Jedenastościan dwusymetryczny
Wielościan z jedenastoma ścianami i jedenastoma wierzchołkami, zwany z greckiego hendecahedronem (henda = 11, hedron = ściana), ma dwie płaszczyzny symetrii (ryc. 1), stąd nazywamy go dwusymetrycznym. Jego ściany to dwie większe i dwie mniejsze ściany rombowe, których boki odpowiadają bokom kwadratowej ściany. Ponadto wyróżniamy cztery przystające trójkąty równoboczne, stykające się wierzchołkami przy kątach prostych i cztery przystające ściany w kształcie „latawców”.
Sklejenie tego wielościanu w oparciu o siatkę wykonaną w programie CABRI II lub GeoGebra (ryc. 2) nie powinno sprawić trudności Pamiętajmy tylko, że ostatnią ścianą naklejaną na patki jest ta, która nie posiada patek i jest powierzchniowo najmniejsza.
Sklejamy komplet czterech takich jedenastościanów i układamy je w kształcie sześciobocznej łódki, która tworzy zamkniętą warstwę. Taka pojedyncza warstwa jest „jednostką przesunięcia” i służy do tworzenia regularnej kraty wypełniającej przestrzeń bez obrotu i symetrii płaszczyznowej. Ryciny 3 i 4 są fotografiami wielościanów wykonanymi przez autora.
POLECAMY
Kolejną warstwę układamy prostopadle do poprzedniej i następne kolejno na przemian. Aby wykonać jedenastościan dwusymetryczny w programie geometrii dynamicznej (CABRI 3D lub GeoGebrze), wystarczy znać współrzędne jego wierzchołków. Następnie, stosując makrokonstrukcję pkt3D.mac, tworzymy je na ekranie i – łącząc odcinkami – uzyskamy wielościan, który możemy oglądać ze wszystkich stron (ryc. 5).
Oto rzut krawędziowy tego wielościanu i tabela współrzędnych jego wierzchołków (ryc. 6 i 7).
Jedenastościan klinowy
Kolejny wielościan, którym można wypełnić przestrzeń 3D, swym kształtem przypomina klin, ale – podobnie jak poprzedni – składa się z jedenastu ścian i jedenastu wierzchołków. Wśród ścian wyróżniamy trzy pary deltoidów różnych wielkości, dwie pary trójkątów równoramiennych i jeden kwadrat.
Bryła ma jedną płaszczyznę symetrii, zawierającą jedną z przekątnych kwadratu i wysokości wszystkich trójkątów równoramiennych (ryc. 8).
Siatka tego wielościanu (ryc. 9) nie jest trudna do wykonania. Najlepiej posłużyć się programem CABRI, gdyż tutaj uzyskamy maksymalną dokładność konstrukcji, co umożliwi później dopasowanie odpowiednich elementów do siebie
i zachowanie kątów dwuściennych.
W dalszej części podane są współrzędne wierzchołków tego wielościanu, więc wstawiając je odpowiednio do wzoru na odległość dwóch punktów w przestrzeni, można dokładnie wyznaczyć długości krawędzi oraz przekątnych ścian. Przenosząc te miary cyrklem w programie CABRI, otrzymujemy siatkę wykonaną z dużą dokładnością.
Sześć jedenastościanów klinowych można ułożyć w formę o kształcie kwiatu. Podobnie jak poprzednio, takie formy kwiatowe układamy obok siebie, a następnie na ułożonej już warstwie kładziemy kolejne jedenastościany.
Składając ze sobą jedenastościany klinowe, układamy je tak, by przylegały do siebie trójkątnymi ścianami. Patrząc od zewnętrznej strony, powinny pojawiać się na przemian kwadrat i małe trójkąty – ryc. 12.
Obracający się na ekranie komputera jedenastościan klinowy można skonstruować w CABRI, korzystając ze współrzędnych jego wierzchołków (ryc. 13). Tak wykonana konstrukcja umożliwia obracanie wielościanu (suwaki P i M na ryc. 14) i zmianę jego wielkości (punkt „skala”).
Wklęsły dwunastoośmiościan rombowy
To już ostatni wielościan wypełniający sobą przestrzeń 3D. Utwórzmy w sześcianie sześć ostrosłupów, których podstawami są ściany sześcianu, a wierzchołek jest środkiem jego symetrii (ryc. 15).
Jeśli tak utworzone ostrosłupy wyciągniemy z wnętrza sześcianu (ryc. 16) i dokleimy je na zewnątrz jego ścian, to otrzymamy wielościan, w którym trójkątne ściany ostrosłupów znajdą się w jednej płaszczyźnie, tworząc ściany rombowe tego wielościanu (ryc. 17). Jest ich 12, skąd nazwa wielościanu – dwunastościan rombowy.
Jeśli teraz odkleimy dwa przeciwległe ostrosłupy dwunastościanu rombowego (na ryc. 18 przedni i tylny) i wkleimy je do jego wnętrza, wówczas otrzymamy wielościan zwany wklęsłym dwunastoośmiościanem (ryc. 17), z uwagi na 12 ścian „wypukłych” (8 rombów i 4 trójkąty) i 8 ścian trójkątnych, wklęśniętych do środka wielościanu.
Wielościan ten można otrzymać również przez sklejenie par ostrosłupów podstawami, tak jak to przedstawia ryc. 19.
Konstrukcję tego wielościanu w programie CABRI można wykonać na bazie sześcianu bądź też na podstawie znajomości współrzędnych jego wierzchołków.
Dobrym jednak ćwiczeniem na kształcenie wyobraźni jest wykonanie jej na bazie sześcianu przy użyciu programu CABRI. Widać wówczas wyraźnie wypukłości i wklęsłości bryły – ryc. 20.
Współrzędne wierzchołków przedstawiono na ryc. 21, zaś gotową konstrukcję w CABRI II – ryc. 22.
A teraz wykonajmy model tego wielościanu. W tym celu skonstruujmy najpierw jego siatkę. Po jej wycięciu sklejamy najpierw wklęśnięte ściany wielościanu, zakreskowane szarym kolorem, a następnie ściany zewnętrzne. To ułatwi prawidłowe wykonanie modelu. Pamiętajmy, aby jako ostatnią ścianę przykleić trójkąt bez zakładek (ryc. 23).
Ryciny 24, 25, 26 i 27 ilustrują sposób wypełniania przestrzeni dwunastoośmiościanami rombowymi wykonanymi przez autora.
