Dołącz do czytelników
Brak wyników

Koło matematyczne

20 listopada 2018

NR 35 (Listopad 2018)

Modelowanie pojęcia granicy funkcji w nieskończoności na przykładzie funkcji liniowych
Lone Star College, Houston, TX, USA

0 223

Pojęcie granicy funkcji jest trudne do zrozumienia dla uczniów, gdyż istnieją różnorodne techniki liczenia granic w zależności od typu funkcji i typu granicy, którą student ma policzyć. Na przykład technika znalezienia granic jednostronnych dla funkcji logarytmicznych różni się od techniki znalezienia granic w nieskończoności dla tych samych funkcji. Ponieważ celem nauczania jest, by uczeń nie tylko poznał te techniki, ale też potrafił zrozumieć ich różnice, pamiętał je i właściwie je aplikował, różnorodność ta narzuca bardzo wnikliwą analizę metod wprowadzania tych zagadnień do praktyki szkolnej.

Idea granicy funkcji (na przykład w nieskończoności) jest wprowadzana najczęściej jako narzędzie do znajdowania asymptot funkcji wymiernych1 przy pominięciu znajdowania granic dla prostych funkcji wielomianowych. Zasadność wprowadzenia pojęcia granicy do znajdowania asymptot jest niekwestionowalna. Biorąc jednak pod uwagę kompleksowość funkcji wymiernych, wprowadzenie uczniów do pojęcia granic funkcji w kontekście tych funkcji wydaje się trudnym wyzwaniem dla nauczyciela i dla uczniów. Żeby ułatwić uczniom zrozumienie istoty granicy funkcji, proponuję, aby pojęcie to wprowadzać wcześniej, podczas omawiania funkcji liniowych. Z własnej praktyki zauważam, że uczniowie zdecydowanie lepiej dostrzegają potrzebę poznania idei granic funkcji, kiedy są one wprowadzone na prostych przykładach funkcji liniowych, i lepiej radzą sobie z ich znalezieniem dla innych, bardziej kompleksowych przypadków. Ma to swoje uzasadnienie, gdyż funkcje liniowe są łatwe do naszkicowania, co pozwala uczniom skupić uwagę na zrozumieniu idei granicy funkcji. Warto dodać, że tak skonstruowana lekcja jest również przyjemnym doświadczeniem dydaktycznym dla nauczyciela. Lekcja ta może stanowić preludium do zapoznania uczniów z pojęciami granicy funkcji (w nieskończoności) dla bardziej skomplikowanych funkcji wielomianowych lub może stanowić jednostkę powtórzeniową przed maturą2.
Badania z dydaktyki matematyki wykazują, że uczniowie przyswajają sobie abstrakcyjną wiedzę matematyczną skuteczniej, jeśli ta wiedza przedstawiana jest im przy pomocy ilustracji lub dynamicznych symulacji3, 4.
Korzystając z tych zaleceń, nauczyciel może wykorzystać symulację Equation Grapher5, dostępną bezpłatnie w sieci internetowej, również w języku polskim. Symulacja ta nie tylko umożliwia szybkie i efektywne prezentowanie wykresów funkcji, ale również pozwala skupić uwagę uczniów na elementach, które są kluczowe dla zrozumienia istoty granic funkcji.

Plan lekcji

Lekcja składa się z dwóch części – część pierwsza to zapoznanie się z techniką znalezienia granicy funkcji, korzystając z wykresów, a część druga to poznanie techniki znalezienia granic dla funkcji podanych w formie algebraicznej. Ta sekwencja jest celowa. Utrwalony graficzny obraz granic funkcji ma stanowić dla ucznia niejako bazę, do której może on referować podczas liczenia granic, operując algebraicznymi reprezentacjami funkcji. Część trzecia, nieprezentowana w tym artykule, może być poświęcona na rysowanie funkcji liniowych, korzystając z idei granic.

Część I. 
Wprowadzenie pojęcia granicy w plus i minus nieskończoności, korzystając z wykresu funkcji

Oszacowanie wartości granicy funkcji liniowej w ±∞ jest traktowane na tej lekcji jako narzędzie służące do opisu pozycji wykresu na krańcach osi liczbowej. Rozpoczynamy lekcję od sformułowania intuicyjnej definicji granicy funkcji, do której będziemy się odnosić w trakcie lekcji.
Pojęcie granicy funkcji i techniki jej znalezienia proponuje się przedstawić uczniom następująco: „Granica funkcji jest algebraicznym narzędziem służącym do lepszego i bardziej precyzyjnego oszacowania (lub dokładnego obliczenia) wartości funkcji, która jest stosowana w sytuacjach, kiedy obliczenie bezpośrednie wartości funkcji nie jest możliwe”4.
W myśl tej definicji istota znalezienia granicy funkcji może być wstępnie rozumiana przez uczniów jako bardziej ogólny proces znajdowania lub oszacowania wartości funkcji. Jeśli granica jest liczbą rzeczywistą, liczba ta (z pewnymi wyjątkami) jest wartością tej funkcji dla danej wartości odciętej. Tak sformułowana definicja jest wystarczająca, by odnieść ją do wykresów funkcji i kontynuować tok lekcji.
Nauczyciel demonstruje aplikację Equation Grapher i pokazuje przykładowy wykres funkcji liniowej (ryc. 1). Aby oszacować granice tej funkcji dla na przykład ∞, musimy określić położenie rzędnych tej funkcji dla tych wartości x.
Z ryc. 1 wynika, że jego rzędne przyjmują duże i ujemne wartości dla x→∞, dlatego powiemy, że granicą tej funkcji dla x→∞ jest −∞. Jak formalnie zapisać ten wniosek, korzystając z matematycznych symbolów? Zapis f(∞) = −0,5(∞)= −∞ nie jest stosowany w matematyce ani w polskich, ani w obcojęzycznych podręcznikach do matematyki1, ponieważ wielkość ∞ nie jest liczbą określoną. Potrzebna jest inna, bardziej ogólna nomenklatura, która stosuje symbol granicy funkcji. 

Ryc. 1. Wykres funkcji f(x) = −0,5x
(Źródło ryciny: //phet.colorado.edu/sims)


Korzystając z tej nomenklatury, zadanie policzenia granicy funkcji w nieskończoności zapisuje się następująco: \(\lim_{x \mapsto \infty }f(x)\) , który czytamy jak: Jaka jest granica funkcji f (x), kiedy x dąży do nieskończoności. Ponieważ wartości rzędnej tej funkcji są ujemne i nieskończenie duże dla x→∞, powiemy, że \(\lim_{x \mapsto \infty }f(x)\) = −∞. Uczniowie powinni uświadomić sobie, że wynik oszacowania granicy odzwierciedla jednocześnie pozycje wykresu funkcji w obszarze, kiedy x→∞. Referując do wykresu tej funkcji (ryc. 1) i wskazując na wartości x, nauczyciel pyta dalej uczniów, jaka jest granica tej funkcji, kiedy wartości x są bardzo duże i ujemne. Korzystając z symbolicznego zapisu, chcemy się dowiedzieć, jaka jest wartość\(\lim_{x \mapsto \infty }f(x)\) = ? Uczniowie zauważą z wykresu, że wartości tej funkcji są bardzo duże i dodatnie, dlatego powiemy,\(\lim_{x \mapsto \infty }f(x)\) że = ∞. Nauczyciel podkreśla, że wynik oszacowania granicy opisuje zachowanie się wartości rzędnych tej funkcji. W dalszym toku lekcji nauczyciel demonstruje więcej przykładów (zadanie 1) i wspólnie z uczniami wyznacza granice funkcji, utrwalając przy okazji formalny zapis poczynionych spostrzeżeń.

Zadanie 1
Na rycinach 2–5 podane są wykresy różnych funkcji. 
Korzystając z tych wykresów, znajdź wskazane granice (Źródło rycin: //phet.colorado.edu/sims).

Ryc. 2 - 5

Część II. 
Wprowadzenie pojęcia granicy w plus i minus nieskończoności, kiedy funkcja jest podana w postaci algebraicznej

Nauczyciel stwierdza, że funkcje często prezentowane są również w postaci algebraicznej, chcielibyśmy więc dowiedzieć się, jak formalnie zapisać i znaleźć granice funkcji podanych również w tych formach. Na przykład, jaka jest granica funkcji f (x) = 2x − 3, kiedy wartości x są dodatnie i bardzo duże.
Nauczyciel przypomina, że w zapisie \(\lim_{x \mapsto \infty }f(x)\) , f (x) symbolizował rozpatrywaną funkcję. Ponieważ teraz podana jest algebraiczna postać tej funkcji, a nie jej wykres, więc zamiast  f (x) wpisujemy 2x − 3 i zadanie znalezienia tej granicy przybiera następującą postać:\(\lim_{x \mapsto \infty }f(2x-3 )\).
Jak więc znaleźć tę granicę, nie mając wykresu tej funkcji? Niektórzy uczniowie będą sugerować narysowanie tej funkcji i znalezienie jej granicy z wykresu. Potwierdzamy, że sugestia ta jest jak najbardziej poprawna, ale chcielibyśmy wypracować metodę bardziej ogólną, która pozwoliłaby na znalezienie granicy również innych, bardziej skomplikowanych funkcji (np. wymiernych lub wykładniczych). Aby wyznaczyć tę granicę, musimy w tym miejscu...

Pozostałe 70% treści dostępne jest tylko dla Prenumeratorów.

Co zyskasz, kupując prenumeratę?
  • 6 wydań czasopisma "Matematyka"
  • Dostęp do wszystkich archiwalnych artykułów w wersji online
  • Możliwość pobrania materiałów dodatkowych, testów i zadań
  • ...i wiele więcej!
Sprawdź

Przypisy