Gdy przekroje są wypukłe, wówczas powstają wielościany archimedesowe. Jednak ciekawszymi i trudniejszymi do wykonania są te, których przekroje są wielokątami wklęsłymi. Takich wielościanów jest 53, w tym jeden ma symetrię czworościenną, 10 – symetrię sześcienno-ośmiościenną, a pozostałe 42
symetrię dwunastodwudziestościenną.
Obecnie omawiany wielościan jednorodny to dziewiętnasty z kolei i ósmy wielościan symetrii dwunastodwudziestościennej. Wyglądem swoim przypomina poprzedni wielościan – nr 18, wielki dwunastodwudziestościan. Posiada on 44 ściany trzech typów, 120 krawędzi dwojakiego rodzaju i 60 wierzchołków. Liczbę poszczególnych elementów proponuję sprawdzić Czytelnikowi po sklejeniu modelu tego wielościanu.
Jego struktura utworzona jest na bazie dwunastościanu foremnego, gdyż jego dwanaście dekagramicznych ścian (dziesięciokątów gwiaździstych) leży w płaszczyznach ścian tego wielościanu. Przy każdej z tych ścian znajduje się, podobnie jak w wielkim dwunastodwudziestościanie (wielościanie nr 18),
pięć zagłębień dwojakiego rodzaju. Jedne spajają trzy takie ściany, a drugie łączą dwie sąsiednie ściany. Zagłębienia te są jednak inne dla naszego wielościanu.
Aby lepiej poznać tę różnicę, przyjrzyjmy się obu wielościanom. Ryc. 1 prezentuje wielościan 18., a ryc. 2 wielościan – 19.
POLECAMY
Wielościan 19. jest łatwiejszy do zaprojektowania w Sketch-Upie i do sklejenia jego modelu z kartonu.
Jego konstrukcję w programie SketchUp rozpoczynamy od dwunastościanu foremnego. W jednej z jego ścian wykreślamy dziesięciokąt foremny przez obrót tej ściany wokół jej środka o kąt o mierze 36º (ryc. 3), a następnie z niego tworzymy dziesięciokąt gwiaździsty – ryc. 4.
Dziesięciokąt gwiaździsty (dekagram) obracamy pięciokrotnie wokół osi prostopadłej do jednej z sąsiednich ścian, a potem kolejno powtarzamy tę czynność tak długo, aż dekagramy pojawią się na wszystkich ścianach dwunastościanu – ryc. 5.
Po usunięciu zbędnych odcinków w tej konstrukcji pojawia się klarowny obraz, w którym widać miejsca zagłębienia pierwszego i drugiego rodzaju – ryc. 6. Wykonamy je teraz, kreśląc odpowiednie odcinki stanowiące krawędzie wyciętych obszarów.
Ryc. 7 ilustruje odcinki, które należy wykonać, by utworzyć dwa sąsiednie zagłębienia pierwszego rodzaju, spajające trzy ściany dekagramiczne naszej bryły oraz jedno drugiego rodzaju, spajającego dwie ściany w środku ich wspólnej krawędzi. Odcinki te zaznaczone są pogrubioną linią koloru czarnego, czerwonego i niebieskiego. Po ich wykreśleniu na ekranie SketchUpa pojawią się automatycznie trójścienne zagłębienia – ryc. 7. Zagłębienia drugiego rodzaju tworzymy, łącząc ze sobą dwa wierzchołki wspólne dla dwóch trójkątów tworzących te zagłębienia – na rycinie 7 zaznaczono je kolorem czerwonym, a na rycinie 8 kolorem żółtym.
Po wykonaniu dwudziestu tych zagłębień w narożach dwunastościanu foremnego oraz trzydziestu rombowych zagłębień na krawędziach dwunastościanu otrzymamy wielościan przedstawiony na rycinie 8.
To jeszcze nie koniec. W trójściennych wgłębieniach tworzymy trójkąty równoboczne powstałe przez przekrój naszej bryły płaszczyznami przechodzącymi przez trzy wierzchołki wspólne dla każdej pary wybranej z trzech pentagramicznych ścian. Na rycinie 9 widać jeden z tych przekrojów w postaci trójkąta równobocznego. Do tego trójkąta należy też mały niebieski trójkącik znajdujący się na „dnie” trójściennego zagłębienia. W ten sposób powstaje nasz wielościan – trójścienny dwunastodwudziestodwunastościan.
Łatwo przewidzieć wygląd segmentów siatki tego wielościanu. Należą do nich niewątpliwie dekagram (jest ich łącznie 12), dwa trójkąty równoboczne o wspólnej krawędzi (jest ich łącznie 30) oraz siatka zagłębienia wraz z trójkątem równobocznym (potrzeba ich 20 sztuk). Siatkę ilustruje rycina 10. Wystarczy powielić ją na twardszym arkuszu bristolu i dokładnie skleić.
Ciekaw jestem, kto z naszych Czytelników skleił już samodzielnie lub z grupą swoich uczniów i ile wielościanów z tych, które dotychczas ukazały się w czasopiśmie „Matematyka”? Ukazało się ich już 18.
Mam zamiar zorganizować w niedalekiej przyszłości konkurs na sklejoną kolekcję wielościanów jednorodnych, na razie komplet jedenastu wielościanów symetrii sześcienno-ośmiościennej. Za jakiś czas kilkunastu następnych. Dokładne instrukcje techniczne będą ustalone i ogłoszone w odpowiednim czasie.
Dla zachęty zamieszczam zdjęcie 43 wielościanów, które skleiła pod moim kierunkiem grupa uczniów z XX Liceum Ogólnokształcącego w Krakowie przez ostatnie trzy lata.
Wielościany te były pokazane na II Kongresie dla nauczycieli matematyki w Warszawie, organizowanym przez redakcję czasopisma „Matematyka”, oraz na Konferencji „Matematyka bez granic”, zorganizowanej w czerwcu 2018 r. przez Białostocki Oddział Polskiego Towarzystwa Matematycznego.
Ambicją wspomnianej grupy uczniów XX LO w Krakowie i ich opiekunki – nauczycielki matematyki, mgr Iwony Sitnik – jest zakończenie całej kolekcji na uroczystość uczczenia 100-lecia istnienia Polskiego Towarzystwa Matematycznego, które będzie miało miejsce w pierwszych dniach września 2019 r. w Krakowie.
