Rzeczywiście jest ich chyba sporo, ale wszystkie jak spod jednej sztancy: sfera, sfera, sfera… jeszcze raz sfera… Coś jak kosmiczna czkawka, co zauważył już Lem w Cyberiadzie. Do chlubnych wyjątków należy świat z opowiadania ACC, ale o tym za chwilę.
POLECAMY
Jak wiadomo, każda mapa zawsze coś zniekształca, a to odległości, a to kąty. Przestańmy się tym przejmować i wyobraźmy sobie światy z gumy, które można poddawać dowolnym deformacjom. Klasyczną planetę można by wtedy przekształcić w sześcian Eneferców (znów ta Cyberiada), natomiast żadną miarą nie dałoby się z niej zrobić torusa ani precla (wypieku z zasadniczo dowolną liczbą otworów). Wkraczamy tu na teren topologii, określanej czasem jako geometria przedmiotów gumowych. Z jej punktu widzenia sfera i sześcian to to samo, ale sfera i torus – już nie. Przyjęcie tak abstrakcyjnego spojrzenia pozwala na dokonanie pełnej klasyfikacji wszystkich światów, będących powierzchniami zamkniętymi bez brzegu, czyli bez urwiska z Kosmosem u spodu (Świat Dysku więc odrzucamy). Okazuje się, że są tylko dwie serie takich światów. Pierwszą tworzy sfera i wszelkie możliwe precle, które można też opisać jako sfery z doklejonymi uchwytami, zaś najprostszym przedstawicielem tej drugiej jest świat ze Ściany mroku. Tworzy się go tak, że w zwykłej sferze wycina się otwór, a potem skleja się ze sobą wszystkie pary przeciwległych punktów tego otworu. Trzeba być Amberytą, żeby to sobie wyobrazić, gdyż operacja jest niewykonalna w 3D (4D już wystarczy). Jeśli to samo zrobimy z większą liczbą otworów, otrzymamy pozostałe powierzchnie drugiej serii.
Dowód twierdzenia o czterech barwach nie był zwykłym dowodem, gdyż wymagał zaprzęgnięcia do pracy komputera, któremu weryfikacja sporej liczby przypadków zajęła ok. 1000 godzin.
W Ścianie mroku feralny otwór jest otoczony wysokim murem, za którym panuje ciemność. Kto zapuści się w nią i pójdzie przed siebie, wróci do punktu wyjścia, tyle że jako lustrzane odbicie. Ponieważ można od tego oszaleć, mur wydaje się całkiem sensowny. Z drugiej strony zupełnie zwariowane są konsekwencje doklejania uchwytów do tego świata: nie uwierzycie, ale każdy z nich jest wymienialny na takie dwie dziury jak tamta za murem.
No, ale miało być o kartografii. Chodzi tu o rzecz z pozoru banalną, czyli o kolorowanie map. Jeśli dwa państwa sąsiadują ze sobą, powinny być oznaczone różnymi kolorami. Pytanie brzmi, ile barw wystarczy do prawidłowego pokolorowania każdej możliwej mapy danego świata. Rzecz jasna, zaczęto od naszej Ziemi, czyli sfery. Około roku 1880 opublikowano dowód, że cztery barwy wystarczą, po 10 latach odkryto jednak nieścisłość, wyszło więc na to, że na pewno wystarczy pięć kolorów, a jeśli chodzi o cztery, to nie wiadomo. Tak narodził się problem czterech barw, który rozwiązany został (pozytywnie) dopiero w 1976 r. Ciekawe jest to, że dowód twierdzenia o czterech barwach nie był zwykłym dowodem, gdyż wymagał zaprzęgnięcia do pracy komputera, któremu weryfikacja sporej liczby przypadków zajęła ok. 1000 godzin. Dziś zapewne znacznie mniej, lecz nie zmienia to faktu, że nie da się tego zrobić „ręcznie”. I to był szok dla całej matematycznej społeczności.
Co interesujące, w przypadku innych światów sprawa okazała się znacznie prostsza. Już w 1890 r. znany był wzór określający minimalną liczbę barw dla powierzchni pierwszej serii (poza sferą), np. dla torusa (czyli sfery z jednym uchwytem) liczbą tą jest siedem. Dla map świata Ściany mroku minimalna liczba barw to sześć (co jest wiadome od 1910 r.), zaś wzór określający tę liczbę dla innych powierzchni drugiej serii znany jest od 1954 r. Widać więc, że sfera opierała się najdłużej, być może więc istotnie żyjemy na najlepszym z możliwych światów – a jeśli jednak nie, to przynajmniej na najciekawszym.
