Dołącz do czytelników
Brak wyników

O!kręgi rozwoju

19 lipca 2022

NR 56 (Lipiec 2022)

Trzy poziomy kształtowania umiejętności rozwiązywania równań w szkole podstawowej

0 38

Umiejętność rozwiązywania równań pierwszego stopnia z jedną niewiadomą jest jedną z tych ważnych umiejętności, którą uczeń powinien nabyć już w szkole podstawowej. Trudno bowiem wyobrazić sobie dalsze kształcenie matematyczne i rozwiązywanie wielu problemów matematycznych, fizycznych i chemicznych bez znajomości równań i sposobów ich rozwiązywania.

Z doświadczenia wiem, że czynność ta sprawia uczniom szkoły podstawowej wiele trudności. Część z nich bardzo szybko przyswaja sobie algorytm rozwiązywania równań liniowych, a część z nich ma z tym spore kłopoty. 

POLECAMY

Myślenie abstrakcyjne a rozwiązywanie równań

Ale nawet wśród tych uczniów, którzy bezbłędnie rozwiązują równania, znajdą się tacy, którzy na przykład nie rozumieją, dlaczego przenoszą liczbę z jednej strony równania na drugą ze zmienionym znakiem. Nie rozumieją oni idei rozwiązywania równań, jedynie wyuczyli się algorytmu i bezbłędnie wykonują jego kolejne kroki. Dlaczego tak się dzieje? Odpowiedzi na to pytanie można poszukać w teorii rozwoju J. Piageta, według której rozwój myślenia abstrakcyjnego u dzieci rozpoczyna się dopiero powyżej 12. roku życia. Wielu uczniów szkoły podstawowej, którzy pierwszy raz spotykają się z problemem równania i jego rozwiązania, jest jeszcze w fazie operacji konkretnych. Dostrzegają związki przyczynowo-skutkowe, ale nadal potrzebują odwoływania się do rzeczywistości, do konkretnych przykładów, aby móc uporać się z takim problemem, jakim jest rozwiązanie równania. Możemy im pomóc posiąść sztukę rozwiązywania równań, kształtując tę umiejętność z wykorzystaniem metody czynnościowej, w myśl której uczeń przejdzie drogę od konkretu, poprzez symbol, aż do operacji abstrakcyjnych. Rozpoczniemy od zadań kształtujących czynności konkretne, potem przejdziemy do zadań wykorzystujących symbole, a zakończymy zadaniami kształtującymi czynności wyobrażeniowe i abstrakcyjne.
Ważnym problemem pojawiającym się podczas kształtowania u uczniów umiejętności rozwiązywania równań jest zrozumienie odwrotności kolejności operacji. Uczniowie tak mocno są przywiązani do kolejności wykonywania działań podczas obliczania wartości wyrażenia arytmetycznego, że w przypadku rozwiązywania równań trudno im przestawić się na wykonywanie działań wstecz. Tutaj najlepiej jest odwołać się do ich doświadczeń z życia codziennego. Przykładowo, można przyrównać budowanie i rozwiązywanie równań do zakładania i sznurowania butów. Najpierw zakładamy buty, a potem je sznurujemy, ale gdy chcemy je zdjąć, to najpierw rozsznurowujemy, a potem zdejmujemy. I pokazujemy uczniom, że to samo dotyczy równań. Gdy chcemy zbudować równanie 2x + 5 = 9, to najpierw mnożymy x przez 2, a następnie dodajemy 5. Aby natomiast rozwiązać równanie, musimy cofnąć operacje, czyli najpierw pozbyć się liczby 5, a dopiero później pozbyć się liczby 2 wykonując odpowiednio operację przeciwną lub odwrotną. Można to uczniom uświadomić już podczas rozwiązywania równań na poziomie czynności konkretnych, czyli manipulowania fizycznymi przedmiotami. Warto im to również przypominać przy kształtowaniu umiejętności rozwiązywania równań na poziomie operacji na symbolach i na poziomie operacji abstrakcyjnych.
Kolejnym problemem jest również poprawne zrozumienie znaczenia znaku równości. Często problem ten pojawia się nie tylko w przypadku rozwiązywania równań, ale już podczas obliczania wartości wyrażeń arytmetycznych. Uczniowie, którzy nie rozumieją, że to, co znajduje się po lewej i prawej stronie znaku równości, jest równe co do wartości, będą mieć problem z rozwiązywaniem równań. Warto więc poświęcić chwilę i upewnić się, czy wszyscy uczniowie prawidłowo rozumieją znaczenie znaku równości.

Rozwijanie umiejętności rozwiązywania równań na poziomie operacji konkretnych

W pierwszym kroku wprowadzania uczniów w zagadnienie równania i jego rozwiązania mogą nam pomóc wirtualne wagi szalkowe. Uczniowie klas starszych szkoły podstawowej doskonale rozumieją, co to znaczy, że szalki wagi są lub nie są w równowadze. Wystarczy im uświadomić, że znak równości odpowiada równowadze szalek wagi. Proponuję, aby opracowywanie tego zagadnienia rozpocząć od budowania modeli równań na wirtualnej wadze szalkowej, korzystając z aplikacji online dostępnej na stronie: https://www.mathplayground.com/AlgebraEquations.html. Korzystając z odpowiednich przycisków na szalkach wagi (ryc. 1), uczniowie układają klocki o wartościach x, +1 i −1. Pozwoli im to lepiej zrozumieć pojęcie danej, niewiadomej i pojęcie samego równania.
 

Ryc. 1. Przyciski na szalkach wagi


 Po tej części zajęć można przejść do rozwiązywania równań na poziomie konkretu poprzez manipulowanie klockami znajdującymi się na wadze. Tutaj może nam pomóc wirtualna waga ze strony: https://www.mathsisfun.com/algebra/add-subtract-balance.html (ryc. 2). Uczniowie zauważają, że aby szalki wagi pozostały w równowadze, muszą tą samą wartość dołożyć lub odjąć z obu szalek. 
 

Ryc. 2. Wirtualna waga


Innym przykładem wirtualnej wagi jest aplikacja znajdująca się na stronie: http://www.hoodamath.com/games/algebrabalanceequations.html (ryc. 3). Kliknięcie na przycisk New Problem spowoduje wygenerowanie nowego równania, natomiast po kliknięciu w przycisk Continue uzyskujemy możliwość manipulowania klockami. Uczniowie mogą dodawać do obu stron i odejmować od obu stron równania taką samą wartości oraz mnożyć i dzielić obie strony równania przez tę samą liczbę. Oczywiście rozpoczynamy od rozwiązywania równań jednoetapowych, potem dwuetapowe, a kończymy na równaniach wieloetapowych. Zaletą tej aplikacji jest to, że jednocześnie pojawia się algebraiczny zapis kolejnych kroków rozwiązywania równania.
 

Ryc. 3. Aplikacja Hoodamath


Jeżeli w sali lekcyjnej mamy tylko komputer nauczycielski i ekran z rzutnikiem, to w danym momencie tylko jeden uczeń może manipulować klockami, a reszta będzie się przyglądać i ewentualnie podpowiadać. Znajdą się również uczniowie, którzy będą tylko biernymi odbiorcami tego, co dzieje się na lekcji. Lepiej byłoby, gdyby uczniowie przynajmniej w parach mogli mieli dostęp do komputera i mogli samodzielnie manipulować klockami i w ten sposób poszukiwać rozwiązania równania, bo tylko wtedy będziemy mieć pewność, że każdy z nich zrozumie ideę rozwiązywania równań.
Innym pomysłem na rozwijanie umiejętności rozwiązywania równań na konkretach może być wykorzystanie magnesów tablicowych w dwóch kolorach i dwóch kształtach, które będą reprezentować odpowiednio x, –x, 1 i –1 (ryc. 4). Korzystając z nich, uczniowie mogą zbudować dowolne równanie, a potem je rozwiązać. 
Uczniowie rozpoczynają pracę od zwizualizowania na tablicy za pomocą magnesów równania, które mają podane w postaci wzoru. Potem, manipulując magnesami, dochodzą do końcowego wyniku. Za każdym razem zapisują otrzymane równanie równoważne. Sposób wykonywania kolejnych kroków podczas rozwiązywania równań pokazuje ryc. 5. 
 

Ryc. 4. Równania z wykorzystaniem magnesów tablicowych


Magnesy umożliwiają rozwiązywanie równań poprzez manipulowanie nimi na tablicy. Uczniowie mogą natomiast przygotować własne podobne figury, za pomocą których mogą samodzielnie ułożyć równanie na ławce, a potem poprzez kolejne manipulacje doprowadzić do rozwiązania równania. Mogą to być kolorowe tekturowe prostokąty i koła. Mogą również w tym celu wykorzystać klocki Lego. Strona: https://www.nctm.org/Classroom-Resources/Illuminations/Interactives/Algebra-Tiles/ (ryc. 6) oferuje nam aktywność dla uczniów działającą na podobnej zasadzie.
 

Ryc. 5. Poszczególne kroki w rozwiązywan...

Pozostałe 70% treści dostępne jest tylko dla Prenumeratorów

Co zyskasz, kupując prenumeratę?
  • 6 wydań czasopisma "Matematyka"
  • Dostęp do wszystkich archiwalnych artykułów w wersji online
  • Możliwość pobrania materiałów dodatkowych, testów i zadań
  • ...i wiele więcej!
Sprawdź

Przypisy