Dołącz do czytelników
Brak wyników

Kierunek egzamin

12 listopada 2020

NR 46 (Listopad 2020)

Rozwiązywanie zadań z egzaminu ósmoklasisty z GeoGebrą

0 215

Dobre przygotowanie naszych uczniów do egzaminów jest istotną częścią naszej pracy. I chociaż na co dzień dokładamy wiele starań, aby nasi podopieczni uzyskali wysokie wyniki, bywa tak, że efekty nie są zadowalające. Zaprezentuję ogólne tendencje, jakie od lat widoczne są przy analizie egzaminów zewnętrznych z matematyki, ze szczególnym uwzględnieniem testu pisanego po szkole podstawowej.

Jest to egzamin, który zawsze wypada słabiej niż inne przedmioty, średnie wskaźniki ogólnopolskie są zazwyczaj nieco niższe niż dla języka polskiego czy języków obcych. Jeśli chodzi natomiast o same prace uczniów, to często przy przeglądaniu ich widać, że mała liczba punktów zdobywana jest w zadaniach otwartych. Bywa wręcz tak, że zdający w ogóle nie podejmują próby rozwiązania jednego lub kilku zadań otwartych. Szczególnie uwidacznia się to podczas tak zwanych zadań „na dowodzenie”. W zadaniach tych uczniowie mają obowiązek uzasadnić coś, czego czasami w ogóle nie widzą, własności, których nie czują podświadomie, więc trudno im wyobrazić sobie rozwiązanie. Działania te są z góry skazane na niepowodzenie. Czasami zadania dotyczą też pojęć, które dla uczniów są zbyt abstrakcyjne, aby mogli poradzić sobie z wykonaniem polecenia. Dlatego też chciałabym zaproponować, jak możemy uzupełnić tradycyjny sposób rozwiązywania zadań egzaminacyjnych poprzez wykorzystanie programu GeoGebra. Oczywisty jest fakt, że program ten nie będzie dostępny dla uczniów podczas egzaminu, jednak z pewnością wielu z nas, omawiając z kolejnymi rocznikami zadania egzaminacyjne, może uruchomić komputer i zaprezentować gotowy rysunek lub polecić wykonanie wizualizacji uczniom. Być może pomoże to chociaż niektórym osobom na nowo spojrzeć na zadania, dostrzec pewne prawidłowości, zauważyć przypadki szczególne czy przybliżyć sobie pojęcia abstrakcyjne.
Pierwszym przykładem, jaki chciałabym omówić, jest zadanie 18 z tegorocznego egzaminu próbnego, jaki został przeprowadzony w kwietniu podczas nauczania zdalnego. Jego treść jest następująca:

POLECAMY

Zadanie 18. (0−2)
Długości boków czworokąta opisano za pomocą wyrażeń algebraicznych, tak, jak pokazano na rysunku.
 


Uzasadnij, że jeśli obwód tego czworokąta jest równy 100 cm, to jest on rombem. Zapisz obliczenia. 

Rozwiązując zadania z GeoGebrą, musimy zawsze nieco zmienić ich treść. Czasami nie chodzi o samo odnalezienie poprawnej odpowiedzi, a raczej o zrozumienie problemu, przeanalizowanie go, spojrzenie na treść zadania w różny sposób. W tym wypadku moją propozycją jest, aby wykonać z uczniami rysunek do zadania, wprowadzając zmienną zamiast niewiadomej x. W programie GeoGebra oznaczenie zmiennej x jest zarezerwowane dla argumentów funkcji, dlatego musimy użyć na przykład symbolu a.
Na początku poprośmy uczniów o określenie zakresu liczbowego, jaki nasza zmienna powinna przyjmować. Zakładając, że długość boku czworokąta musi być liczbą dodatnią, możemy rozwiązać cztery proste nierówności. Uwzględniając wszystkie wyniki, otrzymamy liczbę większą od 7,5. Dlatego przy tworzeniu suwaka wybrałam zakres od 8 do 30 przy kroku równym 1. Mając ustalone wstępne założenia, możemy przejść do tworzenia interaktywnej ilustracji do zadania. Aby łatwo wprowadzić długości poszczególnych boków czworokąta, możemy zdefiniować cztery nowe wielkości, wpisując odpowiednie wyrażenia odwołujące się do zmiennej a. Nie musimy nadawać im nazw, program sam przypisze do nich kolejne litery alfabetu (ryc. 1).
 

Ryc. 1


Następnie proponuję narysowanie łamanej składającej się kolejno z odcinków o długościach b, c, d i e. W tym celu używamy czterokrotnie narzędzia Odcinek o określonej długości , wskazując kolejne punkty początkowe oraz podając długości odcinków. Jest to rozwiązanie ciekawe, jednak jego niedoskonałością jest to, że nie otrzymamy wielokąta. Po uzyskaniu łamanej musimy sami manipulować położeniem punktów tak, aby ją zamknąć (ryc. 2). Dlatego polecam też inne rozwiązanie, w którym otrzymamy gotowy wielokąt. Zaczynamy rysunek od punktu, z którego kreślimy dwa okręgi (o promieniach b i e). Następnie wybieramy punkty na tych okręgach i tworzymy kolejne okręgi o środkach w wybranych punktach i promieniach c i d. Punkt przecięcia okręgów da nam ostatni wierzchołek czworokąta. Następnie ukrywamy wszystkie okręgi, które były dla nas tylko obiektami pomocniczymi, i wprowadzamy odpowiednie nazewnictwo dla interesujących nas punktów. Na zakończenie rysujemy czworokąt i możemy rozpocząć jego obserwacje w zależności od wybranej wartości parametru a, zmienianej za pomocą suwaka (ryc. 2).
 

Ryc. 2

 

Możemy wraz z uczniami analizować, jak prezentowana na nim wartość wpływa na wygląd wielokąta. Szczególnie na drugim rysunku łatwo będzie zauważyć, że czworokąt będzie rombem dla a = 20. Wówczas wszystkie długości boków czworokąta wyniosą po 25, a zatem jego obwód da nam 100, zgodnie z warunkami podanymi w zadaniu. Opisywany przykład pokazuje, że praca z programem GeoGebra absolutnie nie sprowadza się do tego, żeby program wyręczył nas w wykonywaniu obliczeń. Chodzi bardziej o to, aby przybliżyć uczniom rozpatrywany problem, pomóc im lepiej go zrozumieć. Ponadto wniosek o obwodzie równym 100 otrzymujemy dopiero na koniec, a nie jako wstępne założenie. Praca z komputerem niejako zmienia samą treść zadania.
Innym przykładem problemu, który warto rozwiązać z GeoGebrą, jest zadanie 16 z arkusza opublikowanego przez CKE w grudniu 2018 r. Oto jego treść:

Zadanie 16. (0−2)
Prostokąt ABCD o wymiarach 7 cm i 8 cm rozcięto wzdłuż prostej a na dwa trapezy tak, jak pokazano na rysunku. Odcinek CL ma długość 3,2 cm.
 

 

Pole trapezu KBCL jest czterokrotnie mniejsze od pola prostokąta ABCD. Oblicz długość odcinka KB. Zapisz obliczenia.

Tak jak w poprzednim zadaniu, również w tym przypadku włączenie w proces rozwiązywania GeoGebry zmienia nasze podejście do całego zadania. Program sam nie wykona za nas obliczeń, nie wyświetli wzorów i nie wykona podstawienia do nich odpowiednich wielkości. Możemy jednak z jego pomocą zrobić coś innego. Po wykonaniu rysunku prostokąta ABCD i trapezu KBCL możemy wyświetlić pola interesujących nas figur oraz wyliczyć, ile wynosi czwarta część pola prostokąta ABCD. Ponadto przemieszczanie punktu K pozwoli nam znaleźć interesującą nas długość odcinka KB (ryc. 3).
 

Ryc. 3


Oczywiście, odnalezienie warto...

Pozostałe 70% treści dostępne jest tylko dla Prenumeratorów

Co zyskasz, kupując prenumeratę?
  • 6 wydań czasopisma "Matematyka"
  • Dostęp do wszystkich archiwalnych artykułów w wersji online
  • Możliwość pobrania materiałów dodatkowych, testów i zadań
  • ...i wiele więcej!
Sprawdź

Przypisy