Dołącz do czytelników
Brak wyników

Matematyka inaczej

2 sierpnia 2018

NR 33 (Lipiec 2018)

Wypełnianie przestrzeni

0 10

Oprócz znanych sposobów wypełniania przestrzeni przystającymi wielościanami, czyli sześcianami, ośmiościanami ściętymi i dwunastościanami rombowymi, na uwagę zasługują odkryte niedawno i opublikowane przez Guy’a Inchbalda układy wielościanów, które mimo swej nieregularności wypełniają przestrzeń. Należą do nich dwa wypukłe i jeden wklęsły wielościan.

Jedenastościan dwusymetryczny

Wielościan z jedenastoma ścianami i jedenastoma wierzchołkami, zwany z greckiego hendecahedronem (henda = 11, hedron = ściana), ma dwie płaszczyzny symetrii (ryc. 1), stąd nazywamy go dwusymetrycznym. Jego ściany to dwie większe i dwie mniejsze ściany rombowe, których boki odpowiadają bokom kwadratowej ściany. Ponadto wyróżniamy cztery przystające trójkąty równoboczne, stykające się wierzchołkami przy kątach prostych i cztery przystające ściany w kształcie „latawców”.     
Sklejenie tego wielościanu w oparciu o siatkę wykonaną w programie CABRI II lub GeoGebra (ryc. 2) nie powinno sprawić trudności Pamiętajmy tylko, że ostatnią ścianą naklejaną na patki jest ta, która nie posiada patek i jest powierzchniowo najmniejsza.     
Sklejamy komplet czterech takich jedenastościanów i układamy je w kształcie sześciobocznej łódki, która tworzy zamkniętą warstwę. Taka pojedyncza warstwa jest „jednostką przesunięcia” i służy do tworzenia regularnej kraty wypełniającej przestrzeń bez obrotu i symetrii płaszczyznowej. Ryciny 3 i 4 są fotografiami wielościanów wykonanymi przez autora.

Ryc.1

 

Ryc. 2
Ryc. 3
Ryc. 4

Kolejną warstwę układamy prostopadle do poprzedniej i następne kolejno na przemian. Aby wykonać jedenastościan dwusymetryczny w programie geometrii dynamicznej (CABRI 3D lub GeoGebrze), wystarczy znać współrzędne jego wierzchołków. Następnie, stosując makrokonstrukcję pkt3D.mac, tworzymy je na ekranie i – łącząc odcinkami – uzyskamy wielościan, który możemy oglądać ze wszystkich stron (ryc. 5).

Ryc. 5

     

Oto rzut krawędziowy tego wielościanu i tabela współrzędnych jego wierzchołków (ryc. 6 i 7).

Ryc. 6
Ryc. 7

Jedenastościan klinowy

Kolejny wielościan, którym można wypełnić przestrzeń 3D, swym kształtem przypomina klin, ale – podobnie jak poprzedni – składa się z jedenastu ścian i jedenastu wierzchołków. Wśród ścian wyróżniamy trzy pary deltoidów różnych wielkości, dwie pary trójkątów...

Pozostałe 70% treści dostępne jest tylko dla Prenumeratorów.

Co zyskasz, kupując prenumeratę?
  • 6 wydań czasopisma "Matematyka"
  • Dostęp do wszystkich archiwalnych artykułów w wersji online
  • Możliwość pobrania materiałów dodatkowych, testów i zadań
  • ...i wiele więcej!
Sprawdź

Przypisy