Przypuszczam, że większość czytelników wykonała kiedyś papierowy model jakiejś bryły platońskiej. Zestawy siatek do budowy modeli z papieru (a najlepiej z kartonu) są łatwo dostępne. Tu zaproponujemy mniej typowe wykonanie modeli papierowych tych pięciu wielościanów foremnych.
Dużą rolę w tych modelach odgrywają patki, czyli te części siatek, które służą do sklejania ścian. Bywają one nazywane inaczej: skrzydełka, motylki, zakładki itp.; najtrafniejsze jest jednak nazwa „patki”.
W zaproponowanch tu modelach patki pozostaną widoczne. Ich brzegi określone są przez powierzchnie kul opisanych na każdej z brył.
Tu mała dygresja. Bryły platońskie mają trzy charakterystyczne kule: wpisaną, opisaną i pośrednią (styczną do wszystkich krawędzi). Oznaczmy przez r promień kuli wpisanej, przez R promień kuli opisanej i przez ρ promień kuli pośredniej.
Ze względu na dualność tych brył dla czworościanu, który jest dualny ze sobą, mamy:
POLECAMY
a dla sześcianu i ośmiościanu (ryc. 1 i 2):
a z tego wynika:
Odpowiednio będą wzory dla dwunastościanu i dwudziestościanu. Tę parę dualną pokazaliśmy w numerze 1/2018 „Matematyki”.
Wzory te ułatwiają wyliczanie promieni wspomnianych powyżej kul.
Aby wykonać model czworościanu foremnego, wycinamy z kartonu cztery jednakowe trójkąty równoboczne wraz z patkmi, których brzegi są łukami okręgów o promieniu R (ryc. 3).
Przyjąwszy długość boku trójkąta a, łatwo można wyliczyć wielkości d i R:
Gotowy model pokazany jest na ryc. 4. Taki model nie jest zbyt sztywny. Można wzmocnić jego sztywność, wykonując element z czterech wycinków koła o promieniu R (ryc. 5) z dość sztywnego kartonu i wkleić go między patkami ścian czworościanu.
Analogicznie wykonamy modele pozostałych brył platońskich. Wszystkie razem pokazane są na ryc. 6. Co prawda, nie są to prawdziwe modele z papieru, lecz modele wirtualne, które powstały w komputerze, ale stosunkowo dobrze ilustrują ideę przedstawioną w tym artykule. Modele te możemy w różnym stopnio urozmaicać.
Na ryc. 7 mamy przykładowo czworościan foremny, którego ściany wykonane są z przezroczystego materiału, a element usztywniający jest dodatkowo wycięty powierzchnią kuli pośredniej.
Modele tego typu można też sobie wyobrazić w postaci użytkowej, np. jako lampę.
