Dołącz do czytelników
Brak wyników

Otwarty dostęp , Temat numeru

24 maja 2021

NR 49 (Maj 2021)

Nie wszystko jest takie, na jakie wygląda, czyli… o paradoksach rachunku prawdopodobieństwa

0 150

Nawet w matematyce nie zawsze na pierwszy rzut oka jesteśmy w stanie stwierdzić, gdzie tkwi błąd w rozumowaniu. W taki właśnie sposób dochodzi się do formułowania paradoksów matematycznych. W rachunku prawdopodobieństwa zwykle zaczyna się od obserwacji doświadczenia (często ma to związek z grami losowymi) i dochodzenia do zaskakujących wniosków, które wydają się być sprzeczne z matematyką. Tymczasem błąd tkwi w rozumowaniu i znalezienie tego błędu jest kluczem do sformułowania prawidłowej odpowiedzi dla omawianego zagadnienia.

Niektóre z paradoksów rachunku prawdopodobieństwa, które omówię, zajmowały głowy najwybitniejszych matematyków tworzących podstawy rachunku prawdopodobieństwa, Pascala i Fermata, inne pochodzą z czasów nam współczesnych. Dołączam również ćwiczenia, które proponuję wykonać wraz z uczniami, aby urozmaicić im lekcje dotyczące prawdopodobieństwa. Szukanie intuicyjnej odpowiedzi i skonfrontowanie jej z rozumowaniem matematycznym może być ciekawą propozycją ćwiczenia klasycznej definicji prawdopodobieństwa.

POLECAMY

Paradoks I kawalera de Méré

Zanim zaczniemy…
Poproś uczniów o przyniesienie dwóch kostek do gry i wykonanie doświadczeń.

Ćwiczenie 1
Każdy z uczniów wykonuje 10 serii czterokrotnych rzutów symetryczną kostką do gry i notuje, w ilu seriach wypadła mu co najmniej jedna szóstka.

Ćwiczenie 2 
Każdy uczeń wykonuje dwadzieścia cztery rzuty dwiema kostkami i notuje, w ilu rzutach wypadły mu dwie szóstki. Podsumuj, ile jest osób, które choć raz uzyskały dwie szóstki.

Do ćwiczeń można również wykorzystać generatory rzutu kostką lub kostkami. Generator dostępny na https://generujemy.pl/rzut_kostka1 umożliwia symulację rzutu niemal dowolnej liczby kostek do gry.
Antoine Gombaud, znany jako Chevalier de Méré (1607–1684), był francuskim pisarzem, który miał szczęście żyć w czasach, gdy swoje początki miał rachunek prawdopodobieństwa rozwijany przez Pascala i Fermata. Kawaler de Méré był zapalonym graczem w kości (była to zresztą bardzo popularna rozrywka w tamtych czasach). Był on bystrym obserwatorem i zauważał pewne zależności związane z rachunkiem prawdopodobieństwa. Zauważył on, że częściej wypada co najmniej jedna szóstka w czterech rzutach niż dwie szóstki jednocześnie w dwudziestu czterech rzutach dwiema kostkami. 
Wydawało mu się to niezgodne z zasadami matematyki. Rozumowanie kawalera de Méré było następujące:
Prawdopodobieństwo wypadnięcia co najmniej jednej szóstki w czterech rzutach wynosi \(4 × {1 \over 6} = {2 \over 3}\), zaś dwóch szóstek w dwudziestu czterech rzutach \(24 × {1 \over 6} × {1 \over 6} = {2 \over 3}\).
Skoro prawdopodobieństwa te są równe, to kombinacje te powinny wypadać tak samo często, a doświadczenie tego nie potwierdzało. De Méré, zbulwersowany, napisał list do Pascala, pytając, jak to jest z tą arytmetyką, skoro w doświadczeniu wychodzi nam coś innego.
I w taki też sposób zagadnienie to trafiło do jednego z najwybitniejszych matematyków epoki, który nie dość, że sam zajął się jego rozwiązaniem, to jeszcze zaangażował w nie kolejnego wybitnego przedstawiciela tej dziedziny – Fermata. Tym podobne zagadnienia stanowiły zalążek do powstania nowej gałęzi matematyki – rachunku prawdopodobieństwa. Fermat odnalazł błąd w rozumowaniu, trochę innymi metodami odnalazł go Pascal, kwitując z zadowoleniem w liście z 29 lipca 1654 roku: „Widzę wyraźnie, że prawda jest taka sama w Tuluzie jak w Paryżu”.
Korespondencję pomiędzy Fermatem a Pascalem w języku angielskim można znaleźć na stronie: https://www.york.ac.uk/depts/maths/histstat/pascal.pdf2.
Dziś, kiedy rachunek prawdopodobieństwa jest już bardzo zaawansowany, rozwiązanie tego problemu jest w stanie znaleźć niemal każdy uczeń szkoły średniej.
W czterokrotnym rzucie kostką \(6^4 = 1296\) darzeń elementarnych. Zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu losowemu: „na żadnej kostce nie wypadnie szóstka” jest \(5^4 = 625\), a zatem prawdopodobieństwo, że nie wypadnie ani jedna szóstka, wynosi \({625 \over 1296}\). Oznacza to, że prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego „na co najmniej jednej kostce wypada szóstka” wynosi \(1 - {625 \over 1296} ≈ 0,52\).
Zajmijmy się teraz dwudziestoczterokrotnym rzutem dwiema kostkami. Wszystkich zdarzeń elementarnych mamy 3624. Rozumując podobnie jak poprzednio, zdarzeń sprzyjających zdarzeniu losowemu: „ani razu nie wypadnie para szóstek” jest 3524. Rozumując podobnie jak poprzednio, zdarzeń sprzyjających zdarzeniu losowemu: „ani razu nie wypadnie para szóstek” jest 3524, zaś prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego wynosi 

Różnica niby niewielka, a jak się okazuje w rzeczywistości, może stanowić istotną różnicę (w szczególności w zasobności portfela grającego).

Paradoks II kawalera de Méré

Poproś uczniów o przyniesienie trzech symetrycznych kostek do gry.

Ćwiczenie 3
Każdy z uczniów wykonuje ustaloną liczbę (może to być 10 lub 20, w zależności od czasu) serii rzutów trzema kostkami. Uczniowie notują, ile wyników dało im sumę 11, a ile 12.
Drugim zagadnieniem, którym zainteresował się kawaler de Méré, było prawdopodobieństwo wypadnięcia sumy oczek 11 i sumy oczek 12 przy rzucie trzema kostkami. Pozornie prawdopodobieństwo to powinno być takie samo, ponieważ mamy tyle samo kombinacji dla sumy zarówno 11, jak i 12. Zobaczmy:
 

11 =

1 + 4 + 6

12 = 

1 + 5 + 6

1 + 5 + 5

2 + 4 + 6

2 + 4 + 5

2 + 5 + 5

2 + 3 + 6

3 + 3 + 6

3 + 3 + 5

3 + 4 + 5

4 + 3 + 4

4 + 4 + 4

 

Wydaje się, że skoro znaleźliśmy po sześć trójek liczb naturalnych 1 ≤ n1,m1, k1 ≤ 6, że ich suma wynosi 11 i tyle samo trójek liczb naturalnych 1 ≤ n2,m2, k2 ≤ 6, że ich suma wynosi 12, to prawdopodobieństwo wypadnięcia sumy 11 na trzech kostkach powinno być takie samo jak sumy 12. Doświadczenie tego jednak nie potwierdza. Gdzie jest błąd w rozumowaniu?
Trzeba zaznaczyć tu, że rzucając kostkami, należy uznać je za rozróżnialne, co powoduje, że czym innym jest trójka 1, 4, 6, a czym innym 4, 1, 6 bądź 4, 6, 1 itd. Policzmy zatem prawdopodobieństwa, uwzględniając powyższe rozumowanie.
Przestrzeń zdarzeń elementarnych zawiera \(6^3 = 216\) elementów.

Weźmy zdarzenia losowe:

  • A – suma oczek na trzech kostkach wynosi 11 oraz
  • B – suma oczek na trzech kostkach wynosi 12.

Wówczas:
Dla zdarzenia losowego A mamy:

  • po 6 ustawień liczb 1, 4, 6; 2, 4, 5 oraz 2, 3, 6,
  • po 3 ustawienia 1, 5, 5; 3, 4, 4 oraz 5, 3, 3.

A zatem \(P(A) = {27 \over 16} = {1 \over 8} = 0,125\)

Dla zdarzenia losowego B mamy:

  • po 6 ustawień liczb 1, 5, 6; 2, 4, 6 oraz 3, 4, 5,
  • po 3 ustawienia 2, 5, 5 oraz 3, 3, 6,
  • 1 ustawienie 4, 4, 4.

A stąd \(P(B) = {25 \over 16} ≈ 0,116\)

Widać więc, że prawdopodobieństwo wypadnięcia sumy 11 jest większe niż prawdopodobieństwo wypadnięcia sumy 12.

Paradoks dnia urodzin

Ćwiczenie 4
Poproś uczniów o napisanie na kartce daty (dzień i miesiąc) urodzin. Poproś wybranego ucznia o podsumowanie wyników. Czy w tej grupie uczniów znalazły się dwie osoby urodzone tego samego dnia?

Ćwiczenie 5
Zrób w klasie sondę. Jak liczna powinna być grupa osób (zakładając, że nie ma bliźniaków, że nie ma osób urodzonych 29 lutego, a urodzenie każdego dnia w roku jest tak samo prawdopodobne), aby...

Artykuł jest dostępny w całości tylko dla zalogowanych użytkowników.

Jak uzyskać dostęp? Wystarczy, że założysz bezpłatne konto lub zalogujesz się.
Czeka na Ciebie pakiet inspirujących materiałow pokazowych.
Załóż bezpłatne konto Zaloguj się

Przypisy