Dołącz do czytelników
Brak wyników

Koło matematyczne

27 lipca 2018

NR 33 (Lipiec 2018)

Przestrzeń probabilistyczna i jej konstruowanie
na lekcji matematyki jako „szycie garnituru na miarę”

0 356

Przedmiotem rachunku prawdopodobieństwa jest konstruowanie i badanie przestrzeni probabilistycznych, a nie – jak to sugerują szkolne podręczniki – obliczanie prawdopodobieństwa rozmaitych zdarzeń (przy czym nie bardzo wiadomo, jaka jest definicja tego prawdopodobieństwa ani kto i z jakiego powodu takie zadanie sformułował).

Zdarzenia wiążą się z procedurami, których sensu nie znamy (np. z losowaniem wierzchołka lub przekątnej wielokąta albo jednej z grona osób). W przypadku losowania wierzchołka wielokąta „wycina się wierzchołki, wsypuje do woreczka i sierotka wybiera na chybił trafił jeden, jak losy na loterii”. Tak to do naszych sal lekcyjnych wkracza kabaret.

Przestrzeń probabilistyczna jako pojęcie matematyczne

Przestrzenią probabilistyczną nazywamy każdą trójkę (Ω, Ƶ, P), gdzie Ω jest dowolnym niepustym zbiorem, Ƶ jest σ-ciałem podzbiorów zbioru Ω, a P miarą unormowaną na Ƶ, czyli funkcją określoną na zbiorze Ƶ o wartościach rzeczywistych, nieujemną, przeliczalnie addytywną i taką, że P(Ω) = 1. Zbiór Ƶ nazywamy rodziną zdarzeń. Funkcję P nazywamy prawdopodobieństwem w przestrzeni probabilistycznej (Ω, Ƶ, P), a jej wartość dla zbioru A z rodziny Ƶ, czyli liczbę P(A), nazywamy prawdopodobieństwem zdarzenia A. To jest matematyka wyższa.
Powyższa aksjomatyczna definicja, zwana definicją Kołmogorowa (por. [7], s. 124), nie daje recept na to, jak te przestrzenie konstruować ani odpowiedzi na pytanie, po co mamy to robić. Spróbujemy odpowiedzieć na pytania: jak tworzyć te przestrzenie na lekcji matematyki, jak dostarczać motywacji do tego tworzenia i co ma do tego rachunek prawdopodobieństwa? W tym artykule pokażemy, że konstrukcja przestrzeni probabilistycznej to szczególna aktywność matematyczna.

Ziarnista przestrzeń probabilistyczna jako para

Niech Ω = {ω1, ω2, ω3, … , ωs} będzie dowolnym zbiorem (s ≥ 2). Każdą funkcję p określoną na zbiorze Ω o wartościach ze zbioru  liczb rzeczywistych, nieujemną i taką, że p(ω1) + p(ω2) + p(ω1) + … + p(ωs) = 1, nazywamy rozkładem prawdopodobieństwa na zbiorze Ω.
Jeśli p(ωj) =  dla j = 1, 2, 3, … , s, to funkcję p nazywamy klasycznym rozkładem prawdopodobieństwa na zbiorze Ω.Zbiór Ƶ wszystkich podzbiorów zbioru Ω jest σ-ciałem podzbiorów zbioru Ω. Niech P będzie funkcją określoną na zbiorze Ƶ wzorem:

Można wykazać, że funkcja P jest prawdopodobieństwem w sensie aksjomatycznej definicji, a zatem trójka (Ω, Ƶ, P), która powstała z pary (Ω, p), jest przestrzenią probabilistyczną. Tę trójkę, a także parę (Ω, p), nazywamy ziarnistą albo dyskretną przestrzenią probabilistyczną.
Jeśli p jest klasycznym rozkładem prawdopodobieństwa na zbiorze Ω, to parę (Ω, p) nazywamy klasyczną przestrzenią probabilistyczną.
Uwaga: używamy terminu „ziarnisty” (w znaczeniu, jakie ma w języku angielskim słowo discrete, czyli oderwany, odosobniony, nieciągły) zamiast rozpowszechnionego w podręcznikach terminu „dyskretny” (który jest tłumaczeniem z angielskiego słowa discreet = roztropny, ostrożny, dyskretny, pełen rezerwy – zob. J. Stanisławski, Wielki słownik angielsko-polski, Wiedza Powszechna, Warszawa 1966, s. 222).

Przykład 1

Niech

Para (Ω, p) jest przestrzenią probabilistyczną.

Ryc. 1. Trzy ziarniste przestrzenie probabilistyczne jako obiekty geometryczne

Przykład 2

Na rysunku 1a mamy tangram. Na kwadrat Q narzucono sieć, której oczkami (tanami) są: kwadrat K, równoległobok R oraz trójkąty: T1, T2, T3, T4 i T5. Jeśli kwadrat Q ma pole 1, to funkcja p, która każdemu oczku tangramu przypisuje jego pole, jest rozkładem prawdopodobieństwa na zbiorze Ω = {K, R, T1, T2, T3, T4, T5}. Znajdź wartość tej funkcji p dla każdego tanu. Aby utworzyć ziarnistą przestrzeń probabilistyczną, wystarczy na kwadrat o polu 1 narzucić sieć, której oczkami są figury mające pole. Jeżeli Ω jest zbiorem oczek tej sieci, to funkcja p, która każdemu z oczek przypisuje jego pole, jest rozkładem prawdopodobieństwa na zbiorze Ω. Na rycinie 1 mamy zatem trzy ziarniste przestrzenie probabilistyczne. Tylko że są to obiekty geometryczne.

Przykład 3
Na rysunku 1b mamy przestrzeń probabilistyczną (Ω, p), gdzie:

 

Przykład 4
Szczególną przestrzenią probabilistyczną jest para (Ω*, p*), gdzie

Bogatą kolekcję ziarnistych przestrzeni probabilistycznych mamy w [7] (rozdział 1). Rodzi się pytanie: co wspólnego z tymi dziwnymi matematycznymi obiektami mają nazwy „prawdopodobieństwo” i „zdarzenie”?

Doświadczenie losowe ziarniste i jego model probabilistyczny

Doświadczeniem losowym nazywamy eksperyment, zjawisko, doświadczenie, o przebiegu i wyniku którego decyduje przypadek, przy czym:

  1. Zbiór możliwych wyników tego doświadczenia jest skończony;
  2. Dla każdego wyniku można określić à priori prawdopodobieństwo, z jakim doświadczenie może zakończyć się tym wynikiem.

Te rozważania adresowane są do ucznia i obejmują także proces stosowania matematyki, a zatem w pracy zajmujemy się (por. W. Feller [1], s. 16–17): 

  • doświadczeniami pomyślanymi, o których można mówić jedynie w teorii (rzut symetryczną monetą, rzut symetryczną kostką, losowanie punktu na obwodzie tarczy ruletki),
  • doświadczeniami realnymi (rzut monetą przed meczem piłkarskim, rzut kostką w grze Chińczyk, losowanie sektora za pomocą ruletki w grze Koło Fortuny, rozkładanie w rzędzie potasowanych kart, losowe kojarzenie osobników, którego wynikiem jest genotyp potomka (zob. [7], s. 101).

Obiekty, za pomocą których przeprowadzamy doświadczenia losowe, nazywamy przyrządami losującymi. Takim przyrządem jest moneta, kostka do gry, talia kart, zbiór kamieni domina, ruletka. Ważnym przyrządem losującym w tej pracy jest urna Ub•c, w której jest b kul białych i c czerwonych. Podstawą do ocen prawdopodobieństwa wyników są pewne symetrie (kostki lub monety) lub proporcje (liczb kul w urnie, kart w talii czy pól sektorów ruletki).

Zadanie 1
Pinezka, podobnie jak moneta, ma wiele osi symetrii. Dlaczego rzut monetą jest doświadczeniem losowym, a rzut pinezką takim nie jest?
Rachunek prawdopodobieństwa zajmuje się doświadczeniami pomyślanymi. Na lekcji odwołujemy się do realnych doświadczeń, tak jak na lekcji geometrii zajmujemy się także papierowym modelem rombu (zginając go wzdłuż „przekątnych”, odkrywamy, że „przecinają się one pod kątem prostym”).

Model probabilistyczny doświadczenia losowego

Jeżeli Ω jest zbiorem wyników doświadczenia losowego δ, to funkcja p, która każdemu wynikowi tego doświadczenia przypisuje prawdopodobieństwo, z jakim doświadczenie δ może zakończyć się tym wynikiem (gdy je wykonamy za chwilę, jutro, za rok), jest rozkładem prawdopodobieństwa na zbiorze Ω, a więc para (Ω, p) jest przestrzenią probabilistyczną. Tę szczególną przestrzeń nazywamy modelem probabilistycznym doświadczenia losowego δ.
Modelem doświadczenia losowego jest klasyczna przestrzeń probabilistyczna, gdy wszystkie wyniki tego doświadczenia są jednakowo prawdopodobne.

Przykład 5
Doświadczeniem losowym jest rzut kostką. Jego wynikiem jest liczba oczek na górnej ścianie po upadku kostki. Mówimy, że jest to liczba wyrzuconych oczek. Wyniki rzutu kostką tworzą zbiór ΩK = {1, 2, 3, 4, 5, 6} i wszystkie są jednakowo prawdopodobne. To wynika z pewnych symetrii. Jeśli pK jest funkcją, która każdemu wynikowi rzutu kostką przypisuje jego prawdopodobieństwo, to:

Funkcja pK jest klasycznym rozkładem prawdopodobieństwa na zbiorze ΩK, a zatem para (ΩK, pK) jest klasyczną przestrzenią probabilistyczną. Jest ona modelem probabilistycznym rzutu kostką.
Wyniki doświadczeń losowych są na ogół wariacjami, permutacjami lub kombinacjami, a gdy są jednakowo prawdopodobne, to pojawia się pytanie o ich liczbę. Jeżeli doświadczenie przebiega etapami, to jego wynik przedstawiamy jako ciąg wyników kolejnych etapów. Konstruowanie zbioru wyników doświadczenia, a także ich zliczanie, to są zadania z kombinatoryki.

Przykład 6
Wynik k-krotnego rzutu kostką (jako ciąg wyników kolejnych rzutów) jest k-wyrazową wariacją zbioru {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Wyraz j-ty tej wariacji jest liczbą oczek wyrzuconych za j-tym razem. Jeśli Ωk oznacza zbiór wyników k-krotnego rzutu kostką, to Ωk = {1, 2, 3, 4, 5, 6}k. Wszystkich wyników k-krotnego rzutu kostką jest więc 6ki każdy jest jednakowo prawdopodobny. Ciąg 54 461 jest wynikiem pięciokrotnego rzutu kostką.

Zadanie 2
Przyrządem losującym jest kostka powstała z sześcianu przez zabarwienie ścian. Załóżmy, że jedna ściana sześcianu jest biała, dwie czerwone i trzy zielone. Wynikiem rzutu taką kostką jest kolor górnej ściany po upadku kostki. Określ model probabilistyczny tego doświadczenia losowego.

Zadanie 3
Losowanie kuli z urny U, w której są kule białe, czerwone i zielone, jest doświadczeniem losowym o trzech możliwych wynikach:

  • ωb: wylosowana kula będzie biała,
  • ωc: wylosowana kula będzie czerwona,
  • ωz: wylosowana kula będzie zielona.

Modelem probabilistycznym tego losowania jest para (Ω, p) z przykładu 1. Jakie informacje na temat urny U wynikają z tego faktu?

Przykład 7
Interesujemy się znakiem zodiaku, pod którym urodził się przypadkiem spotkany człowiek. Ten znak jest wynikiem pewnego realnego doświadczenia losowego. Jest 12 wyników i każdy jest jednakowo prawdopodobny.

Rys. 2 Siatka kostki dwunastościennej

Zadanie 4
Na rysunku 2 mamy siatkę kostki powstałej z dwunastościanu foremnego przez rozmieszczenie na jego ścianach liczb od 1 do 12. Rzut tak powstałą kostką jest doświadczeniem losowym δ1, którego wynikiem jest liczba na górnej ścianie po upadku dwunastościanu. Ponumerujmy znaki zodiaku liczbami od 1 do 12. Znak zodiaku przypadkiem spotkanej osoby jest wynikiem doświadczenia losowego δ2. Co łączy te dwa doświadczenia losowe –  δ1 i δ2?

Przykład 8
Rozważmy grupę dwunastu przypadkiem spotkanych osób i znak zodiaku każdej z nich. Mowa tu znów o pewnym doświadczeniu losowym. Wynikiem takiego doświadczenia losowego jest, na przykład, grupa 12 uczniów w klasie. Jeśli rozważamy ich według listy alfabetycznej (te osoby są więc pnumerowane), to ten wynik możemy prezentować jako dwunastowyrazowy ciąg, którego j-ty wyraz jest znakiem zodiaku ucznia numer j. W [6] (zob. s. 149) odkrywa się ciekawe własności modelu tego przypadkowego spotkania 12 osób.

Przestrzeń probabilistyczna jako gotowy garnitur albo garnitur szyty na miarę

Przestrzeń probabilistyczna jest pojęciem matematycznym i nie musi mieć nic wspólnego ze światem przypadku. Tangram jest prezentacją przestrzeni probabilistycznej, choć tany i ich pola (są to przecież obiekty geometrii) nijak nam się nie kojarzą z rachunkiem prawdopodobieństwa.

Przykład 9
Losowanie kuli z urny, w której są trzy kule białe i dwie czerwone, jest doświadczeniem losowym o dwóch wynikach:

  • wylosowana kula będzie biała, ten wynik oznaczamy literką b,
  • wylosowana kula będzie czerwona, ten wynik oznaczamy literą c.

Rozkładem prawdopodobieństwa na zbiorze Ω = {b, c} (tj. na zbiorze wyników losowania kuli) jest funkcja p1, gdzie:

Para (Ω, p1) jest klasyczną przestrzenią probabilistyczną, ale nie jest ona modelem losowania kuli, bo wyniki tego losowania nie są jednakowo prawdopodobne. Tym modelem jest para (Ω, p), gdzie:

Rozważajmy przestrzenie probabilistyczne w kontekście doświadczeń losowych (realnych i pomyślanych). Jeśli δ jest doświadczeniem losowym, to jego model probabilistyczny potraktujmy jako „garnitur mający właściwe wymiary”, gdy chodzi o obiekt, jakim jest to doświadczenie (por. przykład 9). Przestrzeń probabilistyczna konstruowana dla doświadczenia losowego jako jego model probabilistyczny przypomina „garnitur szyty na miarę”.
Matematyk tworzy przestrzenie probabilistyczne jako gotowe obiekty, nie interesując się tym, czy mają one jakiś związek z otaczającym nas światem. On produkuje te przestrzenie tak, jak producenci ubrań szyją je dla hurtowni. Człowiek poszukujący garnituru może z tej kolekcji gotowych garniturów w sklepie dobrać właściwy dla siebie. Ale Kowalski, chcąc nabyć właściwy dla siebie garnitur, może pójść do krawca, który (biorąc wymiary) „uszyje mu ten garnitur na miarę”.
W przypadku wielu doświadczeń losowych będziemy konstruować ich modele, „szyjąc je na miarę”. Podstawą wnioskowań będą pewne symetrie, proporcje i analogie. Konstrukcja modelu (jako jego „szycie na miarę”) jest aktywnością matematyczną. Pokażemy, komu, w jakiej sytuacji i do czego jest potrzebny ten model. Mowa tu więc o motywacjach wprowadzania do szkolnego rachunku prawdopodobieństwa ziarnistych przestrzeni probabilistycznych.

Równoczesne losowanie dwóch kul z urny Ub•c i jego model

Niech Ub•c oznacza dalej urnę, w której jest b kul białych 
i c czerwonych, przy czym c ≥ 2. W dalszych rozważaniach szczególną rolę odgrywa równoczesne losowanie dwóch kul z urny Ub•c jako doświadczenie losowe . Przyjmijmy, że modelem tego losowania jest para (Ω2b•c, p2b*c). Określmy tę parę. 

Jeśli b ≥ 2 i c ≥ 2, to są trzy możliwe wyniki losowania :

  • ω0: obie wylosowane kule będą białe,
  • ω1: jedna będzie biała, jedna czerwona,
  • ω2: obie wylosowane kule będą czerwone.

Przykład 10
Weźmy najpierw urnę U3•2.  Jest Ω23•2 = {ω0, ω1, ω2}. Białych kul w urnie U3•2 jest więcej niż czerwonych, a więc wynik ω0
jest bardziej prawdopodobny niż wynik ω2. Wyniki nie są jednakowo prawdopodobne.


Rys. 3. Jednakowo możliwe przypadki (jako odcinki) i wyniki losowania dwóch kul z urny

Kule jednakowego koloru nie są rozróżnialne. Rozmieśćmy na chwilę wszystkie kule z urny U3•2 w wierzchołkach pięciokąta. W ten sposób wszystkie kule stały się rozróżnialne. Jest to analiza teoretyczna. Każdy odcinek na rycinie 3 przedstawia dwie wylosowane kule. Jest 10 takich odcinków, każdy reprezentuje jednakowo możliwy przypadek i:

  • 3 z nich prowadzą do wyniku ω0 (reprezentują je odcinki łączące białe kule),
  • 6 przypadków prowadzi do wyniku ω1,
  • tylko 1 przypadek prowadzi do wyniku ω2.

A zatem funkcja p23•2 jest określona następująco:

Jest ona rozkładem prawdopodobieństwa na zbiorze Ω23•2. Modelem losowania dwóch kul z urny U3•2 jest przestrzeń probabilistyczna (Ω23•2, p23•2). Ten model „szyliśmy na miarę” metodą jednakowo możliwych przypadków.
Zauważmy, że jest to w istocie przestrzeń z przykładu 3.
Rysunek 1b jest geometryczną prezentacją modelu losowania dwóch kul z urny U3•2 i nazywa się tangramem przestrzeni probabilistycznej (Ω23•2, p23•2).

Przykład 11
Stosując metodę klasyfikacji jednakowo możliwych przypadków, określmy model losowania δ2b•c, gdy b ≥ 2 i c ≥ 2. Jest więc Ω23•2 = {ω0, ω1, ω2}.

Niech b + c = s. Rozmieśćmy kule z urny Ub•c w wierzchołkach s-kąta wypukłego. W tej (teoretycznej) sytuacji dwie wylosowane kule przedstawia odcinek łączący wierzchołki z tymi kulami. Każdy odcinek reprezentuje jeden przypadek. Tych przypadków jest zatem tyle, ile jest odcinków łączących wierzchołki s-kąta wypu-
kłego. Z każdego wierzchołka wychodzi (s − 1) takich odcinków, wierzchiołków jest s więc iloczyn s • (s − 1) byłby liczbą tych odcinków, tylko że każdy policzyliśmy dwukrotnie. Tych odcinków jako jednakowo możliwych przypadków jest zatem:

Przypadków sprzyjających wynikowi ω0 jest tyle, ile odcinków łączących wierzchołki z białymi kulami, a więc:

Prawdopodobieństwo wyniku ω0 jest więc ilorazem dwóch liczb:

Jeśli p2b•c(ωj) oznacza prawdopodobieństwo wyniku ωj losowania δ2b•c, to: 

Zadanie 5
Wykaż, że nie istnieje taka urna Ub•c, w przypadku której wyniki doświadczenia losowego δ2b•c byłyby jednakowo prawdopodobne.

Niech Q będzie dowolnym zbiorem s-elementowym. Jeśli 
te elementy rozmieścimy w wierzchołkach s-kąta wypukłego, to każdy odcinek łączący dwa wierzchołki reprezentuje dwuelementową kombinację zbioru Q (tworzą ją elementy 
w wierzchołkach, które są tego odcinka końcami). „Szyjąc na miarę” pewną przestrzeń probabilistyczną odkryliśmy następujące kombinatoryczne twierdzenia:
Odcinków łączących wierzchołki s-kąta wypukłego jest:

Jest to zarazem liczba dwuelementowych kombinacji (czyli dwuelementowych podzbiorów) zbioru s-elementowego.

Jednakowo możliwe przypadki jako krawędzie digrafu

Weźmy znów urnę Ub•c, w której jest b kul białych i c czerwonych. Rozważmy doświadczenia losowe:

  • δ1b•c: losowanie kuli z urny Ub•c (por. przykład 9),
  • δ2b•c: równoczesne losowanie dwóch kul z urny Ub•c (por. przykład 11),
  • δ3b•c: dwukrotne losowanie bez zwracania kuli z urny Ub•c,
  • δ4b•c: dwukrotne losowanie ze zwracaniem kuli z urny Ub•c.

Niech (Ωjb•c, pjb•c) oznacza model doświadczenia δjb•c dla 
j = 1, 2, 3, 4.

Przykład 12
[MODEL LOSOWANIA KULI Z URNY Ub•c] 
Wyniki losowania kuli z urny Ub•c oznaczmy (jak w przykładzie 9) literami: b (wylosowana kula będzie biała) i c (wylosowana kula będzie czerwona). Jest oczywiste, że: 

Wynik dwukrotnego losowania kuli z urny Ub•c przedstawmy jako ciąg wyników kolejnych losowań. Jeżeli b ≥ 2 i c ≥ 2, to są cztery możliwe wyniki każdego z losowań 
δ3b•c i δ4b•c oraz: Ω3b•c = {bb, bc, cb, cc} i Ω4b•c = {bb, bc, cb, cc}.

Niech b + c = s. Rozmieśćmy kule z urny Ub•c w wierzchołkach s-kąta wypukłego. Wierzchołek z białą kulą nazwijmy białym, wierzchołek z kulą czerwoną zaś czerwonym. Jednakowo możliwy przypadek reprezentuje strzałka łącząca kulę wylosowaną za pierwszym razem z kulą wylosowaną za drugim razem.

Przykład 13
[MODEL DWUKROTNEGO LOSOWANIA BEZ ZWRACANIA KULI Z URNY Ub•c] 
Jeśli kule losujemy bez zwracania, to jest s(s − 1) takich strzałek. To są jednakowo możliwe przypadki. Do wyniku bb prowadzą te, które są strzałkami o białym początku i białym końcu. Takich przypadków jest b(b − 1). Przypadków, które prowadzą do wyniku bc jest tyle, ile jest strzałek o białym początku i czerwonym końcu, a więc b • c. Przypadków prowadzących do wyniku cb jest c • b, do wyniku cc zaś c(c − 1).
A zatem:

Przykład 14
[MODEL DWUKROTNEGO LOSOWANIA ZE ZWRACANIEM KULI Z URNY Ub•c] 
Jeśli kule losujemy ze zwracaniem, to w rachubę wchodzą także strzałki łączące wierzchołek z nim samym (pętle). Jest ich s. Teraz mamy więc s(s – 1) + s, czyli s2, jednakowo możliwych przypadków. Spośród nich b(b − 1) + b, czyli b2, prowadzi do wyniku bb, bc prowadzi do wyniku bc i tyle samo do wyniku cb, c(c − 1) + c, czyli c2 prowadzi do wyniku cc, a więc: 

W przypadku b = 3 i c = 3 tę ideę klasyfikacji jednakowo możliwych przypadków jako metodę konstruowania modeli probabilistycznych doświadczeń δ3b•c i δ4b•c prezentuje ryc. 4 (b i c).

Modelem doświadczenia δ33•2 jest przestrzeń probabilistyczna (Ω33•2, p33•2), gdzie Ω33•2 = {bb, bc, cb, cc} oraz:

Modelem doświadczenia δ43•2 jest przestrzeń probabilistyczna (Ω43•2, p43•2), gdzie Ω43•2 = {bb, bc, cb, cc} i: 

Przestrzeń probabilistyczna a proces podejmowania decyzji

Model probabilistyczny doświadczenia losowego może być na lekcji narzędziem wyłaniania racjonalnych strategii w grze losowej oraz podejmowania decyzji.

Przykład 15
[GRA TYPU LOTTO] 
W grze przeprowadza się doświadczenie losowe δ, ale zanim to się stanie, każdy z graczy stawia na to, jakim zakończy się ono wynikiem i wygra pun...

Pozostałe 70% treści dostępne jest tylko dla Prenumeratorów.

Co zyskasz, kupując prenumeratę?
  • 6 wydań czasopisma "Matematyka"
  • Dostęp do wszystkich archiwalnych artykułów w wersji online
  • Możliwość pobrania materiałów dodatkowych, testów i zadań
  • ...i wiele więcej!
Sprawdź

Przypisy