Dołącz do czytelników
Brak wyników

Kierunek egzamin

24 maja 2021

NR 49 (Maj 2021)

Jak w trzech krokach oswoić uczniów z zadaniami typu „wykaż”, „pokaż”, „udowodnij”?

0 75

Zadania na dowodzenie – to zdecydowanie najtrudniejsza i zarazem najbardziej nielubiona grupa wyzwań, z jakimi uczniowie mają do czynienia na lekcjach matematyki. Ta niechęć wynika zapewne z faktu, że podczas wykonywania dowodów należy posługiwać się językiem matematycznym, biegle poruszać się w twierdzeniach i definicjach, a co więcej – tego typu zadania wymuszają pracę na oznaczeniach ogólnych, nie konkretnych wielkościach. Jak więc w trzech krokach oswoić uczniów z tego typu zadaniami? Jak zachęcić do podejmowania tego typu wyzwań?

Dowody matematyczne to nie lada wyzwanie zarówno dla ucznia, jak i dla nauczyciela. Z reguły obie strony omijają ten temat szerokim łukiem – z prostej przyczyny. Uczniowie dlatego, że najzwyczajniej w świecie nie rozumieją tego typu zadań. Nauczyciele zaś, widząc to, niejednokrotnie tracą motywację do ćwiczenia tych zagadnień. Zdarza się, że dowody, których wymaga podstawa programowa, przerabiają oni samodzielnie na tablicy, omawiając je w trakcie, lub zadają je na pracę domową. Efekt jest taki, że z czystym sumieniem mogą położyć się spać, ponieważ zrealizowali podstawę programową. Niestety, bez oczekiwanego rezultatu, bowiem uczeń nie zrozumiał tematu i prawdopodobnie żadnego z tych dowodów nie umiałby powtórzyć samodzielnie. Matematyka to jeden z tych przedmiotów, których nie da się „wykuć na pamięć”. Dlatego metoda wykładu, w mojej opinii, powinna być tutaj stosowana niezwykle rzadko. Idealny byłby świat, gdyby każdy z nas miał możliwość pracy tylko z uczniami uzdolnionymi matematycznie, którzy tego typu zadania pochłanialiby z niezwykłą łatwością. Jednak doskonale wiemy, że rzeczywistość wygląda zupełnie inaczej… W większości mamy do czynienia z młodymi ludźmi, którym z matematyką nie do końca jest po drodze. Najczęściej jest to jednak niechęć nabyta, na zasadzie: „nie rozumiem, więc nie lubię”. Wydaje się więc, że sposób na zmianę podejścia uczniów do dowodów matematycznych jest banalny. Wystarczy ich zaprzyjaźnić z tym tematem, tylko jak?

POLECAMY

Krok 1 
Pokaż, że dowód nie jest dowodem

Kiedy zaczynam przygodę z dowodami, często robię pewien eksperyment. Usuwam z treści polecenia słowo, które wskazuje, że mamy do czynienia z zadaniem na dowodzenie. Zauważyłam bowiem, że poleceń, które zaczynają się od słów: „Wykaż”, „Pokaż”, „Udowodnij”, uczniowie nawet nie czytają. Kiedyś na sprawdzianie na końcu tego typu zadania, ze stosunkowo długą treścią, dopisałam zdanie: „Jeśli przeczytałeś to polecenie do końca, dopisz sobie plus jeden punkt przy nazwisku”. Przerażające było dla mnie to, że zrobiło to zaledwie kilka osób w 25-osobowej klasie. Jak uczeń ma podjąć próbę rozwiązania zadania, skoro nawet nie zapoznał się z jego treścią? Przecież to jest niewykonalne. Właśnie dlatego zaprzyjaźniam ich z zagadnieniem małymi krokami. Usunięcie słów, które wskazują na to, że mamy do czynienia z dowodem, oraz stworzenie serii pytań dodatkowych powodują, że zadanie zaczyna wydawać się bardziej dostępne. 

Zadanie 1

Udowodnij, że suma trzech kolejnych liczb nieparzystych jest podzielna przez trzy.

Zamieniamy na:

Czy suma trzech kolejnych liczb nieparzystych jest podzielna przez trzy?

Wydaje się, że nie zmieniliśmy prawie nic. Jednak zmieniliśmy bardzo wiele. Uczeń powinien teraz spróbować samodzielnie odpowiedzieć na pytanie: Czy tak jest, naprawdę? Na początku nie wymagajmy stosowania dowodu. Uczeń sam musi dojść do tego, że jest to prawda. Najłatwiej będzie, jeśli każdy w klasie wypisze trzy dowolne, kolejne liczby nieparzyste i doda je do siebie. Okaże się wtedy, że każda powstała w ten sposób suma jest podzielna przez 3. Teraz zacznijmy zadawać dodatkowe pytania:

Jak zapisać wzór na liczbę nieparzystą?
Czy wszystkie liczby nieparzyste mają jakąś wspólną zależność?
Czy jesteśmy w stanie stworzyć wzór na liczbę parzystą? 
Jaka jest wspólna cecha wszystkich liczb parzystych?
Jaka zależność jest między liczbą parzystą a nieparzystą?
O ile różnią się od siebie kolejne liczby nieparzyste?

Tą burzą mózgów dochodzimy do wniosków, że trzy kolejne liczby nieparzyste zapiszemy jako 2x + 1, 2x + 3, 2x + 5

Oczywiście, przy założeniu, że x ! N (dodatkowo wyjaśniamy, z czego wynika takie, a nie inne założenie). Natomiast suma tych liczb to: 2x + 1 + 2x + 3 + 2x + 5 = 6x + 9

Teraz wystarczy już tylko nakierować młodzież, że żeby wykazać podzielność przez 3, należy zapisać przedstawione wyrażenie w postaci iloczynu 3 × coś, a to osiągniemy, wystawiając 3 przed nawias.

3(2x + 3)

Na koniec należy pokazać, że zakończyliśmy dowód – w tym celu możemy użyć jednego ze skrótów: 

c.b.d.u. (co było do udowodnienia)
c.n.d. (co należało dowieść)

Na etapie oswajania uczniów z zadaniami na dowodzenie dobrze też użyć zadań, w których możemy pracować na konkretnych liczbach, pokazując uczniom, że cały dowód polega tak naprawdę na obliczeniu danego zadania. W ten sposób pokażemy osobom, które uważają, że dowody są zbyt skomplikowane, że są to zadania w ich zasięgu oraz że warto czytać polecenia tego typu zadań i podejmować próby rozwiązania ich. To też jest niezwykle ważny aspekt: ośmielić ucznia w podejmowaniu prób. To jest cenna życiowa lekcja, która uczy podejmowania ryzyka. Nie chodzi tu tylko o matematykę, ale o całe dorosłe życie. Trzeba bowiem wierzyć w swoje możliwości i ufać sobie.

Zadanie 2

Wykaż, że rozwiązaniem nierówności (2x − 3)(3x + 5) − 7 > −2 + 6x(x + 1) − 5x nie jest żadna liczba rzeczywista.

Na początku stosujemy podobny trik jak w poprzednim zadaniu:

Sprawdź, czy rozwiązaniem nierówności (2x − 3)(3x + 5) − 7 > −2 + 6x(x + 1) − 5x nie jest żadna liczba rzeczywista.

A następnie rozwiązujemy nierówność:

(2x − 3)(3x+5) − 7> − 2 + 6x(x+1) − 5x
6x2 + 10x − 9x − 15 − 7 > − 2 + 6x2 + 6x − 5x
0 > 20
Nierówność sprzeczna x " Ø
c.b.d.u.

Oczywiście, dobór zadań uzależniony jest od tego, na jakim etapie realizacji podstawy programowej się znajdujemy, jeśli jednak jako nauczyciel uważasz, że na jakiś dowód jest jeszcze za wcześnie, to zastąp go innym, łatwiejszym. Pamiętaj o tym, że dobrze jest wrzucać uczniów na głęboką wodę, jednak ważne jest, aby posiadali oni wtedy choć minimalną umiejętność utrzymania się na wodzie. Inaczej pójdą na dno, a nie każdy ma na tyle siły, żeby się od niego odbić i wypłynąć na powierzchnię. 


Krok 2 
Pokoloruj uczniom świat

Dobrą metodą, która sprawdza się zwłaszcza przy zadaniach dotyczących geometrii, jest wprowadzanie kolorów i dodatkowych oznaczeń na rysunku. Łatwiej jest wtedy młodzieży zobaczyć zależności, które dla nas są oczywiste. Dowody matematyczne dotyczące geometrii są o wiele bardziej skomplikowane. Wynika to przede wszystkim z faktu, że aby je rozwiązać, należy biegle poruszać się w twierdzeniach i definicjach. Na początku nie jest to jednak aż tak mocno skomplikowane, gdyż ćwiczenia tego typu są przypisane do konkretnych tematów, tak więc z góry wiadomo, w obszarze jakich twierdzeń będziemy się poruszać. Trudniej jest, kiedy powtarzamy do matury czy egzaminu ósmoklasisty, ponieważ wtedy zadania dotyczą już ogółu zdobytej wiedzy. Tak więc dobry rysunek jest podstawą do wysnuwania odpowiednich wniosków. Poza tym musimy pamiętać, że bardzo duża część ludzi jest wzrokowcami. Wykonywanie tego typu rysunków ułatwia więc im zapamiętanie schematów rozwiązania, a także kojarzenie konkretnych twierdzeń z danymi sytuacjami. Ma to dla uczniów ogromne znaczenie, zwłaszcza przy powtarzaniu materiału. 

Zadanie 3
 


Trójkąt ABC jest równoboczny (patrz rysunek). Odcinki AD, BE i CF mają równe długości. Uzasadnij, że trójkąt DEF jest równoboczny.

Nie jest to bardzo skomplikowane zadanie, jednak musimy spojrzeć na nie oczami ucznia, a tutaj perspektywa jest zupełnie inna. Pierwsza czynność, jaką powinniśmy wykonać, to naniesienie na zdjęcia informacji podanych w treści zadania. Zachęcam do użycia w tym celu kolorów.
 


Teraz w grę wkraczają pytania dodatkowe:

Co wiemy o trójkącie równobocznym?
Jakie ma boki?
Jakie ma kąty?

Informacje uzyskane od uczniów również nanosimy na rysunek, co pomoże nam wysnuć kolejne wnioski.
 


Na rysunku łatwo dostrzec, że odcinki AF, DB oraz CE są równe. Nanosimy jednak na grafikę jeszcze tę informację.
 


Teraz możemy zauważyć, że na rysunku mamy 3 identyczne trójkąty ADF, DBE, FCE. Uczniowie widzą trzy trójkąty, w których jeden bok jest żółty, drugi niebieski, a kąt pomiędzy nimi jest taki sam, równy 60°. Trójkąty są identyczne, czyli przystające. Kolorowe odcinki i kąty odczytujemy jako cechę przystawania. W ten oto sposób dochodzimy do wniosku, że odcinki DE, DF i EF również są takie same. 
 


Teraz wystarczy już tylko zamienić nasze wnioski na język matematyki i dowód skończony. Tak więc:
 


 

Zapisując dowód, również używam kolorów. Co ważne – tych samych co na rysunku. W głowie ucznia tworzy się więc jedna spójna całość. Zdaję sobie sprawę, że na egzaminach uczniowie mogą używać tylko czarnego koloru oraz że nie da się każdego dowodu...

Pozostałe 70% treści dostępne jest tylko dla Prenumeratorów

Co zyskasz, kupując prenumeratę?
  • 6 wydań czasopisma "Matematyka"
  • Dostęp do wszystkich archiwalnych artykułów w wersji online
  • Możliwość pobrania materiałów dodatkowych, testów i zadań
  • ...i wiele więcej!
Sprawdź

Przypisy