Modelowanie pojęcia granicy funkcji w nieskończoności na przykładzie funkcji liniowych

Idea granicy funkcji (na przykład w nieskończoności) jest wprowadzana najczęściej jako narzędzie do znajdowania asymptot funkcji wymiernych¹ przy pominięciu znajdowania granic dla prostych funkcji wielomianowych. Zasadność wprowadzenia pojęcia granicy do znajdowania asymptot jest niekwestionowalna. Biorąc jednak pod uwagę kompleksowość funkcji wymiernych, wprowadzenie uczniów do pojęcia granic funkcji w kontekście tych funkcji wydaje się trudnym wyzwaniem dla nauczyciela i dla uczniów. Żeby ułatwić uczniom zrozumienie istoty granicy funkcji, proponuję, aby pojęcie to wprowadzać wcześniej, podczas omawiania funkcji liniowych. Z własnej praktyki zauważam, że uczniowie zdecydowanie lepiej dostrzegają potrzebę poznania idei granic funkcji, kiedy są one wprowadzone na prostych przykładach funkcji liniowych, i lepiej radzą sobie z ich znalezieniem dla innych, bardziej kompleksowych przypadków. Ma to swoje uzasadnienie, gdyż funkcje liniowe są łatwe do naszkicowania, co pozwala uczniom skupić uwagę na zrozumieniu idei granicy funkcji. Warto dodać, że tak skonstruowana lekcja jest również przyjemnym doświadczeniem dydaktycznym dla nauczyciela. Lekcja ta może stanowić preludium do zapoznania uczniów z pojęciami granicy funkcji (w nieskończoności) dla bardziej skomplikowanych funkcji wielomianowych lub może stanowić jednostkę powtórzeniową przed maturą².
Badania z dydaktyki matematyki wykazują, że uczniowie przyswajają sobie abstrakcyjną wiedzę matematyczną skuteczniej, jeśli ta wiedza przedstawiana jest im przy pomocy ilustracji lub dynamicznych symulacji³, ⁴.
Korzystając z tych zaleceń, nauczyciel może wykorzystać symulację Equation Grapher⁵, dostępną bezpłatnie w sieci internetowej, również w języku polskim. Symulacja ta nie tylko umożliwia szybkie i efektywne prezentowanie wykresów funkcji, ale również pozwala skupić uwagę uczniów na elementach, które są kluczowe dla zrozumienia istoty granic funkcji.

Plan lekcji

Lekcja składa się z dwóch części – część pierwsza to zapoznanie się z techniką znalezienia granicy funkcji, korzystając z wykresów, a część druga to poznanie techniki znalezienia granic dla funkcji podanych w formie algebraicznej. Ta sekwencja jest celowa. Utrwalony graficzny obraz granic funkcji ma stanowić dla ucznia niejako bazę, do której może on referować podczas liczenia granic, operując algebraicznymi reprezentacjami funkcji. Część trzecia, nieprezentowana w tym artykule, może być poświęcona na rysowanie funkcji liniowych, korzystając z idei granic.

Część I. 
Wprowadzenie pojęcia granicy w plus i minus nieskończoności, korzystając z wykresu funkcji
Oszacowanie wartości granicy funkcji liniowej w ±∞ jest traktowane na tej lekcji jako narzędzie służące do opisu pozycji wykresu na krańcach osi liczbowej. Rozpoczynamy lekcję od sformułowania intuicyjnej definicji granicy funkcji, do której będziemy się odnosić w trakcie lekcji.
Pojęcie granicy funkcji i techniki jej znalezienia proponuje się przedstawić uczniom następująco: „Granica funkcji jest algebraicznym narzędziem służącym do lepszego i bardziej precyzyjnego oszacowania (lub dokładnego obliczenia) wartości funkcji, która jest stosowana w sytuacjach, kiedy obliczenie bezpośrednie wartości funkcji nie jest możliwe”4.
W myśl tej definicji istota znalezienia granicy funkcji może być wstępnie rozumiana przez uczniów jako bardziej ogólny proces znajdowania lub oszacowania wartości funkcji. Jeśli granica jest liczbą rzeczywistą, liczba ta (z pewnymi wyjątkami) jest wartością tej funkcji dla danej wartości odciętej. Tak sformułowana definicja jest wystarczająca, by odnieść ją do wykresów funkcji i kontynuować tok lekcji.
Nauczyciel demonstruje aplikację Equation Grapher i pokazuje przykładowy wykres funkcji liniowej (ryc. 1). Aby oszacować granice tej funkcji dla na przykład ∞, musimy określić położenie rzędnych tej funkcji dla tych wartości x.
Z ryc. 1 wynika, że jego rzędne przyjmują duże i ujemne wartości dla x→∞, dlatego powiemy, że granicą tej funkcji dla x→∞ jest −∞. Jak formalnie zapisać ten wniosek, korzystając z matematycznych symbolów? Zapis f(∞) = −0,5(∞)= −∞ nie jest stosowany w matematyce ani w polskich, ani w obcojęzycznych podręcznikach do matematyki1, ponieważ wielkość ∞ nie jest liczbą określoną. Potrzebna jest inna, bardziej ogólna nomenklatura, która stosuje symbol granicy funkcji. 

Korzystając z tej nomenklatury, zadanie policzenia granicy funkcji w nieskończoności zapisuje się następująco: \(\lim_{x \mapsto \infty }f(x)\) , który czytamy jak: Jaka jest granica funkcji f (x), kiedy x dąży do nieskończoności. Ponieważ wartości rzędnej tej funkcji są ujemne i nieskończenie duże dla x→∞, powiemy, że \(\lim_{x \mapsto \infty }f(x)\) = −∞. Uczniowie powinni uświadomić sobie, że wynik oszacowania granicy odzwierciedla jednocześnie pozycje wykresu funkcji w obszarze, kiedy x→∞. Referując do wykresu tej funkcji (ryc. 1) i wskazując na wartości x, nauczyciel pyta dalej uczniów, jaka jest granica tej funkcji, kiedy wartości x są bardzo duże i ujemne. Korzystając z symbolicznego zapisu, chcemy się dowiedzieć, jaka jest wartość\(\lim_{x \mapsto \infty }f(x)\) = ? Uczniowie zauważą z wykresu, że wartości tej funkcji są bardzo duże i dodatnie, dlatego powiemy,\(\lim_{x \mapsto \infty }f(x)\) że = ∞. Nauczyciel podkreśla, że wynik oszacowania granicy opisuje zachowanie się wartości rzędnych tej funkcji. W dalszym toku lekcji nauczyciel demonstruje więcej przykładów (zadanie 1) i wspólnie z uczniami wyznacza granice funkcji, utrwalając przy okazji formalny zapis poczynionych spostrzeżeń.

Zadanie 1
Na rycinach 2–5 podane są wykresy różnych funkcji. 
Korzystając z tych wykresów, znajdź wskazane granice (Źródło rycin: //phet.colorado.edu/sims).

Część II. 
Wprowadzenie pojęcia granicy w plus i minus nieskończoności, kiedy funkcja jest podana w postaci algebraicznej
Nauczyciel stwierdza, że funkcje często prezentowane są również w postaci algebraicznej, chcielibyśmy więc dowiedzieć się, jak formalnie zapisać i znaleźć granice funkcji podanych również w tych formach. Na przykład, jaka jest granica funkcji f (x) = 2x − 3, kiedy wartości x są dodatnie i bardzo duże.
Nauczyciel przypomina, że w zapisie \(\lim_{x \mapsto \infty }f(x)\) , f (x) symbolizował rozpatrywaną funkcję. Ponieważ teraz podana jest algebraiczna postać tej funkcji, a nie jej wykres, więc zamiast  f (x) wpisujemy 2x − 3 i zadanie znalezienia tej granicy przybiera następującą postać:\(\lim_{x \mapsto \infty }f(2x-3 )\).
Jak więc znaleźć tę granicę, nie mając wykresu tej funkcji? Niektórzy uczniowie będą sugerować narysowanie tej funkcji i znalezienie jej granicy z wykresu. Potwierdzamy, że sugestia ta jest jak najbardziej poprawna, ale chcielibyśmy wypracować metodę bardziej ogólną, która pozwoliłaby na znalezienie granicy również innych, bardziej skomplikowanych funkcji (np. wymiernych lub wykładniczych). Aby wyznaczyć tę granicę, musimy w tym miejscu wprowadzić pojęcie wyrazu dominującego wartość funkcji. Powracamy tu do zapisu \(\lim_{x \mapsto \infty }f(2x-3 )\) i pytamy uczniów: który z wyrazów 2x lub −3 będzie miał decydujące znaczenie przy oszacowaniu wartości funkcji dla dużych wartości x? Uczniowie zauważą, że wyrazem tym jest 2x. Potwierdzamy to przypuszczenie i nazywamy ten wyraz wyrazem dominującym wartość funkcji. Bardziej formalnie: „Wyraz dominujący jest tym wyrazem funkcji, który można wykorzystać, aby oszacować wartość funkcji dla dużych i dodatnich lub ujemnych wartości odciętej”4.
Wyraz dominujący zawiera zmienną o najwyższej wartości wykładnika, w tym przypadku jest nim 2x. Proces oszacowania granicy tej funkcji przybiera więc następującą postać:\(\lim_{x \mapsto \infty }f(2x-3 )\) = \(\lim_{x \mapsto \infty }f(2x)\)i można go łatwo zilustrować, korzystając z wykresów f (x) = 2x − 3 i jej uproszczonej wersji f (x) = 2x, które są przedstawione na ryc. 2.
Śledząc, jak zmienia się wykres tej funkcji, kiedy wyraz −3 jest usunięty, uczniowie zauważają, że jej wykres w obszarze dla dużych wartości x nie zmienia się diametralnie i że wartości funkcji pozostają podobne: tu nauczyciel referuje do wykresów podanych na rycinach 6–7. Pytamy dalej, czy wartości tej funkcji byłyby takie same, jeśli usuniemy 2x. Symulacyjna weryfikacja nie potwierdzi tego przypuszczenia. Tak więc dominującym wyrazem jest 2x. W podobny sposób zauważymy, że wyraz −3 nie wpływa na oszacowanie wartości tej funkcji dla dużych i ujemnych wartości x. Konkludując, wyraz wolny −3 może być pominięty podczas procesu znajdowania granicy tej funkcji dla x→±∞. Zatem jak oszacować \(\lim_{x \mapsto \infty }f(2x)\)? 

Aby oszacować wartość tej funkcji, podstawiamy, myślowo, wartość nieskończenie dużą za x (co jest oznaczone symbolem ∞) i szacujemy wartość uzyskanego wyrażenia, które przybiera wartość również dużą i dodatnią. Tak więc\(\lim_{x \mapsto \infty }f(2x-10)\) = \(\lim_{x \mapsto \infty }f(2x)\)= ∞. Pytamy dalej, co jest granicą \(\lim_{x \mapsto \infty }f(2x-3 )\)= ? 
Podążając podobnym tokiem myślenia,\(\lim_{x \mapsto \infty }f(2x-3 )\)=\(\lim_{x \mapsto \infty }f(2x)\)= −∞, co również można zweryfikować, korzystając z tej symulacji. W dalszym toku lekcji zadajemy uczniom policzenie granic funkcji (zadanie 2) i razem weryfikujemy ich odpowiedzi. Ciekawym dla uczniów przypadkiem jest znalezienie granicy dla funkcji stałej: \(\lim_{x \mapsto \infty }f(5)\), co warto przedyskutować bardziej szczegółowo.

Zadanie 2
Znajdź granice podanych funkcji i naszkicuj ich ogólne wykresy, korzystając z policzonych granic.

1. \(\lim_{x \mapsto \infty }f(2x-1)\)=
2. \(\lim_{x \mapsto \infty }f(5) \)=
3. \(\lim_{x \mapsto \infty }f(-x)\)=
4. \(\lim_{x \mapsto \infty }f(x+2x\)=
5. \(\lim_{x \mapsto \infty }f(4-7)\)=
6. \(\lim_{x \mapsto \infty }f(0)\)=

Weryfikacja odpowiedzi da nam impuls, by stwierdzić, czy uczniowie zrozumieli lekcję i co ewentualnie poprawić, by to zrozumienie było głębsze.

Indywidualna praca ucznia

Nauczyciel może zadać uczniom więcej podobnych przykładów do zadań 1 i 2 jako pracę domową. Może również zadać przykłady, które sprawdzają, czy uczeń potrafi analizować właściwości granic i łączyć te idee z innymi właściwościami funkcji. Zadania tego typu są przedstawione poniżej.

Zadanie 1
Podane są granice różnych funkcji liniowych. Wywnioskuj, a następnie zweryfikuj, jaki jest znak współczynnika kierunkowego tych funkcji (Dla przypomnienia jest nim a w f (x) = ax + b). Użyj określeń: dodatni, ujemny lub zerowy.

1. Jeżeli \(\lim_{x \mapsto \infty }f(x)=\infty\) i \(\lim_{x \mapsto -\infty }f(x)=-\infty\) to współczynnik kierunkowy funkcji f jest................. 
2. Jeżeli \(\lim_{x \mapsto \infty }f(x)=-\infty\) i \(\lim_{x \mapsto -\infty }f(x)=\infty\)to współczynnik kierunkowy funkcji f jest................. 
3. Jeżeli\(\lim_{x \mapsto -\infty }f(x)=\lim_{x \mapsto \infty }f(x)=3\), to współczynnik kierunkowy funkcji f jest.................

Zadanie 2

Naszkicuj wykresy funkcji liniowych spełniających podane warunki (w niektórych przypadkach może być kilka poprawnych odpowiedzi).

1. Funkcja przecina oś OY w punkcie (0, 2), \(\lim_{x \mapsto \infty }f(x)=-\infty\) a \(\lim_{x \mapsto -\infty }f(x)=\infty\)
2. \(\lim_{x \mapsto \infty }g(x)=\lim_{x \mapsto -\infty }g(x)=10\),
3. Funkcja przecina oś OX w punkcie (−1, 0) oraz \(\lim_{x \mapsto -\infty }f(x)=-\infty\).

Zadanie 3

Czy jest możliwe, aby funkcja liniowa g (x) posiadała granice podane poniżej?

\(\lim_{x \mapsto \infty }g(x)=\infty\) i \(\lim_{x \mapsto -\infty }g(x)=\infty\)

Podsumowanie

Proponowana lekcja została zbudowana na podstawie wniosków z badań dydaktycznych z nauczania matematyki i własnych poszukiwań w tej dziedzinie. Ma ona na celu pokazanie, że przedstawienie trudnych idei matematycznych, ale w prostym dla ucznia kontekście, nie jest dla ucznia trudne. Oczywiste jest, że lekcja ta nie wyczerpuje analizy granic funkcji, powinna jednak stanowić przygotowanie do dalszego poznawania technik liczenia granic dla funkcji bardziej skomplikowanych. W myśl tego założenia w następnym numerze „Matematyki” będziemy omawiać techniki znajdowania granic na krańcach przedziałów dla funkcji wielomianowych.