Każdy z nauczycieli matematyki wskazuje uczniom algorytmy, które doprowadzą ich do prawidłowego rozwiązania zadania. Chcemy, cytując za podstawą programową, nauczyć ich „rozumowania i argumentacji”. Formuła egzaminu kończącego szkołę podstawową i ponadpodstawową wymusza poniekąd, aby zapoznać uczniów również ze strategiami rozwiązywania zadań zamkniętych.
To może uratować ucznia przed porażką w sytuacji, gdy nie potrafi samodzielnie rozwiązać zadania, ale na przykład umie sprawdzić odpowiedź. Może też zaoszczędzić jego czas i dać mu go więcej na rozwiązywanie zadań otwartych. Konstruując sprawdziany i prace klasowe, skupiam się raczej na metodach rozwiązywania zadań, algorytmach, nie wynikach. Natomiast część kartkówek, powtórzeń – zwłaszcza teraz, w czasie pandemii – przygotowuję w formie testu, quizu (pomocne w tym są narzędzia interaktywne: Kahoot, Quizziz, Testportal), między innymi po to, żeby uczniowie nauczyli się strategicznego podejścia do tego typu zadań.
Omówię pokrótce inne niż „otwieranie” metody rozwiązywania zadań zamkniętych.
POLECAMY
Metoda eliminacji
W zadaniach typu zamkniętego część odpowiedzi można odrzucić od razu, bez wykonywania obliczeń. Warto spojrzeć na odpowiedzi i wyeliminować te, które już na pierwszy rzut oka wydają się być absurdalne. Metoda eliminacji jest tą metodą, która powinna poprzedzić wszystkie inne, ponieważ zawęża nam ona liczbę odpowiedzi i skraca czas rozwiązywania. Przyjrzyjmy się w tym kontekście zadaniom maturalnym i z egzaminu ósmoklasisty.
Zadanie 9 (Egzamin ósmoklasisty 2020)
Na kartonowej siatce sześcianu Mariusz nakleił 6 figur tak, jak pokazano na rysunku. Następnie z tej siatki skleił kostkę.
Który rysunek przedstawia kostkę sklejoną przez Mariusza? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Rozwiązanie:
Odrzucamy odpowiedzi A i D, ponieważ białe figury: kwadrat i koło znajdują się na przeciwległych ścianach. Podobnie żółte koło i biały trójkąt – eliminujemy więc odpowiedź B. Ostatecznie zatem wybieramy odpowiedź C.
Zadanie 4 (Egzamin ósmoklasisty 2019)
Dane są cztery wyrażenia:
I. 4 + √35—
II. 6 + √17—
III. 17 − √48—
IV. 15 − √26—
Wartości których wyrażeń są mniejsze od 10? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
A) I i II
B) II i III
C) III i IV
D) I i IV
Rozwiązanie:
Ponieważ √35— jest mniejszy od 6, to liczba I jest mniejsza od 10.
To znaczy, że eliminujemy odpowiedzi B i C (nie ma tam wyrażenia I). Sprawdzamy II lub IV (bo nie ma połączenia I i III w odpowiedziach). Mamy, że √17— > 4, co daje nam
6 + √17— > 10, odrzucamy więc odpowiedź A i wybieramy ostatecznie odpowiedź D.
Zadanie 8 (Egzamin ósmoklasisty 2019)
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wyrażenie: (2a + 3b)(3b − 2a) jest równe:
A. 4a2 − 12ab + 9b2
B. 9b2 + 12ab + 4a2
C. 9b2 − 4a2
D. 4a2 − 9b2
Rozwiązanie:
Zauważmy, że w pierwszym nawiasie współczynnik przy a jest dodatni, a w drugim ujemny. Gdy pomnożymy czynniki, to współczynnik przy a2 jest więc liczbą ujemną. Jedyną odpowiedzią, która spełnia ten warunek, jest C.
Zadanie 12 (Egzamin ósmoklasisty 2019)
Na rysunku przedstawiono równoległobok ABCD i trójkąt równoramienny AED, w którym |DE| = |AE|. Miara kąta BCE jest równa 106°.
Jaką miarę ma kąt AEC? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych:
A. 148°
B. 122°
C. 74°
D. 58°
Uwaga do rozwiązania:
Zauważmy, że jeżeli uczeń rozpozna na rysunku kąt AEC, to od razu odrzuci odpowiedzi C i D – są to kąty ostre, a na rysunku widać, że kąt AEC jest rozwarty.
Zadanie 24 (Egzamin maturalny 2020)
Przekątna sześcianu ma długość 4√3–. Pole powierzchni tego sześcianu jest równe:
A. 96
B. 24√3–
C. 192
D. 16√3–
Rozwiązanie częściowe:
Załóżmy, że uczeń nie umie obliczyć długości krawędzi tego sześcianu. Nawet gdyby długość krawędzi sześcianu była iloczynem liczby wymiernej i pierwiastka drugiego stopnia (bo przy takiej przekątnej nie przewidujemy pierwiastka innego stopnia), to pole powierzchni dane wzorem 6a2 jest liczbą wymierną. Odrzucamy więc B i D.
Zadanie 7 (Egzamin maturalny 2020)
Współczynnik a we wzorze funkcji f jest równy:
A. 1
B. 2
C. −1
D. −2
Rozwiązanie:
Eliminujemy A i B, bo ramiona paraboli są skierowane do dołu, czyli a < 0.
Przesuwając wykres tak, aby wierzchołek leżał w początku układu współrzędnych, do wykresu należą punkty (−1, −1) i (1, −1).
Czyli poprawna jest odpowiedź C.
Warto dać uczniom kilka wskazówek ułatwiających im stosowanie metody eliminacji. Przede wszystkim nie należy polegać jedynie na intuicji. W pierwszej kolejności odrzucić można tylko te odpowiedzi, które wyklucza się ponad wszelką wątpliwość. Ponadto należy dobrze przyjrzeć się rysunkowi pomocniczemu, przypomnieć sobie wszystkie własności, które mogą mieć związek z omawianym zadaniem, a w przypadku uczniów klas maturalnych – skorzystać również z własności podanych w karcie wzorów i z kalkulatora. Każdy szczegół zadania może okazać się istotny przy eliminacji nieprawidłowych odpowiedzi.
Pewnego rodzaju spostrzegawczość matematyczną, umiejętność odrzucania błędnych odpowiedzi można wyćwiczyć z uczniami w trakcie lekcji, chociażby każdorazowo prosząc uczniów o uzasadnienie odrzucenia odpowiedzi i omawiając własności i informacje, które wpływają na odpowiedź w danym zadaniu.
Metoda sprawdzania
Metoda sprawdzania polega na podstawieniu odpowiedzi i sprawdzeniu, przy której z nich otrzymamy zgodność z treścią zadania. Często poprzedza ją metoda eliminacji rozwiązań, dzięki czemu możemy ograniczyć liczbę podstawień. Przyjrzyjmy się przykładowym zadaniom egzaminacyjnym, które można rozwiązać tą metodą.
Zadanie 5 (Egzamin maturalny 2020)
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności
Rozwiązanie:
Jeśli uczeń ma tendencję do robienia błędów przy przekształceniach równoważnych równań lub nierówności, może podejść do zadania inaczej niż otwierając je. Połączymy tu metodę eliminacji z metodą sprawdzania.
Weźmy 0 i podstawmy do nierówności. Otrzymujemy
3 (1 − 0) > 2 (0 − 1) − 0,
co daje nam 3 > −2. Jest to, oczywiście, prawda. A zatem możemy wyeliminować przedziały, które nie zawierają 0 (odpowiedzi C i D).
Przyjrzyjmy się dwóm pozostałym przedziałom i wybierzmy liczbę, która należy tylko do jednego z nich. Niech to będzie 2 ∈ (− , ∞). Podstawmy do nierówności:
3 (1 − 2) > 2 (3 · 2 − 1) − 12 · 2,
co daje nam −3 > −14. Jest to prawda, co eliminuje odpowiedź B i ostatecznie wskazuje na wybór A.
Zadanie 10 (Egzamin maturalny 2020)
Równanie x(x − 2) = (x − 2)2 w zbiorze liczb rzeczywistych:
A. Nie ma rozwiązania
B. Ma dokładnie jedno rozwiązanie: x = 0
C. Ma dokładnie jedno rozwiązanie: x = 2
D. Ma dwa różne rozwiązania: x = 1 i x = 2
Rozwiązanie:
Przy otwieraniu zadania tego typu część uczniów zapomina o zastosowaniu wzoru skróconego mnożenia. Podstawmy zatem liczby zaproponowane w odpowiedziach.
Zacznijmy od liczby 2. Wówczas L = 2 · (2 − 2) = 0 oraz P = (2 − 2)2. = 0
Widzimy więc, że liczba 2 spełnia to równanie. Odrzucamy odpowiedzi A i B, które nie zawierają liczby 2 jako rozwiązania równania.
Podstawmy liczbę 1. Mamy wtedy L = 1 · (1 − 2) = −1 oraz P = (1 − 2)2 = 1
Oznacza to, że liczba 1 nie spełnia tego równania. Wybieramy więc odpowiedź C.
W zadaniach maturalnych podstawienie odpowiedzi można zastosować między innymi w przypadku równań i nierówności. Wystarczy jednak, aby pytanie było sformułowane: „Ile wynosi suma rozwiązań równania?” lub „Ile rozwiązań ma równanie?”, aby metoda ta nie sprawdziła się. W takim przypadku uczniowie powinni potraktować to zadanie jak zadanie otwarte i rozwiązać równanie podane w jego treści.
Zadanie 7 (Egzamin maturalny 2019)
Miejscem zerowym funkcji liniowej f, określonej wzorem f(x) = 3(x + 1) − 6√3–, jest liczba:
A. 3 − 6√3–
B. 1 − 6√3–
C. 2√3– − 1
D. 2√3– −
Rozwiązanie:
Zauważmy, że 6√3– powinno się zredukować, tak więc, skoro przed nawiasem stoi 3, to wewnątrz nawiasu musi być 2√3–. Odrzucamy więc odpowiedzi A i B. Wstawmy odpowiedź C.
Mamy wtedy 3(2√3– − 1 + 1) − 6√3– = 0. Czyli jest to miejsce zerowe.
Wróćmy jeszcze na chwilę do zadania 7 z egzaminu maturalnego z 2020 roku. Oprócz wykresu paraboli w treści zadania znajdowała się postać iloczynowa y = a(x − 1)(x − 3). Na wykresie zaznaczony został wierzchołek W(2, 1). Metodą eliminacji odrzuciliśmy odpowiedzi A i B. Możemy podstawić wierzchołek i wartość z odpowiedzi C. Jeżeli otrzymamy tożsamość, to jest to odpowiedź prawidłowa, a jeżeli nie, to wybieramy D. Mamy więc 1 = −1(2 − 1)(2 − 3), co daje nam tożsamość 1 = 1. A zatem odpowiedź C jest prawidłowa.
Spójrzmy teraz na egzamin ósmoklasisty. Tu, jak do tej pory, nie pojawiły się zadania, w których należało wskazać rozwiązanie równania. Metodę podstawiania odpowiedzi na egzaminie ósmoklasisty można jednak wykorzystać w inny sposób.
Zadanie 14 (Próbny egzamin ósmoklasisty 2019)
Cena butów w sklepie internetowym była o 30% niższa od ceny takich butów w sklepie tradycyjnym. Buty te w sklepie internetowym były o 75 zł tańsze od takich samych butów w sklepie tradycyjnym. Ile kosztowały buty w sklepie tradycyjnym? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych:
A. 105 zł
B. 175 zł
C. 240 zł
D. 250 zł
E. 325 zł
Rozwiązanie z komentarzem:
Uczniom zwykle więcej trudności sprawia obliczenie ceny początkowej, przed obniżką lub podwyżką, niż kwoty obniżki lub podwyżki. Można więc odwrócić zadanie i obliczyć
30% z każdej odpowiedzi i sprawdzić, w którym przypadku otrzymamy 75 zł. Bardziej spostrzegawczy uczeń zauważy, że 30% to prawie , co pozwala odrzucić odpowiedzi A i B.
Mamy więc 30% · 240 = 72 zł, 30% · 250 = 75 zł.
Znaleźliśmy więc odpowiedź i jest to możliwość D.
Zadanie 15 (Próbny egzamin ósmoklasisty 2020)
Średnia arytmetyczna dwóch ocen Janka z matematyki jest równa 3,5. Jaką trzecią ocenę musi uzyskać Janek, by średnia jego ocen była równa 4? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych:
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
Rozwiązanie:
Część uczniów z powodzeniem ułoży i rozwiąże równanie, ale można też podejść do zadania inaczej.
Ponieważ średnia ocen Janka wynosi 3,5, to możemy bez wpływu na wynik końcowy przyjąć, że otrzymał on dwie oceny 3,5 – co nam daje w sumie 7. Żeby średnia wyniosła 4, na pewno musi dostać ocenę wyższą niż 4. Odrzucamy więc odpowiedzi A i B.
Sprawdźmy odpowiedź C. 
Wynika stąd, że prawidłowa jest odpowiedź C.
Kalkulator sprzymierzeńcem maturzysty
Każdy maturzysta wyposażony jest w kalkulator prosty. Wykorzystuje go do wykonywania działań w zadaniach zarówno otwartych, jak i zamkniętych. Czasami kalkulator może zastąpić znajomość praw i wzorów oraz umiejętność ich stosowania.
Zadanie 1 (Egzamin maturalny 2020)
Wyrażenie x2 − 6x + 9 dla x = √3– + 3 przyjmuje wartość:
A. 1
B. 3
C. 1 + 2√3–
D. 1 − 2√3–
Rozwiązanie:
Oczywiście, optymalnie byłoby, gdyby uczeń zauważył wzór skróconego mnożenia – takie rozwiązanie będzie najkrótsze. Może też zastosować wzór skróconego mnożenia, podstawiając do wyrażenia, które jest zapisane. A co, jeśli nie potrafi tego zrobić?
Skorzystajmy z kalkulatora:
x = √3– + 3 ≈ 4,73
x2 ≈ 22,37
x2 − 6x + 9 ≈ 22,37 − 28,36 +9 ≈ 3,01
Jedyną liczbą, która jest zbliżona do tego wyniku, jest odpowiedź B.
Zadanie 4 (Egzamin maturalny 2018)
Cena roweru po obniżce o 15% była równa 850 zł. Przed obniżką ten rower kosztował:
A. 865,00 zł
B. 850,15 zł
C. 1000,00 zł
D. 977,50 zł
Rozwiązanie:
Wykorzystamy metodę podstawiania odpowiedzi z wykorzystaniem kalkulatora:
865 · 85% = 735,25
850,15 · 85% = 722,6275
1000 · 85% = 850
Odpowiedź C.
Trochę statystyki
Czy warto ufać swojej pierwszej myśli, czy jednak zmienić odpowiedź po namyśle w sytuacji, gdy nie jest się pewnym żadnej z nich? Naukowcy amerykańscy, L.T. Benjamin, T.A. Cavell i W.R. Shallenberger, przeprowadzili badania, które wskazują, że statystycznie 57% zmian odpowiedzi jest korzystnych dla zdającego. Tak więc, jeżeli uczeń nie jest pewny swojej pierwszej odpowiedzi i czuje, że może być ona nieprawidłowa, statystycznie rzecz ujmując, powinien ją zmienić. Więcej na temat badań amerykańskich naukowców możemy znaleźć w ich artykule Staying with initial answers on objective tests: Is it a myth?
Co do częstości padania poszczególnych odpowiedzi, wskazuje się, że statystycznie najczęściej pojawiającymi się odpowiedziami są odpowiedzi środkowe, B i C. Jednak przyglądając się arkuszom maturalnym, nie znajdziemy potwierdzenia tej tezy. Częstość występowania poszczególnych odpowiedzi w arkuszu maturalnym jest zbliżona. Nie warto więc liczyć na szczęście – i to każdy nauczyciel powinien uświadomić swojemu uczniowi.
Najlepszymi sposobami na osiągnięcie sukcesu na egzaminie są posiadanie rozległej wiedzy, odporność psychiczna na stres, dobra kondycja fizyczna i świeży umysł. Niemniej jednak znajomość metod rozwiązywania zadań zamkniętych, które czasem pozwalają odpowiedzieć na pytania niekoniecznie poprzez przeprowadzenie pełnego rozumowania poprzez otwarcie zadania, jest sprzymierzeńcem każdego zdającego. Warto więc, będąc nauczycielem, poświęcić trochę czasu na trening metod rozwiązywania zadań zamkniętych, nie tylko przed samym egzaminem, ale również w całym cyklu kształcenia.
Literatura
- Benjamin, L. T., Cavell, T. A., & Shallenberger, W. R. (1984). Staying with initial answers on objective tests: Is it a myth? Teaching of Psychology, 11(3), 133–141.
