Jeżeli chodzi o odgórne zalecenia, to w momencie ostatnich zmian konstrukcje zostały „przeniesione” do szkoły ponadpodstawowej. Niestety, jest to temat mogący być postrzegany jako nieco problematyczny dla nauczycieli. Z jednej strony mamy bowiem obowiązek uczyć ich wykonywania, a z drugiej strony trzeba przyznać, że raczej trudno znaleźć te zagadnienia w pytaniach podczas egzaminów zewnętrznych. Dlatego też czasami możemy w tym temacie realizować plan minimum, to znaczy zrobić tylko to, co musimy, pokazać uczniom konieczne konstrukcje, ale potem już nie przywiązywać do nich większej wagi. Dla porównania warto zajrzeć do starszych podręczników do nauki geometrii, w których konstrukcje zajmują bardzo dużo miejsca. Dlaczego przez lata były one tak ważne? Ponieważ uczą wyobraźni geometrycznej, z którą, niestety, nasi uczniowie coraz częściej miewają problem. Dlatego też, pomimo iż raczej nikt nie będzie kazał wykonywać uczniom konstrukcji na maturze, to jednak nie zapominajmy o nich.
POLECAMY
Ponadto coraz więcej naszych sal lekcyjnych jest wyposażona w tablice interaktywne, a, niestety, niektóre ich oprogramowania nie mają łatwo dostępnych narzędzi geometrycznych, zatem niezastąpioną pomocą może okazać się wykorzystanie GeoGebry do wykonywania konstrukcji. Jedynym minusem jest fakt, że wykonanie ich w programie wygląda nieco inaczej niż na kartce papieru czy na tablicy. Jedną z podstawowych różnic jest to, że podchodząc tradycyjnie do konstrukcji, kreślimy jedynie łuki, podczas gdy w GeoGebrze dla poprawności otrzymanych rysunków w większości przypadków konieczne będą całe okręgi. Z kolei plusem użycia programu jest to, że zbędne linie i okręgi możemy bez problemu ukryć. Mamy także możliwość odtwarzania konstrukcji krok po kroku. Ponieważ o takim sposobie pracy wspominałam już wcześniej, teraz przypomnę go na przykładzie konstrukcji dwusiecznej kąta wypukłego.
Musimy najpierw wykonać całą konstrukcję, dodać odpowiednie opisy, a następnie wyświetlać na przykład za pomocą suwaka kolejne jej etapy. Zaczynamy, oczywiście, od zaznaczenia kąta poprzez wybór trzech punktów oraz narysowanie półprostych będących jego ramionami. We właściwościach obiektu możemy zaznaczyć, że interesuje nas kąt o mierze od 0º do 180º. Następnie kreślimy okrąg z wierzchołka kąta, przechodzący przez dowolny punkt na wybranym jego ramieniu. Z punktów przecięcia tego okręgu z ramionami kąta kreślimy okręgi o promieniu, którego długość jest równa odległości pomiędzy tymi dwoma punktami. Następnie przez punkty przecięcia okręgów prowadzimy półprostą, która jest szukaną dwusieczną kąta. Po wykonaniu rysunku możemy sformatować odpowiednio obiekty na nim występujące, aby był on bardziej czytelny (ryc. 1).
Tak wykonany rysunek możemy opisać, wprowadzając polecenia do kolejnych etapów konstrukcji. Mogą one być widoczne przez cały czas bądź wyświetlać się krok po kroku. Jeżeli wybierzemy drugą opcję, to będziemy potrzebowali suwaka n , przyjmującego wartości całkowite od 0 do 3 (lub innej liczby, w zależności od liczby etapów konstrukcji, jakie umieściliśmy w komentarzach). Następnie we właściwościach obiektów, w zakładce Zaawansowane, musimy podać odpowiednie warunki wyświetlania obiektów. I tak, dla pierwszego kroku opisu i dla okręgu o środku w wierzchołku kąta oraz punktów przecięcia tego okręgu z ramionami kąta podajemy warunek n > 0. Dla opisu drugiego etapu oraz dla dwóch kolejnych okręgów i punktów ich przecięcia wpisujemy warunek n > 1. Natomiast dla ostatniego kroku oraz dla dwusiecznej kąta ustalamy jako warunek wyświetlania n > 2. W ten sposób otrzymamy kolejne elementy na rysunku pojawiające się równolegle z opisem (ryc. 2).
Możemy także użyć dwóch okien widoku grafiki i polecić uczniom samodzielne wykonanie konstrukcji. Wtedy na przykład w oknie Widok grafiki 1 umieszczamy opis konstrukcji (z suwakiem lub bez) i pozostawiamy w nim miejsce na rysunek uczniów, a w oknie Widok grafiki 2 ukrywamy całą gotową konstrukcję, która będzie widoczna dopiero po kliknięciu napisu SPRAWDŹ (napis może być opisem pola wyboru pokaż/ukryj, pod który „podepniemy” wszystkie obiekty użyte podczas konstrukcji).
Analogicznie do opisanego powyżej sposobu możemy wprowadzać na lekcjach praktycznie wszystkie omawiane podstawowe konstrukcje geometryczne, takie jak: proste prostopadła i równoległa przechodzące przez dany punkt, symetralna odcinka, dwusieczna kąta, styczna do okręgu czy okręgi wpisane i opisane. Jednak nie tylko na te konstrukcje powinniśmy znaleźć czas na naszych lekcjach. Mimo starań bardzo często te wyżej wymienione pojawiają się na lekcji jako gotowe schematy do nauczenia się przez ucznia. Często nie mamy czasu, albo nawet nie pomyślimy o tym, żeby pozwolić uczniom wpaść na pomysł, jak wykonać dany rysunek, mając tylko czystą kartkę, linijkę i cyrkiel. Co stoi na przeszkodzie, aby potraktować takie zagadnienia jak problem do rozwiązania? Uczniowie, którzy w szkole podstawowej nie zetkną się z konstrukcjami, z pewnością w szkole średniej chętnie popatrzą na takie zadania jak na problem, wręcz zagadkę. To, w jaki sposób możemy podejść do pewnych zagadnień, w dużej mierze zależy od zespołu klasowego, z jakim pracujemy, i od naszego wyczucia, na ile możemy sobie pozwolić. Niektórych uczniów być może trzeba będzie zapoznać z podstawowymi konstrukcjami, aby potem mogli sami próbować wykonywać te bardziej skomplikowane, podczas gdy inni mogliby samodzielnie odkrywać konstrukcje właściwie od początku.
Ciekawym zadaniem problemowym dotyczącym bezpośrednio konstrukcji może być analiza zagadnienia: proste styczne do dwóch okręgów. Przede wszystkim nie musimy uczniom z góry narzucać, ile tych prostych powinno być, ani mówić, w jakim położeniu mają znajdować się rozpatrywane okręgi. Dla tych, którzy nigdy nie próbowali zadać takiego problemu uczniom, polecam je szczególnie. I jestem pewna, że każda grupa uczniów zaskoczy w takim momencie swojego nauczyciela. Dodatkowo eksperymenty z GeoGebrą mogą być w tym wypadku wyjątkowo ciekawe i wciągające.
Do wykonania ilustracji do tego problemu będziemy potrzebować dwóch okręgów. Promień jednego z nich musi być zawsze większy od drugiego (to rozróżnienie będzie konieczne do poprawnego wykonania konstrukcji). Aby sobie to zapewnić, wystarczy wprowadzić odcinki, które będą wyznaczały długości promieni. Żeby ich końce nie przemieszczały się w dowolnym kierunku, należy umieścić je na prostych, które potem ukryjemy. Dodatkowo koniec odcinka wyznaczającego promień mniejszego okręgu powinien być umieszczony na dłuższym odcinku (potem możemy go przenieść). Ponadto do konstrukcji będziemy potrzebowali także odcinków o długościach równych sumie i różnicy długości promieni rozpatrywanych okręgów. Przenosząc długości odcinków za pomocą prostych prostopadłych, równoległych i okręgów o wybranych promieniach, uzyskujemy przygotowane przez nas samych suwaki (ryc. 3).Oczywiście, pomocnicze proste musimy ukryć.
Przechodząc do konstrukcji stycznych, rysujemy najpierw okrąg o promieniu równym różnicy promieni, współśrodkowy z większym okręgiem. Następnie konstruujemy styczne do powstałego okręgu, przechodzące przez środek mniejszego okręgu. Potem rysujemy proste prostopadłe do tych stycznych przez środek większego okręgu. Otrzymujemy punkty przecięcia tych prostych z większym okręgiem. Rysujemy proste prostopadłe do ostatnich prostych przez ich punkty przecięcia z okręgiem. To są szukane styczne (ryc. 4).
W podobny sposób otrzymamy drugą parę stycznych – różnica polega tylko na tym, że na początku rysujemy okrąg o promieniu będącym sumą promieni wyjściowych okręgów. Oczywiście, obiekty pomocnicze musimy poukrywać, gdyż przy tak złożonej konstrukcji rysunek byłby kompletnie nieczytelny. Możemy także zastosować pewne uproszczenia. Jeżeli wiemy, że uczniowie opanowali na przykład konstrukcję prostej prostopadłej, możemy polecić im korzystanie z narzędzia wbudowanego w menu programu. Podobnie możemy postąpić ze środkiem odcinka. Gotowy rysunek ze wszystkimi stycznymi i poukrywanymi niepotrzebnymi obiektami przedstawiono na ryc. 5.
Zmieniając długości promieni okręgów oraz położenie ich środków, możemy obserwować liczbę stycznych i ich ułożenie.
Na koniec chciałam dodać jeszcze kilka słów o innym ciekawym sposobie wykorzystania GeoGebry w kontekście konstrukcji. Chodzi mi o konstrukcje tzw. niewykonalne i przybliżone. Spotykałam się z tym, że uczniowie po wykonaniu na kartce papieru konstrukcji przybliżonej (na przykład siedmiokąta foremnego) kompletnie nie rozumieli różnicy pomiędzy tą konstrukcją a innymi, tymi nieprzybliżonymi. W takich przypadkach również gorąco polecałabym użycie GeoGebry, aby pokazać uczniom to, co na pierwszy rzut oka niewidoczne, a bez powiększenia na komputerze wręcz niemożliwe do zobaczenia (czyli niedokładności konstrukcji przybliżonej, fragmenty rysunku, na których widoczne są luki).
