uwzględnieniem kierunku poruszania się, musimy wprowadzić pojęcie prędkości. Jeśli powiemy uczniom, że prędkość jest wielkością wektorową, to będzie to brzmiało jak obcy i niezrozumiały język, zróbmy więc to bardziej praktycznie. Informujemy uczniów, że:
- jeśli samochód porusza się w prawo względem punktu odniesienia, prędkość jego oznaczymy liczbą dodatnią,
- jeśli samochód porusza się w lewo, prędkość jego będzie oznaczona liczbą ujemną.
Te zasady obowiązują również na fizyce, chociaż w polskich podręcznikach do fizyki nie są one zbyt często praktykowane, a szkoda, bo to pozwoliłoby na łatwiejszy transfer wiedzy.
Poniższe przykłady pokazują, jak tę nomenklaturę zastosować w praktyce.
Przykład 1
Zaczynając spacer z pozycji 4 m na lewo od punktu odniesienia, student porusza się ze stałą szybkością 1,5 m/s w kierunku na prawo. Skonstruuj funkcję położenia studenta.
Odpowiedź
Początkowe położenia: xp = 4 m w lewo = −4 m.
Szybkość ruchu: v=1,5 m/s. Ponieważ ruch jest w prawo, wartość prędkości ruchu jest również dodatnia. Tak więc, podstawiając te wartości do wzoru x(t) = xp + vt, otrzymujemy x(t) = = −4 + 1,5t.
Przykład 2
Student porusza się ze stałą szybkością 2 m/s w kierunku na lewo. Skonstruuj funkcję położenia tego studenta. Jego początkowe położenie jest 2 m na prawo od punktu odniesienia.
Odpowiedź
Początkowe położenie: xp = 2 m.
Szybkość ruchu:
Ponieważ ruch jest w lewo. prędkość ruchu jest ujemna:
Podstawiając te wartości do wzoru x(t) = xp + vt, otrzymujemy x(t) = 2 − 2t.
To przypomnienie wiadomości powinno pomóc uczniom w efektywnym formułowaniu funkcji i ich weryfikacji. Rozdajemy uczniom pomoce dydaktyczne i karty pracy oraz zachęcamy, by zaczęli kontynuować doświadczenie.
Praca domowa
1. Załóżmy, że masz dwa białe samochody, które startują jednocześnie z podanych poniżej pozycji.
- Czy te samochody się miną?
- Narysuj wykresy położenia tych samochodów w funkcji czasu i sklasyfikuj ten system równań.
- Skonstruuj system równań położenia dla każdego samochodu i udowodnij swoje początkowe przypuszczenie.
2. Załóżmy, że używasz tych samych dwóch białych samochodów, które umieszczone są w podanych poniżej pozycjach. Samochód z przodu startuje jednak z dwusekundowym opóźnieniem.
- Czy te samochody się miną?
- Narysuj wykresy położenia tych samochodów w funkcji czasu i sklasyfikuj ten system równań.
- Skonstruuj system równań położenia dla każdego samochodu, rozwiąż system i udowodnij swoje początkowe przypuszczenie.
3. Co decyduje przy klasyfikacji systemów równań? Sformułuj ogóle zalecenie.
Podsumowanie
Wagę prostych pokazów i doświadczeń na lekcjach matematyki, które włączają modelowanie matematyczne, trudno przecenić. Stanowią one nie tylko okazję, by uczniowie aplikowali zdobytą teoretyczną wiedzę, ale również formują bazę scenariuszy, do których uczniowie mogą referować podczas rozwiązywania zadań tekstowych z matematyki czy z innych korelujących przedmiotów, np. z fizyki1. Jest ważne, by uczeń pojmował matematykę nie jako naukę samą w sobie, ale jako naukę, która rozwija jego umiejętności rozwiązywania problemów i zadań, z którymi się spotyka codziennie na innych przedmiotach i w życiu.
Literatura
- Sokolowski A., Developing Mathematical Reasoning Using a STEM Platform [w:] Interdisciplinary Mathematics Education, Springer, Cham 2019, s. 93–111.
