Dołącz do czytelników
Brak wyników

Matematyka inaczej

2 sierpnia 2018

NR 33 (Lipiec 2018)

Wypełnianie przestrzeni

0 262

Oprócz znanych sposobów wypełniania przestrzeni przystającymi wielościanami, czyli sześcianami, ośmiościanami ściętymi i dwunastościanami rombowymi, na uwagę zasługują odkryte niedawno i opublikowane przez Guy’a Inchbalda układy wielościanów, które mimo swej nieregularności wypełniają przestrzeń. Należą do nich dwa wypukłe i jeden wklęsły wielościan.

Jedenastościan dwusymetryczny

Wielościan z jedenastoma ścianami i jedenastoma wierzchołkami, zwany z greckiego hendecahedronem (henda = 11, hedron = ściana), ma dwie płaszczyzny symetrii (ryc. 1), stąd nazywamy go dwusymetrycznym. Jego ściany to dwie większe i dwie mniejsze ściany rombowe, których boki odpowiadają bokom kwadratowej ściany. Ponadto wyróżniamy cztery przystające trójkąty równoboczne, stykające się wierzchołkami przy kątach prostych i cztery przystające ściany w kształcie „latawców”.     
Sklejenie tego wielościanu w oparciu o siatkę wykonaną w programie CABRI II lub GeoGebra (ryc. 2) nie powinno sprawić trudności Pamiętajmy tylko, że ostatnią ścianą naklejaną na patki jest ta, która nie posiada patek i jest powierzchniowo najmniejsza.     
Sklejamy komplet czterech takich jedenastościanów i układamy je w kształcie sześciobocznej łódki, która tworzy zamkniętą warstwę. Taka pojedyncza warstwa jest „jednostką przesunięcia” i służy do tworzenia regularnej kraty wypełniającej przestrzeń bez obrotu i symetrii płaszczyznowej. Ryciny 3 i 4 są fotografiami wielościanów wykonanymi przez autora.

Ryc.1

 

Ryc. 2
Ryc. 3
Ryc. 4

Kolejną warstwę układamy prostopadle do poprzedniej i następne kolejno na przemian. Aby wykonać jedenastościan dwusymetryczny w programie geometrii dynamicznej (CABRI 3D lub GeoGebrze), wystarczy znać współrzędne jego wierzchołków. Następnie, stosując makrokonstrukcję pkt3D.mac, tworzymy je na ekranie i – łącząc odcinkami – uzyskamy wielościan, który możemy oglądać ze wszystkich stron (ryc. 5).

Ryc. 5

     

Oto rzut krawędziowy tego wielościanu i tabela współrzędnych jego wierzchołków (ryc. 6 i 7).

Ryc. 6
Ryc. 7

Jedenastościan klinowy

Kolejny wielościan, którym można wypełnić przestrzeń 3D, swym kształtem przypomina klin, ale – podobnie jak poprzedni – składa się z jedenastu ścian i jedenastu wierzchołków. Wśród ścian wyróżniamy trzy pary deltoidów różnych wielkości, dwie pary trójkątów równoramiennych i jeden kwadrat.
Bryła ma jedną płaszczyznę symetrii, zawierającą jedną z przekątnych kwadratu i wysokości wszystkich trójkątów równoramiennych (ryc. 8).

Ryc. 8


Siatka tego wielościanu (ryc. 9) nie jest trudna do wykonania. Najlepiej posłużyć się programem CABRI, gdyż tutaj uzyskamy maksymalną dokładność konstrukcji, co umożliwi później dopasowanie odpowiednich elementów do siebie 
i zachowanie kątów dwuściennych.

Ryc. 9


W dalszej części podane są współrzędne wierzchołków tego wielościanu, więc wstawiając je odpowiednio do wzoru na odległość dwóch punktów w przestrzeni, można dokładnie wyznaczyć długości krawędzi oraz przekątnych ścian. Przenosząc te miary cyrklem w programie CABRI, otrzymujemy siatkę wykonaną z dużą dokładnością.
Sześć jedenastościanów klinowych można ułożyć w formę o kształcie kwiatu. Podobnie jak poprzednio, takie formy kwiatowe układamy obok siebie, a następnie na ułożonej już warstwie kładziemy kolejne jedenastościany.

Ryc. 10
Ryc. 11

Składając ze sobą jedenastościany klinowe, układamy je tak, by przylegały do siebie trójkątnymi ścianami. Patrząc od zewnętrznej strony, powinny pojawiać się na przemian kwadrat i małe trójkąty – ryc. 12.

Ryc. 12


Obracający się na ekranie komputera jedenastościan klinowy można skonstruować w CABRI,...

Pozostałe 70% treści dostępne jest tylko dla Prenumeratorów.

Co zyskasz, kupując prenumeratę?
  • 6 wydań czasopisma "Matematyka"
  • Dostęp do wszystkich archiwalnych artykułów w wersji online
  • Możliwość pobrania materiałów dodatkowych, testów i zadań
  • ...i wiele więcej!
Sprawdź

Przypisy