Jeżeli popatrzymy do Encyklopedii szkolnej, matematyka to „dzielenie, w arytmetyce, działanie dwuargumentowe przyporządkowujące dwóm liczbom \(a\) i \(b\), z których druga jest różna od zera, liczbę \(c\) taką, że \(b × c = a (…)\). Wynik dzielenia nazywamy ilorazem. Liczbę \(a\) nazywamy dzielną, liczbę \(b\) – dzielnikiem”.
Dzielenie może być wykonalne lub niewykonywalne w danym zbiorze liczbowym. Takie stwierdzenie doprowadza nas do pojęcia dzielenia z resztą, jeżeli pozostajemy dalej w zbiorze liczb całkowitych, w którym nie każde dzielenie jest możliwe do wykonania. \(14 : 7\) – jest działaniem wykonalnym w zbiorze liczb całkowitych, ponieważ dzielna, dzielnik i iloraz należą do zbioru liczb całkowitych, tymczasem działanie \(14 : 4\) nie jest działaniem wykonalnym w zbiorze liczb całkowitych, ponieważ iloraz nie jest liczbą całkowitą.
Gdy popatrzymy na program nauczania na etapie klas 1–3 edukacji wczesnoszkolnej jednego z wydawnictw, dzielenie jako działanie nie pojawia się w klasie pierwszej. W klasie drugiej uczniowie uczą się mnożyć i dzielić w zakresie tabliczki mnożenia do 50. Nauczyciel powinien również podkreślać związek mnożenia i dzielenia (uwaga, dodam tutaj tylko dla formalności, że są to działania odwrotne, a nie, jak często przedstawia się je mylnie, działania przeciwne). Klasa trzecia powinna być poświęcona uzyskaniu biegłości w pamięciowym mnożeniu i dzieleniu liczb w zakresie tabliczki mnożenia do 100.
Dzielenie wprowadzane jest jako działanie, które zastępuje wielokrotne, żmudne dla dziecka odejmowanie. Może to odpowiednie miejsce, aby zastanowić się, jaka jest różnica pomiędzy dzieleniem „na” i „przez”. Różnicę pomiędzy podziałem 8 obiektów na 2 a podziałem 8 obiektów po 2 przedstawiają rysunki poniżej.
POLECAMY
Z jakim dzieleniem muszą oswoić się uczniowie klas starszych?
Już na samym początku klasy czwartej uczniowie poznają dzielenie z resztą oraz algorytm dzielenia sposobem pisemnym. W obydwu przypadkach niezbędna okazuje się znajomość tabliczki dzielenia.
Najczęściej przed dzieleniem sposobem pisemnym wprowadzane jest dzielenie z resztą, a zrozumienie tego działania jest dla uczniów trudne. Przyczyn jest kilka. Po pierwsze, nauka tej umiejętności wymaga naprawdę dobrej znajomości tabliczki dzielenia. Trudny dla uczniów do zrozumienia jest również fakt, że nie wszystkie liczby muszą, jak dotychczas, dzielić się całkowicie przez siebie. Jeżeli w klasach młodszych nie spotkali się z takimi przypadkami, będzie to niełatwe do opanowania. Jeżeli tam wszystkie liczby dzieliły się bez problemu, to trudności będą pojawiać się właśnie teraz. Może warto od czasu do czasu podczas zajęć w klasie trzeciej skonfrontować uczniów z takimi sytuacjami, gdy nie można podzielić całkowicie dwóch liczb przez siebie. Może będzie to dobry moment, aby zachęcić ich do dyskusji na temat braku podzielności \(16 : 5\) i szukania liczby mniejszej/większej, która już taką własność posiada.
Dzielenie z resztą należy wprowadzać na konkretnych przykładach wymagających od dzieci manipulacji. Można do tego użyć np. kolorowych kubków wykorzystywanych na zajęciach matematyki, łączonych z elementami kodowania. Każdy z uczniów powinien dostać np. dwadzieścia kubków i trenować dzielenie z resztą (ryc. 2).
Im więcej zrobimy przykładów na konkretach, tym mniej abstrakcyjne dla dzieci stanie się dzielenie z resztą. Na pewno zaprocentuje to na lekcjach, podczas których będziemy wprowadzali uczniów w świat ułamków zwykłych.
Algorytm dzielenia sposobem pisemnym również jest dla uczniów trudny do opanowania. Moim zdaniem, w klasie czwartej szkoły podstawowej powinniśmy uczyć jedynie dzielenia przez liczby jednocyfrowe. Dzięki temu zabiegowi o wiele łatwiej uda się opanować w klasie piątej dzielenie przez liczby wielocyfrowe.
Dlaczego uczniowie mają problem z dzieleniem pisemnym?
Przyczyn jest kilka. Pierwszą z nich jest na pewno złożona struktura algorytmu. Należy dokładnie zapamiętać kolejność wykonywania poszczególnych działań arytmetycznych. Uczeń musi odejmować oraz wykorzystywać tabliczkę mnożenia i tabliczkę dzielenia. Wymagane są również od niego dokładność i staranność zapisu, z czym uczniowie mają duży problem.
Jak ułatwić uczniom opanowanie umiejętności dzielenia pisemnego?
Przedstawię najpierw sposób, w którym wykonuję dzielenie pisemne wspólnie z moimi uczniami. Jest kompilacją kilku metod podpatrzonych u innych nauczycieli matematyki czy prezentowanych w polskich podręcznikach do tego przedmiotu.
Następnie zaprezentuję, jak dzielenie sposobem pisemnym wykonują uczniowie w innych krajach, oraz przedstawię interesujące połączenia tych metod, znalezione w sieci.
Wprowadzając dzielenie sposobem pisemnym w klasie czwartej, przygotowuję kartki z następującymi rolami:
- SPISYWACZ – jego zadaniem jest zapisanie przykładu i spisywanie poszczególnych cyfr.
- MIEŚCICIEL – jego zadaniem jest sprawdzanie, ile razy mieści się dzielnik w poszczególnych liczbach. Tutaj wymagana jest znajomość tabliczki dzielenia.
- MNOŻYCIEL – jego zadaniem jest wykonanie mnożenia dzielnika i odpowiedzi podanej przez MIEŚCICIELA.
- ODEJMOWACZ – jego zadaniem jest wykonanie odejmowania.
Wykonując kolejne kroki dzielenia sposobem pisemnym, przyczepiam do tablicy poszczególne role. Rozwiązywanie przykładu 46 \(152 : 3\) mogłoby wyglądać jak na ryc. 3.
Już same nazwy ról sugerują, jakie działanie/czynność należy wykonywać w poszczególnych krokach. Powinniśmy zwrócić uczniom uwagę, że „nad kreską” wyniki swojej pracy zapisuje jedynie MIEŚCICIEL. Kolejne przykłady może przy tablicy wykonywać czwórka uczniów, którzy uprzednio wylosowali swoje role. Można również podzielić uczniów na czteroosobowe grupy, które pracują wspólnie nad rozwiązaniem kolejnych przykładów, a rachunki poprzedza wylosowanie ról.
Jeżeli w klasie piątej przejdziemy do dzielenia pisemnego przez liczby wielocyfrowe, wówczas MIEŚCICIEL może przygotować sobie pomocniczą tabelkę. Gdy będziemy musieli wykonać działanie \(2305 : 12\), wówczas tabelka MIEŚCICIELA, z kolejnymi wielokrotnościami liczby 12, mogłaby wyglądać następująco:
Alternatywne sposoby dzielenia pisemnego
Jak dzielą anglojęzyczni uczniowie?
W obydwóch opisanych poniżej przypadkach uczniowie ci wykonują po kolei wszystkie czynności, które robimy my w Polsce na lekcjach matematyki. Różni ich od nas jedynie zapis. Oto przykład, jak będzie wyglądać wykonywanie działania 723 : 5 w anglojęzycznej szkole:
- Long division (długie dzielenie, ze względu na zapis) – ryc. 4.
- Short Division (krótkie dzielenie, ze względu na krótki zapis) – ryc. 5.
Rectangular Array (Area Model) Box Method for Division
W przypadku tej metody musimy stworzyć tabelkę, która ma tyle kolumn, ile cyfr ma dzielna. Zobaczmy, jak wygląda ta metoda w przypadku przykładu zamieszczonego powyżej. Musimy narysować tabelkę z trzema kolumnami i odpowiednio ją wypełnić (ryc. 6).
Jak można się domyślić, pierwsza kolumna będzie odpowiedzialna za setki, druga za dziesiątki, a trzecia za jedności. Po kolei będziemy dzielili, mnożyli i odejmowali, a następnie przepisywali do kolejnej kolumny (ryc. 7).
Metoda oparta na wielokrotnościach liczby
Metodę znalazłam w niemieckiej książce do nauki matematyki.
Poszczególne wielokrotności są dowolne, najlepiej jednak przyjąć zasadę, aby były jak największe.
Znalezione w sieci
Metoda ta (ryc. 8) jest kombinacją metod przedstawionych wcześniej.
Warto również poświęcić kilka minut lekcji i zapoznać uczniów z zasadami dzielenia przez 4 i 8 oraz przez 5. W niektórych przypadkach ułatwi im to dzielenie sposobem pisemnym albo pozwoli na jego uniknięcie. W dzieleniu przez 4 i 8 powinniśmy wykorzystać naturalną zasadę dzielenia na połowę/przez 2. Dzieci bez większych problemów dzielą w taki sposób nawet liczby trzycyfrowe. Wystarczy oswoić je z metodą dzielenia przez 4, czyli dzielenia dwa razy przez 2, a w przypadku dzielenia przez 8 należy trzykrotnie podzielić na połowę.
\(120 : 8\) to \(120 : 2 = 60\); \(60 : 2 = 30\); \(30 : 2 = 15\); czyli \(120 : 8 = 15\).
\(124 : 4 \) to \(124 : 2 = 62\); \(62 : 2 = 31\); czyli \(124 : 4 = 31\).
Na podobnej zasadzie opiera się czynność dzielenia przez 5. Wykorzystujemy tutaj dzielenie przez 10, co jest bardzo proste do opanowania dla uczniów. Wynik dzielenia przez 10 zwiększamy dwukrotnie i w ten sposób otrzymujemy wynik dzielenia przez 5.
\(120 : 5\) to \(120 : 10 = 12\); \(12 × 2 = 24\) czyli \(120 : 5 = 24\).
