Dołącz do czytelników
Brak wyników

Koło matematyczne

6 lutego 2019

NR 36 (Styczeń 2019)

Wprowadzenie pojęcia granicy jako narzędzia do analizowania funkcji
Przykład Funkcji Kwadratowych

0 192

Artykuł jest kontynuacją wprowadzenia pojęcia granicy jako narzędzia do analizowania funkcji wielomianowych, która była zapoczątkowana w poprzednim numerze „Matematyki”. I tak jak poprzednio skupiliśmy się na szczegółach wprowadzenia granicy funkcji do uczniowskiego słownika pojęć matematycznych na podstawie funkcji liniowych, tak ten artykuł poświęcony jest wykorzystaniu granic do analizowania funkcji kwadratowych.

Artykuł napisany jest w formie konspektu, który nauczyciel może potraktować jako temat rozszerzający wiedzę matematyczną ucznia. Z własnego doświadczenia stwierdzam, że studenci w USA z grupy wiekowej odpowiadającej klasie II lub III polskiego liceum są bardzo zainteresowani tą lekcją i aktywnie biorą w niej udział. Jako pomoc dydaktyczną wykorzystamy symulacje wykresów paraboli dostępną również w języku polskim na //phet.colorado.edu/en/simulations/translated/pl (szukaj Equation Grapher lub Kreator Wykresu Równania). Zastosowanie graficznych obrazów do zilustrowania abstrakcyjnych pojęć matematycznych wychodzi naprzeciw zaleceniom współczesnej dydaktyki matematyki1.

Ogólna charakterystyka lekcji

Lekcja jest tak skonstruowana, by miała charakter odkrywczy. Uczeń będzie poznawał możliwości policzenia granic i jednocześnie będzie przekonywany, że znajomość granic będzie pomagała mu w poszerzeniu wiedzy o funkcji. Biorąc pod uwagę obecny program nauczania matematyki, wydaje się, że realizacja tej lekcji jako rozszerzającej wiedzę o funkcjach kwadratowych, przy jednoczesnym zapoznaniu ucznia z technikami oszacowania granic funkcji, jest adekwatna2. Wymagane byłoby, aby uczeń znał ogólne podstawy własności funkcji kwadratowych i znał pojęcie granicy funkcji w nieskończoności (dla funkcji liniowych), którą omawialiśmy w poprzednim numerze „Matematyki”.

Cele lekcji

Wprowadzenie pojęcia granic na podstawie funkcji wielowymiarowych może służyć osiągnięciu wielu pedagogicznych i dydaktycznych celów, z których nadrzędnymi są zainteresowanie uczniów kontynuowaniem poznawania wyższej matematyki i jednocześnie przygotowywanie ich do wymogów egzaminów maturalnych. Poprzez zapoznanie się z techniką szacowania granic funkcji uczeń jednocześnie wzbogaci zbiór matematycznych narzędzi do określenia:

  1. położenia paraboli w układzie współrzędnych,
  2. znaku parametru a paraboli,
  3. wartości ekstremalnej funkcji (jej maksymalnej lub minimalnej wartości),
  4. charakterystyki wklęsłości funkcji.

Czy te cele mogą być osiągnięte? Niewątpliwie tak, ale trudno ten wynik ocenić natychmiastowo. Na pewno warto próbować i podejmować różne kroki, by ułatwiać uczniom przyswajanie abstrakcyjnej wiedzy matematycznej.

Treść lekcji

Przypominamy uczniom istotę i cel policzenia granicy dla funkcji liniowych i nawiązujemy do funkcji kwadratowych. Czy idea granicy może być pomocna do opisu lub w konsekwencji również do rysowania funkcji kwadratowych? Z pewnością tak. Jeśli dana funkcja jest określona dla x →∞ i dla x →−∞, to jej granice i położenie na końcach tych przedziałów też mogą być oszacowane. Spróbujmy przenieść poznaną wcześniej (dla funkcji liniowych) technikę znajdowania granic funkcji z wykresów na funkcje kwadratowe.

Znajdowanie granic funkcji kwadratowych z wykresu

Otwieramy symulacje3 (ryc. 1), wpisujemy liczbowe wartości dla parametrów a, b i c (podane po prawej stronie rycin) do ogólnej postaci funkcji kwadratowej i szacujemy wskazane granice, najpierw pytając uczniów o ich sugestie i dopiero potem potwierdzając ich przypuszczenia. Sugerowane wykresy są typowymi przypadkami położenia funkcji kwadratowych w XY współrzędnych. Nauczyciel demonstruje uczniom te wykresy, zaczynając od przypadku A, i zapisuje na tablicy wartości granic. Aby skupić uwagę uczniów na istocie granic, a nie na algebraicznej postaci funkcji, funkcje te nazywamy ogólnie f(x). Przypominamy uczniom, że granica funkcji określa położenie rzędnych wykresu dla wskazanych x-wartości. W następnej fazie lekcji będziemy używać algebraiczne reprezentacje funkcji.

Ryc. 1. Znajdowanie granic funkcji z wykresów2


Aby bardziej przekonać uczniów o celach poznawania granic, nawiązujemy w tym miejscu do znaku współczynnika paraboli i pytamy ich, czy dostrzegają pewną korelację pomiędzy wartościami granic i znakami tego współczynnika albo pomiędzy wartościami granic i kierunkiem, w którym ramiona paraboli są otwarte. Jest ewidentne, że korelacje takowe istnieją i uczniowie je dostrzegą:

  1. Jeśli  \(\lim_{x\rightarrow \infty } \left ( x \right )= -\infty \)oraz \(\lim_{x\rightarrow -\infty } \left ( x \right )= -\infty \) , to ramiona paraboli są skierowane w dół i współczynnik a paraboli przybiera ujemną wartość (a < 0);
  2. Jeśli  \(\lim_{x\rightarrow \infty } \left ( x \right )= \infty\)oraz \(\lim_{x\rightarrow -\infty } \left ( x \right )= \infty \) , to ramiona paraboli są skierowane w górę i współczynnik a paraboli przybiera dodatnią wartość (a > 0).

Możemy w tym miejscu nawiązać również do warunku, na podstawie którego oceniamy, czy funkcja kwadratowa osiąga maksymalną lub minimalną wartość. 
Uczniowie zauważą, że:

  1. Jeśli,\(\lim_{x\rightarrow +-\infty } \left ( x \right )= \infty \) , to funkcja osiąga minimalną wartość równą wartości rzędnej jej wierzchołka;
  2. Jeśli, \(\lim_{x\rightarrow +-\infty } \left ( x \right )= -\infty \), to funkcja osiąga maksymalną wartość równą wartości rzędnej jej wierzchołka.

Powyższe wnioski powinny jeszcze bardziej przekonać uczniów, że granice służą do zdobycia głębszej wiedzy o funkcji. Jest ważne, byśmy zwrócili uwagę, czy uczniowie rozumieją te związki. Nie musimy więc np. wymagać, by korelacja pomiędzy znakiem współczynnika a i kierunkiem otwarcia paraboli była zapamiętywana. Wystarczy pamiętać o granicach funkcji i ich interpretacji oraz zastosować proces policzenia granic. Informacje o geometrycznych właściwościach paraboli mogą być pobrane przy interpretowaniu wyniku granic. Uczniowie bardzo aprobują ten wniosek. Powyższe odkrycie może być również dokonane podczas rysowania i analizy funkcji wielomianowych. Mając opanowaną wizualną technikę znajdowania granic, możemy przejść do algebraicznego ich liczenia. W tym celu musimy przypomnieć ideę wyrazu dominującego funkcji.

Ryc. 2A–C. Istota wyrazu dominującego dla funkcji kwadratowych

Znaczenie wyrazu dominującego

Nawiązujemy tu do poprzednich rozważań (poprzedni numer „Matematyki”) i próbujemy (razem z uczniami) określić wyraz dominujący dla funkcji kwadratowych. Korzystamy tu znowu z symulacji; komponujemy funkcję (np. f(x) = 3x2 + 4x − 2) i pytamy uczniów: który jej wyraz nazwiemy wyrazem dominującym jej wartość dla x → ±∞? Przypominamy, że wyraz dominujący jest tym wyrazem, który ma największy wpływ na wartość funkcji i tym samym na jej granice na krańcach osi liczbowej. Referując do poprzedniej lekcji, uczniowie zauważą, że tym wyrazem jest 3x2. Spróbujmy udowodnić te przypuszczenia, korzystając z symulacji. W tym celu pokazujemy uczniom sekwencję wykresów tej funkcji,...

Pozostałe 70% treści dostępne jest tylko dla Prenumeratorów.

Co zyskasz, kupując prenumeratę?
  • 6 wydań czasopisma "Matematyka"
  • Dostęp do wszystkich archiwalnych artykułów w wersji online
  • Możliwość pobrania materiałów dodatkowych, testów i zadań
  • ...i wiele więcej!
Sprawdź

Przypisy