Artykuł napisany jest w formie konspektu, który nauczyciel może potraktować jako temat rozszerzający wiedzę matematyczną ucznia. Z własnego doświadczenia stwierdzam, że studenci w USA z grupy wiekowej odpowiadającej klasie II lub III polskiego liceum są bardzo zainteresowani tą lekcją i aktywnie biorą w niej udział. Jako pomoc dydaktyczną wykorzystamy symulacje wykresów paraboli dostępną również w języku polskim na //phet.colorado.edu/en/simulations/translated/pl (szukaj Equation Grapher lub Kreator Wykresu Równania). Zastosowanie graficznych obrazów do zilustrowania abstrakcyjnych pojęć matematycznych wychodzi naprzeciw zaleceniom współczesnej dydaktyki matematyki1.
POLECAMY
Ogólna charakterystyka lekcji
Lekcja jest tak skonstruowana, by miała charakter odkrywczy. Uczeń będzie poznawał możliwości policzenia granic i jednocześnie będzie przekonywany, że znajomość granic będzie pomagała mu w poszerzeniu wiedzy o funkcji. Biorąc pod uwagę obecny program nauczania matematyki, wydaje się, że realizacja tej lekcji jako rozszerzającej wiedzę o funkcjach kwadratowych, przy jednoczesnym zapoznaniu ucznia z technikami oszacowania granic funkcji, jest adekwatna2. Wymagane byłoby, aby uczeń znał ogólne podstawy własności funkcji kwadratowych i znał pojęcie granicy funkcji w nieskończoności (dla funkcji liniowych), którą omawialiśmy w poprzednim numerze „Matematyki”.
Cele lekcji
Wprowadzenie pojęcia granic na podstawie funkcji wielowymiarowych może służyć osiągnięciu wielu pedagogicznych i dydaktycznych celów, z których nadrzędnymi są zainteresowanie uczniów kontynuowaniem poznawania wyższej matematyki i jednocześnie przygotowywanie ich do wymogów egzaminów maturalnych. Poprzez zapoznanie się z techniką szacowania granic funkcji uczeń jednocześnie wzbogaci zbiór matematycznych narzędzi do określenia:
- położenia paraboli w układzie współrzędnych,
- znaku parametru a paraboli,
- wartości ekstremalnej funkcji (jej maksymalnej lub minimalnej wartości),
- charakterystyki wklęsłości funkcji.
Czy te cele mogą być osiągnięte? Niewątpliwie tak, ale trudno ten wynik ocenić natychmiastowo. Na pewno warto próbować i podejmować różne kroki, by ułatwiać uczniom przyswajanie abstrakcyjnej wiedzy matematycznej.
Treść lekcji
Przypominamy uczniom istotę i cel policzenia granicy dla funkcji liniowych i nawiązujemy do funkcji kwadratowych. Czy idea granicy może być pomocna do opisu lub w konsekwencji również do rysowania funkcji kwadratowych? Z pewnością tak. Jeśli dana funkcja jest określona dla x →∞ i dla x →−∞, to jej granice i położenie na końcach tych przedziałów też mogą być oszacowane. Spróbujmy przenieść poznaną wcześniej (dla funkcji liniowych) technikę znajdowania granic funkcji z wykresów na funkcje kwadratowe.
Znajdowanie granic funkcji kwadratowych z wykresu
Otwieramy symulacje3 (ryc. 1), wpisujemy liczbowe wartości dla parametrów a, b i c (podane po prawej stronie rycin) do ogólnej postaci funkcji kwadratowej i szacujemy wskazane granice, najpierw pytając uczniów o ich sugestie i dopiero potem potwierdzając ich przypuszczenia. Sugerowane wykresy są typowymi przypadkami położenia funkcji kwadratowych w XY współrzędnych. Nauczyciel demonstruje uczniom te wykresy, zaczynając od przypadku A, i zapisuje na tablicy wartości granic. Aby skupić uwagę uczniów na istocie granic, a nie na algebraicznej postaci funkcji, funkcje te nazywamy ogólnie f(x). Przypominamy uczniom, że granica funkcji określa położenie rzędnych wykresu dla wskazanych x-wartości. W następnej fazie lekcji będziemy używać algebraiczne reprezentacje funkcji.
Aby bardziej przekonać uczniów o celach poznawania granic, nawiązujemy w tym miejscu do znaku współczynnika paraboli i pytamy ich, czy dostrzegają pewną korelację pomiędzy wartościami granic i znakami tego współczynnika albo pomiędzy wartościami granic i kierunkiem, w którym ramiona paraboli są otwarte. Jest ewidentne, że korelacje takowe istnieją i uczniowie je dostrzegą:
- Jeśli \(\lim_{x\rightarrow \infty } \left ( x \right )= -\infty \)oraz \(\lim_{x\rightarrow -\infty } \left ( x \right )= -\infty \) , to ramiona paraboli są skierowane w dół i współczynnik a paraboli przybiera ujemną wartość (a < 0);
- Jeśli \(\lim_{x\rightarrow \infty } \left ( x \right )= \infty\)oraz \(\lim_{x\rightarrow -\infty } \left ( x \right )= \infty \) , to ramiona paraboli są skierowane w górę i współczynnik a paraboli przybiera dodatnią wartość (a > 0).
Możemy w tym miejscu nawiązać również do warunku, na podstawie którego oceniamy, czy funkcja kwadratowa osiąga maksymalną lub minimalną wartość.
Uczniowie zauważą, że:
- Jeśli,\(\lim_{x\rightarrow +-\infty } \left ( x \right )= \infty \) , to funkcja osiąga minimalną wartość równą wartości rzędnej jej wierzchołka;
- Jeśli, \(\lim_{x\rightarrow +-\infty } \left ( x \right )= -\infty \), to funkcja osiąga maksymalną wartość równą wartości rzędnej jej wierzchołka.
Powyższe wnioski powinny jeszcze bardziej przekonać uczniów, że granice służą do zdobycia głębszej wiedzy o funkcji. Jest ważne, byśmy zwrócili uwagę, czy uczniowie rozumieją te związki. Nie musimy więc np. wymagać, by korelacja pomiędzy znakiem współczynnika a i kierunkiem otwarcia paraboli była zapamiętywana. Wystarczy pamiętać o granicach funkcji i ich interpretacji oraz zastosować proces policzenia granic. Informacje o geometrycznych właściwościach paraboli mogą być pobrane przy interpretowaniu wyniku granic. Uczniowie bardzo aprobują ten wniosek. Powyższe odkrycie może być również dokonane podczas rysowania i analizy funkcji wielomianowych. Mając opanowaną wizualną technikę znajdowania granic, możemy przejść do algebraicznego ich liczenia. W tym celu musimy przypomnieć ideę wyrazu dominującego funkcji.
Znaczenie wyrazu dominującego
Nawiązujemy tu do poprzednich rozważań (poprzedni numer „Matematyki”) i próbujemy (razem z uczniami) określić wyraz dominujący dla funkcji kwadratowych. Korzystamy tu znowu z symulacji; komponujemy funkcję (np. f(x) = 3x2 + 4x − 2) i pytamy uczniów: który jej wyraz nazwiemy wyrazem dominującym jej wartość dla x → ±∞? Przypominamy, że wyraz dominujący jest tym wyrazem, który ma największy wpływ na wartość funkcji i tym samym na jej granice na krańcach osi liczbowej. Referując do poprzedniej lekcji, uczniowie zauważą, że tym wyrazem jest 3x2. Spróbujmy udowodnić te przypuszczenia, korzystając z symulacji. W tym celu pokazujemy uczniom sekwencję wykresów tej funkcji, redukując po kolei jej wyrazy (ryc. 2) i jednocześnie pytając uczniów, czy granice tej funkcji pozostają niezmienne. Uczniowie zauważą, że te granice na krańcach osi x nie zmieniają się, a zmianie ulegają miejsca, gdzie funkcja przecina oś x i y. Zapisujemy te wnioski na tablicy (ryc. 2 A,B,C).
Zapisujemy otrzymane spostrzeżenia jako „Tylko wyraz dominujący funkcji wpływa na wartości granic funkcji w plus i minus nieskończoności”. Pytamy ponownie: jak scharakteryzować wyraz dominujący? Uczniowie zauważą, że wyraz dominujący to ten, który zawiera zmienną o najwyższym wykładniku. Ważne jest więc, by wiedzieć, jak ten wyraz znaleźć, kiedy funkcja podana jest w postaci algebraicznej. Nawiązujemy, że podobny wniosek odnośnie do właściwości wyrazu dominującego osiągnęliśmy podczas analizy funkcji liniowych. Referowanie do poprzednich lekcji zapewni ciągłość wiedzy i ułatwi uczniom jej przyswojenie4.
Znajdowanie granic funkcji kwadratowych podanych w postaci algebraicznej
Jak znaleźć granice funkcji, kiedy funkcja jest podana w postaci algebraicznej? Aby to osiągnąć, wyraz dominujący (nazwijmy go WD) musi być znaleziony i – korzystając z jego formy – granica funkcji może być policzona. Rozumiejąc istotę WD, uczniowie są gotowi poznać algebraiczny proces znajdowania granic. Proponuję, by zapoznać uczniów z tym procesem najpierw na przykładach funkcji podanych w postaci ogólnej, później w formie iloczynu czynników i następnie w postaci kanonicznej. Ta sekwencja pozwoli na stopniowanie trudności metody znalezienia WD i ułatwi uczniom jej zapamiętanie.
Należałoby podkreślić, że oszacowania granicy funkcji poprzez analizę jej WD można stosować tylko wtedy, kiedy mamy do czynienia z obliczaniem granic dla x → ±∞ (uczniowie czasami mylnie stosują tę metodę do obliczania granic funkcji w określonym punkcie).
- Znajdowanie granicy, kiedy funkcja jest podana w formie ogólnej
Piszemy polecenie: „Znajdź granicę funkcji f(x) = 3 + 4x2 − 2x dla bardzo dużych i dodatnich wartości x”. Najpierw musimy zapisać to polecenie, używając notacji granicy, czyli \(\lim_{x\rightarrow \infty } \left ( 3+4x^{2}-2x\right )\) . Zwracamy dalej uwagę uczniów na zidentyfikowanie WD, którym jest 4x^2. Tak więc funkcja ta przyjmuje postać \(\lim_{x\rightarrow \infty } \left (4x^{2}\right )\). Podstawiając myślowo dużą wartość za x, otrzymamy \(\lim_{x\rightarrow \infty } \left (4x^{2}\right )= \infty\). Zatem granica funkcji f(x) = 3 + 4x2 − 2x dla bardzo dużych i dodatnich wartości x jest wielkością bardzo dużą i dodatnią (nieskończoność). Podkreślamy, że granica funkcji nie zawsze musi być konkretną liczbą. - Znajdowanie granicy, kiedy funkcja jest podana jako iloczyn czynników
Piszemy polecenie: „Znajdź granice funkcji f(x) = − (−x + 2)(x − 4) dla bardzo dużych i ujemnych wartości x”. Zapisując to polecenie przy wykorzystaniu operacji granicy, otrzymujemy \(\lim_{x\rightarrow \infty } \left (-)(-x+2)(x-4\right )\). Podobnie jak w poprzednim przykładzie, tu również musimy zidentyfikować WD. Uczniowie będą prawdopodobnie sugerować, by w tym celu przekształcić tę formę do formy podstawowej poprzez przemnożenie tych czynników i wtedy znaleźć ten wyraz. Zgadzamy się z tą sugestią, ale podsuwamy inną, szybszą metodę. WD możemy mianowicie znaleźć poprzez przemnożenie wyrazów dominujących wewnątrz każdego czynnika, włączając w to mnożenie znak minus, który jest przed nawiasami. W myśl tego postać funkcji do oszacowania tej granicy przybiera formę \(\lim_{x\rightarrow \infty } \left (-)(-x)(x\right )= \lim_{x\rightarrow \infty } \left (x^{2}\right )\). Podstawiając myślowo wartość dużą i ujemną za x, otrzymujemy \(\lim_{x\rightarrow \infty } \left (x^{2}\right )= \infty\).
Stwierdzamy, że granicą funkcji f(x) = −(−x + 2)(x − 4) dla bardzo dużych i ujemnych wartości x jest nieskończoność. W celu upewnienia się możemy zachęcić uczniów, by sprawdzili, czy ich sugestia znalezienia WD przyniesie ten sam wynik. - Znajdowanie granicy, kiedy funkcja jest podana w formie kanonicznej
Piszemy polecenie: „Znajdź granice funkcji f(x) = −(x − 2)2 + 5 dla bardzo dużych i dodatnich wartości x”. Zapisując tę operację przy wykorzystaniu granicy, otrzymujemy \(\lim_{x\rightarrow \infty } \left (-(x-2)^{2}+5\right )= \infty\). Jak zidentyfikować WD? Uczniowie będą sugerować, by zmienić tę postać do podstawowej i wtedy znaleźć WD. Zgadzamy się z tą sugestią, ale również w tym przypadku podsuwamy inną i szybszą metodę. WD, podobnie jak w przykładzie B, będzie wyraz otrzymany z przemnożenia wyrazów dominujących wewnątrz każdego czynnika, włączając w to mnożenie znak minus przed nawiasem, tak więc \(\lim_{x\rightarrow \infty } \left (-)(x)(x\right )= \lim_{x\rightarrow \infty } \left (-x^{2}\right ) = -\infty \). Możemy w tym miejscu napisać na tablicy więcej przykładów, z mieszanymi formami, i zadać uczniom, by policzyli te granice. Jeśli okaże się, że uczniowie nie są pewni, jak te procesy stosować, wspólnie z nimi liczymy te granice.
