Dołącz do czytelników
Brak wyników

Matematyka dawniej i dziś

31 sierpnia 2018

NR 28 (Wrzesień 2017)

Absurdy i urojenia w matematyce

0 269

Liczby pojawiają się w życiu zarówno pojedynczego człowieka, jak i całych cywilizacji, w odpowiednim momencie rozwoju i potrzeb. Również w zależności od potrzeb są one takie lub inne. Często mówi się, że byt kształtuje świadomość. To nie tylko o świadomość polityczną chodzi, również stan naszej wiedzy na jakiś temat jest często kształtowany przez życie codzienne. 

W naszych czasach jesteśmy zalewani przez liczby różnego rodzaju. Liczby naturalne, całkowite, wymierne, niewymierne, dodatnie czy ujemne są na porządku dziennym w każdej gazecie, podręczniku czy grze komputerowej. Często zdarza się, że dziecko w wieku przedszkolnym umie dodawać lub mnożyć jedno- lub dwucyfrowe liczby. Zdarzają się dzieci wybitne, takie jakim był węgierski matematyk Paul Erdos (1913−1996), który podobno w wieku 4 lat umiał mnożyć w pamięci liczby 3- i 4-cyfrowe. Według jego wspomnień, w wieku 4 lat umiał rozróżniać liczby dodatnie od ujemnych. Dla niego „odjęcie 250 od 100 dawało wynik 150 poniżej zera”. Jest to coś, co nie przyszło tak łatwo ludziom na przestrzeni wieków. Wróćmy na chwilę do dawnych czasów. 

Starożytni Grecy żyli w świecie zdecydowanie prostszym niż nasz. Dlatego ich liczby były dużo prostsze i mniejsze niż te, których my używamy. Dla przykładu słowo miriada, które dla nich było czymś niewyobrażalnie dużym, dla nas oznacza liczbę około 10 tysięcy lub nieco więcej. Co to jest dla nas 10 000? Stadion dziesięciolecia, zbudowany w 1955 roku mieścił ponad 70 000 ludzi. A ile greckich miriad mieści się na współczesnych stadionach? A ile miriad liczą wielkie armie naszego świata?

Dla tych samych Greków nie istniało zero, nie znali liczb ujemnych, a ułamki były znane tylko w formie proporcji. A więc coś, na czym nie można było operować tak, jak na liczbach. Ułamki pojawiły się znacznie później i rzadko wychodziły poza 1/12 czegoś tam. Byt kształtuje świadomość. W tamtych czasach liczby były potrzebne do liczenia towaru, mierzenia czegoś itd. Liczby miały więc formę namacalną, były liczbą rzeczy. Dlaczego więc mieliby znać zero? Zero, to po prostu nie ma nic – puste miejsce. Dlaczego mieliby znać liczby ujemne? Dla kupca liczba ujemna to po prostu brak czegoś w magazynie i znowu jest to coś, co jest namacalne. Zamiast więc mówić, że mamy 5 kowadeł, mówiono, że brakuje 5 kowadeł. Tyle wystarczy. Dla Pitagorejczyków ułożenie liczby 9 w kwadrat o wymiarach 3 na 3 zbudowany z kropek było już wielkim i ważnym faktem abstrakcyjnej matematyki. Przedstawienie liczb w postaci dwuwymiarowych struktur było ważnym krokiem w kierunku matematyki teoretycznej. Pojawiło się pojęcie liczby kwadratowej, trójkątnej, gnomonu itd. Ale ciągle nie było zera, liczb ujemnych czy poprawnych ułamków. Również w starożytnej Grecji pojawiają się zaczątki czegoś, co prowadzi do równań. Dla przykładu problem „Jak może wyglądać kula jeśli wiadomo jest, że ma objętość 100?”. To już jest równanie, może nie w formie takiej jaką my znamy, ale to jest równanie. 

Zdarzało się jednak, że dawni matematycy wpadali na liczby ujemne. To mniej więcej tak, jak my wpadamy na coś, gdy jest ciemno w mieszkaniu. Wpadali na nie i starali się w miarę możliwości ich unikać.

Diofantos, matematyk grecki żyjący w III wieku naszej ery, znany nam twórca wczesnej teorii liczb, rozwiązując równanie akceptował rozwiązanie jeśli było dodatnie, a ujemne ignorował. To mniej więcej tak, jak powiedzieć „jest coś takiego, ale to nie ma sensu”. Dla niego równanie, które ma tylko ujemne rozwiązania nie było poprawnym równaniem. Dla niego liczby były ciągle tylko odbiciem myślenia geometrycznego, jakie znano w tamtych czasach w tej części świata. Czy tak wszędzie było? 

Hindusi nie mieli tak silnego przywiązania do mierzenia czy liczenia przedmiotów jak Grecy, więc przynajmniej pewne rzeczy mogli zaakceptować nieco łatwiej. Matematyk hinduski Bhaskara II (1114−1185) wiedział o istnieniu ujemnych rozwiązań równań, ale i tak sugerował, aby ich nie używać, bo nie są do niczego przydatne. 

W tym samym czasie Chińczycy stosowali liczby ujemne do obliczeń. Już w XII wieku używano tam czerwonych i czarnych patyczków do oznaczania liczb dodatnich i ujemnych (w tej kolejności). Tak więc liczby dodatnie były innymi rzeczami niż ujemne – patyczki innego koloru, ale to były tylko rzeczy do policzenia, nie zaś abstrakcje matematyczne. Co więcej, oni również nie bardzo umieli zaakceptować ujemne pierwiastki równań.

Jak zatem widać, pojęcie liczby ujemnej nie przychodziło nam tak łatwo. Rzemieślnik nie potrzebował liczb ujemnych. Wystarczy odwrócić miarę w drugą stronę i policzyć ile materiału brakuje. Tak samo kupiec, on ma swoje kredyty i długi, lub stan obecny i braki, i to mu w zupełności wystarcza. Nawet teraz, w naszych czasach to ciągle ma sens. 

Znane nam ze szkoły znaki + i − zostały prawdopodobnie użyte po raz pierwszy dopiero w XV wieku przez niemieckich kupców do oznaczenia, czy pojemnik ma wagę mniejszą lub większą niż standardowa. 

W odróżnieniu od kupców i rzemieślników matematycy byli w zupełnie innej sytuacji. Oni wpadali co chwilę na liczby ujemne czasem nawet na pierwiastki kwadratowe liczb ujemnych i nie wiedzieli co z tym fantem zrobić. Michael Stifel autor księgi „Arithmetica integra” (1544) pisał o liczbach absurdalnych lub fikcyjnych mniejszych niż zero. Co więcej, Rene Descartes i Blaise Pascal mu wtórowali!

Dopiero we wczesnym renesansie niektórzy matematycy zaczęli akceptować ujemne rozwiązania równań. Geronimo Cardano (1501–1576), znany nam 
z matematyki szkolnej, był jednym z pi...

Pozostałe 70% treści dostępne jest tylko dla Prenumeratorów.

Co zyskasz, kupując prenumeratę?
  • 6 wydań czasopisma "Matematyka"
  • Dostęp do wszystkich archiwalnych artykułów w wersji online
  • Możliwość pobrania materiałów dodatkowych, testów i zadań
  • ...i wiele więcej!
Sprawdź

Przypisy