W naszych czasach jesteśmy zalewani przez liczby różnego rodzaju. Liczby naturalne, całkowite, wymierne, niewymierne, dodatnie czy ujemne są na porządku dziennym w każdej gazecie, podręczniku czy grze komputerowej. Często zdarza się, że dziecko w wieku przedszkolnym umie dodawać lub mnożyć jedno- lub dwucyfrowe liczby. Zdarzają się dzieci wybitne, takie jakim był węgierski matematyk Paul Erdos (1913−1996), który podobno w wieku 4 lat umiał mnożyć w pamięci liczby 3- i 4-cyfrowe. Według jego wspomnień, w wieku 4 lat umiał rozróżniać liczby dodatnie od ujemnych. Dla niego „odjęcie 250 od 100 dawało wynik 150 poniżej zera”. Jest to coś, co nie przyszło tak łatwo ludziom na przestrzeni wieków. Wróćmy na chwilę do dawnych czasów.
POLECAMY
Starożytni Grecy żyli w świecie zdecydowanie prostszym niż nasz. Dlatego ich liczby były dużo prostsze i mniejsze niż te, których my używamy. Dla przykładu słowo miriada, które dla nich było czymś niewyobrażalnie dużym, dla nas oznacza liczbę około 10 tysięcy lub nieco więcej. Co to jest dla nas 10 000? Stadion dziesięciolecia, zbudowany w 1955 roku mieścił ponad 70 000 ludzi. A ile greckich miriad mieści się na współczesnych stadionach? A ile miriad liczą wielkie armie naszego świata?
Dla tych samych Greków nie istniało zero, nie znali liczb ujemnych, a ułamki były znane tylko w formie proporcji. A więc coś, na czym nie można było operować tak, jak na liczbach. Ułamki pojawiły się znacznie później i rzadko wychodziły poza 1/12 czegoś tam. Byt kształtuje świadomość. W tamtych czasach liczby były potrzebne do liczenia towaru, mierzenia czegoś itd. Liczby miały więc formę namacalną, były liczbą rzeczy. Dlaczego więc mieliby znać zero? Zero, to po prostu nie ma nic – puste miejsce. Dlaczego mieliby znać liczby ujemne? Dla kupca liczba ujemna to po prostu brak czegoś w magazynie i znowu jest to coś, co jest namacalne. Zamiast więc mówić, że mamy 5 kowadeł, mówiono, że brakuje 5 kowadeł. Tyle wystarczy. Dla Pitagorejczyków ułożenie liczby 9 w kwadrat o wymiarach 3 na 3 zbudowany z kropek było już wielkim i ważnym faktem abstrakcyjnej matematyki. Przedstawienie liczb w postaci dwuwymiarowych struktur było ważnym krokiem w kierunku matematyki teoretycznej. Pojawiło się pojęcie liczby kwadratowej, trójkątnej, gnomonu itd. Ale ciągle nie było zera, liczb ujemnych czy poprawnych ułamków. Również w starożytnej Grecji pojawiają się zaczątki czegoś, co prowadzi do równań. Dla przykładu problem „Jak może wyglądać kula jeśli wiadomo jest, że ma objętość 100?”. To już jest równanie, może nie w formie takiej jaką my znamy, ale to jest równanie.
Zdarzało się jednak, że dawni matematycy wpadali na liczby ujemne. To mniej więcej tak, jak my wpadamy na coś, gdy jest ciemno w mieszkaniu. Wpadali na nie i starali się w miarę możliwości ich unikać.
Diofantos, matematyk grecki żyjący w III wieku naszej ery, znany nam twórca wczesnej teorii liczb, rozwiązując równanie akceptował rozwiązanie jeśli było dodatnie, a ujemne ignorował. To mniej więcej tak, jak powiedzieć „jest coś takiego, ale to nie ma sensu”. Dla niego równanie, które ma tylko ujemne rozwiązania nie było poprawnym równaniem. Dla niego liczby były ciągle tylko odbiciem myślenia geometrycznego, jakie znano w tamtych czasach w tej części świata. Czy tak wszędzie było?
Hindusi nie mieli tak silnego przywiązania do mierzenia czy liczenia przedmiotów jak Grecy, więc przynajmniej pewne rzeczy mogli zaakceptować nieco łatwiej. Matematyk hinduski Bhaskara II (1114−1185) wiedział o istnieniu ujemnych rozwiązań równań, ale i tak sugerował, aby ich nie używać, bo nie są do niczego przydatne.
W tym samym czasie Chińczycy stosowali liczby ujemne do obliczeń. Już w XII wieku używano tam czerwonych i czarnych patyczków do oznaczania liczb dodatnich i ujemnych (w tej kolejności). Tak więc liczby dodatnie były innymi rzeczami niż ujemne – patyczki innego koloru, ale to były tylko rzeczy do policzenia, nie zaś abstrakcje matematyczne. Co więcej, oni również nie bardzo umieli zaakceptować ujemne pierwiastki równań.
Jak zatem widać, pojęcie liczby ujemnej nie przychodziło nam tak łatwo. Rzemieślnik nie potrzebował liczb ujemnych. Wystarczy odwrócić miarę w drugą stronę i policzyć ile materiału brakuje. Tak samo kupiec, on ma swoje kredyty i długi, lub stan obecny i braki, i to mu w zupełności wystarcza. Nawet teraz, w naszych czasach to ciągle ma sens.
Znane nam ze szkoły znaki + i − zostały prawdopodobnie użyte po raz pierwszy dopiero w XV wieku przez niemieckich kupców do oznaczenia, czy pojemnik ma wagę mniejszą lub większą niż standardowa.
W odróżnieniu od kupców i rzemieślników matematycy byli w zupełnie innej sytuacji. Oni wpadali co chwilę na liczby ujemne czasem nawet na pierwiastki kwadratowe liczb ujemnych i nie wiedzieli co z tym fantem zrobić. Michael Stifel autor księgi „Arithmetica integra” (1544) pisał o liczbach absurdalnych lub fikcyjnych mniejszych niż zero. Co więcej, Rene Descartes i Blaise Pascal mu wtórowali!
Dopiero we wczesnym renesansie niektórzy matematycy zaczęli akceptować ujemne rozwiązania równań. Geronimo Cardano (1501–1576), znany nam
z matematyki szkolnej, był jednym z pierwszych, który potraktował liczby ujemnie jako błogosławieństwo dla matematyki. Zwróćmy jednak uwagę, równania pisało się w postaci , a nie w postaci . Znak minus nie był jeszcze powszechnie używany w matematyce. Pojawił się jednak nawet nieco wcześniej, bo w 1494 roku, w księdze Luca Pacioli „Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita”. Robert Recorde, twórca znaku równości, wprowadził znaki + i − w Anglii w roku 1557 w księdze „The Whetstone of Witte…”. Od tego momentu liczby ujemne zaczynają żyć w matematyce swoim życiem, akceptowalnym w miarę powszechnie.
Jak było zatem z pierwiastkiem kwadratowym z liczb ujemnych? Pierwszym znanym nam matematykiem, który natknął się na pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej był Heron z Aleksandrii. W jego księdze „Stereometrica”, pojawia się coś, co dziś my możemy interpretować, podkreślam ‚interpretować’, jako \(\sqrt{81-144}\).
Drugim takim wypadkiem było natknięcie się Diofantosa na coś, co w naszej notacji może mieć formę \(\sqrt{1849-2016}\). Podkreślam jeszcze raz wyrażenie „w naszej notacji”. Notacja używana w tamtych i nawet późniejszych czasach była zupełnie inna niż nasza. Starożytni Grecy nie umieli wyrazić czegokolwiek w postaci wzoru. Oni używali form opisowych. „Elementy” Euklidesa to jest opowiadanie z obrazkami. Tam nie ma wzorów. U Diofantosa jest zaczątek czegoś, co możemy uważać za wzory matematyczne, ale z pewnością nie są to jeszcze równania, jakie znamy z naszych podręczników.
Ani Heron ani Diofantos nie docenili swojego odkrycia. Zresztą matematycy XV-wieczni w Europie też nie byli gotowi na przyjęcie tego. Giloramo Cardano postawił następujący problem „Podziel 10 na dwie części tak, aby ich iloczyn wynosił 40”. Najpierw stwierdził, że jest to niemożliwe, po czym rozwiązał jednak problem podając rozwiązania \(5+\sqrt{-15}\) oraz \(5-\sqrt{-15}\) . A następnie stwierdził, że te wartości są zbyt wymyślne i dalsza praca z nimi będzie kompletnie bezużyteczna.
Popatrzmy na to, z czym Cardano musiał się zmierzyć? Liczyć pierwiastki kwadratowe z liczb ujemnych, które same w sobie są czymś fikcyjnym jak na tamte czasy. Dla niego to było jeszcze nie do przyjęcia. Nie ma się co dziwić. Te nowe liczby, jakkolwiek je nazwać – absurdalne, urojone, wyimaginowane itd., mają zupełnie inne własności niż te, z którymi matematycy mieli do tamtej pory do czynienia. Popatrzmy przez chwilę na dwa ułamki −1/1 oraz 1/(−1). Jak jest możliwe, aby były one równe? Przecież z jednej strony mamy iloraz mniejszej liczby przez większą, a z drugiej strony większej liczby przez mniejszą. Z punktu widzenia liczb, jakie wtedy znano, był to czysty absurd. Nowe jest czasem trudne do zaakceptowania. Dopiero Leonhard Euler miał umysł wystarczająco otwarty, aby zaakceptować te dziwności. To on zauważył, że wraz z liczbami zespolonymi trzeba będzie zrewidować naszą wiedzę o matematyce. W jego dziełach pojawia się \(\sqrt{-1}\) w szeregach nieskończonych, od niego pochodzi znany nam wzór \(i^2=-1\). On również jako pierwszy użył litery i dla oznaczenia liczby , która to do dziś nosi nazwę jednostki urojonej.
Od tego momentu matematycy z większą ufnością zaczęli podchodzić do liczb zespolonych. Zresztą termin liczba zespolona pochodzi również od Gausa.
Około roku 1800 trzej matematycy: Carl Gauss, Robert Argand i Caspar Wessel prawie jednocześnie odkryli, że liczby zespolone można przedstawiać w układzie współrzędnych na płaszczyźnie. To prowadziło do wyrażenia liczb zespolonych jako par – część rzeczywista i część urojona. To jest właśnie to, czego uczymy teraz na pierwszym roku studiów, a czasem nawet w już szkole. Dalej, przez uogólnienie powstały kwaterniony oraz wiele innych ciekawych rzeczy, m.in. fraktale Mandelbrota. Ale to już jest inne opowiadanie.
Ryc. 1 Strona tekstu Diofantosa z księgi „Aritmetica” (fot. commons.wikimedia.org)
Więcej na ten temat znajdziemy w:
- Cajori F., A history of Mathematical Notation, Open Court, 1977.
- Conway J.H., Guy R.K., The Book of Numbers, Copernicus, 1995.
- Bourbaki N., Elements of the History of Mathematics, Springer, 1991.
