Dołącz do czytelników
Brak wyników

O!kręgi rozwoju

26 września 2022

NR 57 (Wrzesień 2022)

Zadania – sedno szkolnej matematyki

0 184

Niektórzy nauczyciele matematyki koncentrują się na lekcjach głównie na rozwiązywaniu zadań. To racjonalne podejście, bo nauczycieli „rozlicza się” z wyników dwóch egzaminów – po ósmej klasie i matury, ale oczywiście źle jest, gdy nauczyciel skupia się wyłącznie na tradycyjnych zadaniach. Jak na matematyczne zadania spojrzeć szerzej i dostosowywać je do aktualnych potrzeb lekcyjnych? Kilka wskazówek przedstawię w poniższym artykule.

Przyjrzyjmy się zadaniom w szkole. Można je podzielić ze względu na ich stopień trudności – są więc zadania łatwe, średnie, trudne i bardzo trudne (np. zadania z olimpiad i konkursów matematycznych). Inny podział – to podział na zadania zamknięte (z odpowiedziami do wyboru) i otwarte, w których trzeba przedstawić (zapisać) tok rozumowania prowadzący do rozwiązania. Są także zadania typowe, rozwiązywane według przedstawionych na lekcjach schematów, i zadania nietypowe – te ostatnie nie muszą być trudne, ale uczniowie, studenci mają kłopot z takimi zadaniami, bo czasami trudno je dopasować do poznanych schematów. 

POLECAMY

Zadania zamknięte 

Zadania zamknięte (inna nazwa – testowe) stanowią większą część zadań na egzaminie ósmoklasisty (w 2022 roku było ich 15, cztery zadania były otwarte; za zamknięte można było zdobyć maksymalnie 15 punktów, za otwarte 10). W arkuszu z matematyki (poziom podstawowy) na maturze 2022 maksymalnie 28 punktów można była zdobyć za zadania zamknięte, 17 – za otwarte, a więc proporcje punktów za zadania zamknięte do punktów za zadania otwarte były dla obu egzaminów podobne (około 3 do 2). W książce A. Orzeszek, J. Janowicz, J. Lech, M. Tokarska, P. Zarzycki Przygotowanie do egzaminu ósmoklasisty. Matematyka. Zestawy zadań dla uczniów klas szóstych (GWO 2022) opisano podstawowe metody rozwiązywania zadań zamkniętych. Oto te metody:

  • rozwiązywanie zadania tak, jakby było zadaniem otwartym,
  • sprawdzenie po kolei podanych odpowiedzi,
  • wykonanie sprytnych oszacowań,
  • odrzucenie niepasujących odpowiedzi. 

Szczególnie nauczyciele rozpoczynający we wrześniu pracę z klasą ósmą oraz nauczyciele rozpoczynający pracę z klasą maturalną powinni zwrócić szczególną uwagę na zadania zamknięte, skoro można za nie zdobyć około 60% wszystkich punktów. Zanim podamy kilka wskazówek, jak wykorzystać zadania zamknięte, zaprezentujemy kilka typów takich zadań.

Przykład 1 (egzamin ósmoklasisty, 2022):



Zauważmy, że w zadaniach zamkniętych na ogół tylko jedna odpowiedź jest prawdziwa.
 

Przykład 2 (sprawdzian po VI klasie):
Prostokątna kartka papieru samoprzylepnego ma wymiary 21 cm × 30 cm. Ile najwięcej prostokątnych naklejek o wymiarach 5 cm × 7 cm można wyciąć z tej kartki?

A. 8      B. 9      C. 16       D. 18

 

Przykład 3 (sprawdzian po VI klasie, 2015):

 

Dwa zadania ze sprawdzianu to trochę inny typ zadań testowych, określa się je jako zadania typu PF (Prawda, Fałsz) i zadania typu AB-CD. 
 

Przykład 4 (Kangur Matematyczny, 2019, szkoła ponadpodstawowa): 
Niech N będzie najmniejszą liczbą naturalną o sumie cyfr równej 2019. Jaka jest pierwsza od lewej cyfra liczby N?

A. 2      B. 3       C. 4       D. 5       E. 6

 

Przykład 5 (XVII Olimpiada Matematyczna Juniorów, 2021):

 

W tym zadaniu tylko jedna odpowiedź jest prawdziwa. W konkursach, olimpiadach matematycznych startują uczniowie mający predyspozycje do matematyki, ale nie bójmy się wykorzystywać zadań z konkursów (przykłady 4 i 5) także na zwykłych lekcjach. Takie zadania świetnie się nadają do ćwiczenia rozumowania matematycznego. W przykładzie 5 do uzasadnienia niestnienia liczby naturalnej o cyfrach 2 lub 6 podzielnej przez 4 wykorzystujemy cechę podzielności przez 4, sprawdzając podzielność liczb z „końcówką” 22, 26, 66, 62.

Co można zrobić z zadaniem zamkniętym?

Oprócz znalezienia rozwiązania warto pamiętać o następujących kwestiach:

  • Każde zadanie zamknięte można „przerobić” na zadanie otwarte. 
    W przykładach 1, 2 po usunięciu dystraktorów otrzymujemy zwykłe zadanie otwarte. W przykładzie 3 po prostu pytamy o wartość wyrażeń 4,3 · 75, 43 · 7,5, oczekując, że uczeń po obliczeniu wartości pierwszego wyrażenia zauważy, że wartość drugiego wyrażenia jest taka sama. Czytelnikowi pozostawiamy jako ćwiczenie „przerobienie” zadań z przykładów 4 i 5 na zadania otwarte.
  • Zadanie zamknięte może być źródłem nowych zadań, uogólnień. 
    W przypadku zadania z przykładu 1 można zastanawiać się, ile będzie wynosić suma wyróżnionych liczb, gdy zamiast 6 weźmiemy 1, 2, …, 27, albo zamiast liczb trzycyfrowych rozpatrywać będziemy liczby dwucyfrowe, czterocyfrowe itd.
    Spójrzmy na uogólnienie zadania z przykładu nr 2. Rozpatrujemy teraz kartkę papieru samoprzylepnego o wymiarach a × b i naklejki o wymiarach c × d (możemy zakładać, że a, b, c, d są liczbami naturalnymi). Nowe zadanie może brzmieć tak:
    Podaj konkretne przykłady na to, że nie można wyciąć żadnych naklejek, że można wyciąć niezerową liczbę naklejek i zostają tzw. ścinki. Wykaż, że liczba naklejek nie przekracza [ab / cd], gdzie symbol [r] oznacza część całkowitą liczby rzeczywistej r. Czy oszacowania [a / c][b / d], [a / d][b / c] na liczbę naklejek są lepsze niż oszacowanie [ab / cd]?
  • Zadania zamknięte (szczególnie z konkursów matematycznych) mogą stanowić bazę dla projektu badawczego ucznia. 
    Popatrzmy pod tym kątem na zadanie z przykładu 4.
    Uczeń mógłby poszukać najmniejszej (największej) liczby naturalnej o sumie cyfr równej ustalonej liczbie k. Można też zastanawiać się nad problemem iloczynu cyfr liczb naturalnych.
  • Zadania zamknięte mogą być przedmiotem poszukiwań komputerowych.
    W przykładzie nr 5 program generowałby wszystkie liczby n-cyfrowe (n – ustalona liczba naturalna) o ustalonych cyfrach (np. 2, 6) i sprawdzałby ich podzielność przez wybrane liczby.
    Być może rozkłady na czynniki pierwsze rozpatrywanych liczb wykazują jakieś regularności.

Zadania otwarte

Zadanie jest otwarte, jeśli oprócz odpowiedzi należy podać tok rozumowania. Nie będziemy tutaj wprowadzać jakiejś klasyfikacji zadań otwartych. Ich omawianie rozpoczniemy od tzw. zadań tekstowych (niektórzy używają określenia: zadania z treścią). Więcej informacji na temat zadań tekstowych można znaleźć u Stefana Turnaua Wykłady o nauczaniu matematyki, PWN, 1990 (wykład 20). Turnau pisze tak: „Zadanie tekstowe będziemy rozumieć szeroko, jako tekst słowny zawierający wartości pewnych wielkości, związki między wielkościami i pytanie lub polecenie”. Spójrzmy na dwa zadania tekstowe z egzaminu ósmoklasisty 
z 2021 roku.
 

Przykład 6:

 

 


W obu zdaniach istotny jest przekład słów na wielkości, które chcemy obliczyć. Przy rozwiązywaniu tego typu zadań ważne jest (zawsze mówię to uczniom), aby uczeń szybko uświadomił sobie, „jakiego zagadnienia dotyczy zadanie”. Zadanie nr 17 dotyczy problemu drogi, prędkości i czasu. Natomiast zadanie nr 18 to klasyczne zadanie tekstowe, w którym układa się odpowiednie równanie, rozwiązuje je, sprawdza sensowność rozwiązania i w końcu zapisuje odpowiedź. Ta procedura ujęta jest w podręcznikach w postaci ściśle określonego planu. Oczywiście uczniowie nie muszą rygorystycznie trzymać się tego planu; po nabraniu wprawy mogą pomijać niektóre punkty tego planu. 

Spójrzmy na taki plan:

  1. Ustalamy niewiadomą, oznaczamy ją literą i zapisujemy informacje związane z tą niewiadomą.
  2. Zapisujemy odpowiednie równanie (wynikające z treści zadania).
  3. Rozwiązujemy równanie.
  4. Sprawdzamy, czy otrzymane rozwiązanie jest zgodne z treścią zadania.
  5. Zapisujemy odpowiedź.

Później kroki w tej procedurze ulegają skróceniu, np. rzadko wykonuje się IV etap, ale jednak ważne jest, aby uczeń pamiętał o kolejnych etapach. Teraz wcale nie żartuję – taki schemat powinien być przypomniany także w klasie maturalnej.
 

Przykład 7 (matura 2021, poziom rozszerzony):

 

Zadanie to było najwyżej punktowane, więc autorzy zadań maturalnych uznali je za najtrudniejsze, jednak trudno się z tym zgodzić. Jakiego zagadnienia dotyczy to zadanie? Dotyczy minimalizacji wartości pewnej funkcji; należy się spodziewać skrótowego badania przebiegu tej funkcji.
 

Przykład 8 (podręcznik do VI klasy, GWO):
Jaka jest cyfra jedności liczby 1220?
Zadanie występuje w tym podręczniku w kategorii tzw. superzagadek. 

 

Co można zrobić z zadaniami otwartymi?

  1. Przeróbka na zadanie zamknięte. Ta propozycja może wydać się dziwna, ale ma sens: nauczyciel, rozwiązując zadanie otwarte, może popełnić błąd (błędy), a ten błąd (błędy) będą świetnymi dystraktorami.
  2. Nadanie zadaniu charakteru badawczego. W przypadku zadania z przykładu 8 należy zauważyć, że ostatnia cyfra liczby 1220 zależy wyłącznie od ostatniej cyfry liczby 220, a tę znajdziemy, zauważając, że ostatnie cyfry liczb 2n tworzą ciąg okresowy. W związku z tym zadaniem można zapytać o ostatnią cyfrę liczby an, gdzie n jest ustaloną liczbą naturalną. Na poziomie szkoły ponadpodstawowej uczniowie mogą próbować znaleźć wzory na kolejne cyfry liczb postaci liczby an, mogą też spróbować znaleźć cyfrę dziesiątek liczby 1220. Skomentujemy to dokładniej – ambitny Czytelnik może spróbować rozwiązać to zadanie samodzielnie. Po pierwsze, liczba 1220 nie jest aż tak duża, mogą ją dokładnie obliczyć programy komputerowe, np. program Mathematica podaje odpowiedź: 3833759992447475122176. Ale można się obejść bez pomocy komputera. Zapiszmy 1220, korzystając z dwumianwu Newtona: 1220 = (10 + 2)20 = 1020 + () 10192 + … + () 10 · 219 + 220. Uważnie się przyglądając pierwszym dwudziestu składnikom powyższej sumy, zauważamy, że każdy z tych składników ma dwa zera na końcu. Zate...

Pozostałe 70% treści dostępne jest tylko dla Prenumeratorów

Co zyskasz, kupując prenumeratę?
  • 6 wydań czasopisma "Matematyka"
  • Dostęp do wszystkich archiwalnych artykułów w wersji online
  • Możliwość pobrania materiałów dodatkowych, testów i zadań
  • ...i wiele więcej!
Sprawdź

Przypisy