Dołącz do czytelników
Brak wyników

Matematyka inaczej

18 marca 2019

NR 37 (Marzec 2019)

Wielościan 19 Trójścienny dwunastodwudziesto - dwunastościan

0 156

Kontynuujemy serię wielościanów jednorodnych. Dla przypomnienia – wielościany te powstają z wielościanów platońskich i archimedesowych przez konstruowanie ich przecięć takimi płaszczyznami, by te przekroje były wielokątami foremnymi niekoniecznie wypukłymi.

Gdy przekroje są wypukłe, wówczas powstają wielościany archimedesowe. Jednak ciekawszymi i trudniejszymi do wykonania są te, których przekroje są wielokątami wklęsłymi. Takich wielościanów jest 53, w tym jeden ma symetrię czworościenną, 10 – symetrię sześcienno-ośmiościenną, a pozostałe 42 
symetrię dwunastodwudziestościenną.
Obecnie omawiany wielościan jednorodny to dziewiętnasty z kolei i ósmy wielościan symetrii dwunastodwudziestościennej. Wyglądem swoim przypomina poprzedni wielościan – nr 18, wielki dwunastodwudziestościan. Posiada on 44 ściany trzech typów, 120 krawędzi dwojakiego rodzaju i 60 wierzchołków. Liczbę poszczególnych elementów proponuję sprawdzić Czytelnikowi po sklejeniu modelu tego wielościanu.
Jego struktura utworzona jest na bazie dwunastościanu foremnego, gdyż jego dwanaście dekagramicznych ścian (dziesięciokątów gwiaździstych) leży w płaszczyznach ścian tego wielościanu. Przy każdej z tych ścian znajduje się, podobnie jak w wielkim dwunastodwudziestościanie (wielościanie nr 18),
pięć zagłębień dwojakiego rodzaju. Jedne spajają trzy takie ściany, a drugie łączą dwie sąsiednie ściany. Zagłębienia te są jednak inne dla naszego wielościanu.
Aby lepiej poznać tę różnicę, przyjrzyjmy się obu wielościanom. Ryc. 1 prezentuje wielościan 18., a ryc. 2 wielościan – 19.
 

Ryc. 1 i 2

 


Wielościan 19. jest łatwiejszy do zaprojektowania w Sketch-Upie i do sklejenia jego modelu z kartonu.
Jego konstrukcję w programie SketchUp rozpoczynamy od dwunastościanu foremnego. W jednej z jego ścian wykreślamy dziesięciokąt foremny przez obrót tej ściany wokół jej środka o kąt o mierze 36º (ryc. 3), a następnie z niego tworzymy dziesięciokąt gwiaździsty – ryc. 4.
 

 

Ryc. 3 i 4


Dziesięciokąt gwiaździsty (dekagram) obracamy pięciokrotnie wokół osi prostopadłej do jednej z sąsiednich ścian, a potem kolejno powtarzamy tę czynność tak długo, aż dekagramy pojawią się na wszystkich ścianach dwunastościanu – ryc. 5.
Po usunięciu zbędnych odcinków w tej konstrukcji pojawia się klarowny obraz, w którym widać miejsca zagłębienia pierwszego i drugiego rodzaju – ryc. 6. Wykonamy je teraz, kreśląc odpowiednie odcinki stanowiące krawędzie wyciętych obszarów.

 

Ryc. 5 i 6


Ryc. 7 ilustruje odcinki, które należy wykonać, by utworzyć dwa sąsiednie zagłębienia pierwszego rodzaju, spajające trzy ściany dekagramiczne naszej bryły oraz jedno drugiego rodzaju, spajającego dwie ściany w środku ich wspólnej krawędzi. Odcinki te zaznaczone są pogrubioną linią koloru czarnego, czerwonego i niebieskiego. Po ich wykreśleniu na ekranie SketchUpa pojawią się automatycznie trójścienne zagłębienia – ryc. 7. Zagłębienia drugiego rodzaju tworzymy, łącząc ze sobą dwa wierzchołki wspólne dla dwóch trójkątów tworzących te zagłębienia – na rycinie 7 zaznaczono je kolorem czerwonym, a na rycinie 8 kolorem żółtym.

 

Ryc. 7 i 8


Po wykonaniu dwudziestu tych zagłębień w narożach dwunastościanu foremnego oraz trzydziestu rombowych zagłębień na krawędziach dwunastościanu otrzymamy wielościan przedstawiony na rycinie 8.
To jeszcze nie koniec. W trójściennych wgłębieniach tworzymy trójkąty równoboczne powstałe przez prz...

Pozostałe 70% treści dostępne jest tylko dla Prenumeratorów.

Co zyskasz, kupując prenumeratę?
  • 6 wydań czasopisma "Matematyka"
  • Dostęp do wszystkich archiwalnych artykułów w wersji online
  • Możliwość pobrania materiałów dodatkowych, testów i zadań
  • ...i wiele więcej!
Sprawdź

Przypisy