Dołącz do czytelników
Brak wyników

Matematyka dawniej i dziś

20 listopada 2018

NR 35 (Listopad 2018)

Geometria Mikołaja Kopernika:
O cięciwach w kole

0 18

Mikołaj Kopernik (1473–1543) znany jest na całym świecie jako astronom, który „wstrzymał Słońce, a ruszył Ziemię” – zastąpił geocentryczny model świata Ptolemeusza modelem heliocentrycznym. Ale Kopernik to też matematyk...

Jego notatki pochodzące z około 1520 roku są najstarszym śladem posługiwania się funkcją trygonometryczną secans. Kopernik wprowadził tę funkcję, a później przygotował tablice trygonometryczne jej wartości. Tablice te stanowiły uzupełnienie tablic Tabulae directionum Regiomontanusa (1436–1476).
Teorię heliocentryczną Kopernik omówił w dziele zatytułowanym Nicolai Copernici Torinensis De Revolutionibus orbium coelestium, Libri VI [Mikołaja Kopernika Toruńczyka o obrotach ciał niebieskich, ksiąg VI]1. Za podstawę wszelkich rozważań posłużyły mu tam geometria płaska i sferyczna. Wykorzystywał Elementy Euklidesa oraz rachunki Ptolemeusza związane z rozwiązywaniem trójkątów płaskich i sferycznych. Kopernik w De Revolutionibus rozbudował teorię Ptolemeusza i wzbogacił ją o sposoby obliczania cięciwy stowarzyszonej z dowolnym łukiem okręgu oraz cięciwy przeciwległej kątowi, którego łuk jest dany. Ponadto sformułował i udowodnił twierdzenie sinusów (to twierdzenie jest jego najważniejszym odkryciem matematycznym). Cały materiał geometryczny, na którym Kopernik oparł rozważania na temat heliocentryzmu, umieścił w trzech rozdziałach pierwszej księgi De Revolutionibus, tj. rozdziałach 
XII (pt. O cięciwach w kole), XIII (O bokach i kątach trójkątów płaskich prostolinijnych) i XIV (O trójkątach sferycznych)2. W rozdziale XII autor zajął się opisaniem korelacji pomiędzy łukiem koła, kątem środkowym opartym na tym łuku, cięciwą z nimi stowarzyszoną oraz promieniem koła. Pozwoliło to, znając niektóre spośród tych wartości, obliczyć pozostałe. Rozdział XIII poświęcił na omówienie sposobów rozwiązywania trójkątów płaskich, a rozdział XIV – na rozwiązywanie trójkątów sferycznych.
W niniejszym artykule dokonamy analizy treści zawartych w XII rozdziale I księgi De Revolutionibus. Praca ta otwiera serię artykułów poświęconych matematyce Mikołaja Kopernika.
Dzieło De Revolutionibus było już wielokrotnie badane przez naukowców. Tutaj pokusimy się o jego analizę z bardziej współczesnego punktu widzenia. Zachowana zostanie struktura oryginału, omówione zostaną wszystkie treści w nim zawarte, jednakże będą one uzupełnione o dodatkowe wyjaśnienia, dowody, a nawet uogólnienia. Użyte też będą współczesne oznaczenia, a niekiedy również współczesna terminologia.
Takie podejście do dzieła Kopernika ma na celu uczynienie go bardziej przystępnym dla współczesnych odbiorców oraz pokazanie, że teoria geometryczna kryjąca się za odkryciem heliocentryzmu nie była skomplikowana.

  1. Opis dzieła O obrotach ciał niebiEskich Mikołaja Kopernika

De Revolutionibus Mikołaja Kopernika w całości po raz pierwszy zostało opublikowane w 1543 roku i nosiło tytuł Nicolai Copernici Torinensis De Revolutionibus orbium coelestium, Libri VI [Mikołaja Kopernika Toruńczyka o obrotach ciał niebieskich, ksiąg VI]1. Jak wskazuje tytuł, autor podzielił swój wykład na sześć części. W pierwszej z nich zajął się opisaniem położenia wszystkich planet, ze szczególną uwagą poświęconą analizie ruchów Ziemi, w kolejnych częściach porównał te ruchy z ruchami innych planet i pozostałych sfer niebieskich, a wysunięte wnioski pozwoliły mu na dokładne wyjaśnienie systemu wszechświata.
Księgę I rozpoczął od uzasadnień, iż świat jest kulisty, niezmierzony i podobny do nieskończonego, a także, że wszystko zawierająca w sobie sfera gwiazd jest nieruchoma, wszystkie zaś inne ciała niebieskie poruszają się po kołach3, również Ziemia porusza się pewnymi ruchami kolistymi. Wstęp ten miał stanowić fundament całej astronomii.
Pisząc swoje dzieło, Kopernik opierał się na geometrii płaskiej i sferycznej. Na tę bazę matematyczną zarezerwował trzy rozdziały (XII, XIII i XIV) księgi I. Wyraźnie podkreślił wówczas, że owa wiedza geometryczna służyła mu za bazę do wszelkich rachunków.

  1. Geometria Kopernika w oczach współczesnych mu matematyków

Te trzy rozdziały okazały się bardzo wartościowe dla matematyków. Po tym, jak Tydeman Gize, biskup chełmiński, a prywatnie przyjaciel Kopernika przygotowujący do wydania jego dzieło o obrotach ciał niebieskich (Kopernik nie mógł tego uczynić własnoręcznie ze względu na chorobę), pokazał rękopis profesorowi Joachimowi Retykowi z Wittenbergi, ten niezwłocznie wystosował list do Jerzego Hartmana z Norymbergii z prośbą o publikację części geometrycznej. Nastąpiło to w 1542 roku, czyli rok przed wydaniem całego dzieła.
Opublikowana praca składała się z 28 kart. Wstęp do niej stanowiła przedmowa Retyka do Hartmana z prośbą o wydanie pracy drukiem i uzasadnieniem jej wagi naukowej. Pojawiło się tutaj stwierdzenie: cała architektura z geometryi powstała4, a następnie: Wiadomo ci [Hartmanowi], że nauka o trójkątach bardzo rozległe ma zastosowanie w różnych gałęziach matematyki, a głównie w astronomii4.
Przedmowę Retyka zakończył apel do młodzieży5:

Szkolna młodzieży! Od pierwszych lat ucz się tej 
umiejętności,
Która z miarami i liczbami obznajmia;
Wielkie bowiem nagrody odniesiesz za podjętą pracę.
Pismo to wskazuje ci drogę do nieba,
Gdzie się cudowny świat rozciąga w niezmiernych 
przestworach,
Jeżeli myślą zechcesz sięgnąć ich granic.
Albo w jakiej okolicy nieba gwiazdy się błąkają,
I jakie są drogi odwiecznych biegów;
Dlaczego księżyc towarzysza mgłą ciemną osłania,
A on księżycowi użytku światła odmawia;
Lub jakie losy kierują przyszłością;
Jakie klęski niosą ludom gwiazdy nieprzyjazne.
To jeśli wiedzieć pragniesz, pierwej znać trzeba naukę, 
Które wyłożą ci w treści te początki.
A gdy myśli ludzkie, co biorą zaród z nieba,
Zbłąkają się daleko od ojczystego siedliska,
Ta nauka oswobodziwszy je z brzmienia ziemskości,
Napowrót do niebieskiego pałacu zanosi.

Dalej omówiona została trygonometria płaska (na dwóch kartach), trygonometria sferyczna (na sześciu kartach), a najobszerniejszą jej część stanowiły tablice połówek cięciw odpowiadających łukom o miarach od 0° do 90° przy postępie minutowym (dziewiętnaście kart).

  1. O cięciwach w kole – analiza XII rozdziału księgi I De Revolutionibus

W dalszej części niniejszego artykułu zostanie zaprezentowany i przeanalizowany materiał zawarty w rozdziale  XII księgi I De Revolutionibus6. Zostaną tutaj użyte współczesne oznaczenia i terminologia.
Podstawowe różnice dotyczące oznaczeń i terminologii będą następujące:

  • Kopernik nie używał sformułowania „równe w przybliżeniu”; do końca XIX wieku między wielkościami, które różniły się od siebie nieznacznie, pisano znak równości; w niniejszej analizie, jeżeli dwie wielkości będą różniły się od siebie nieznacznie, będziemy pisali: „równe w przybliżeniu”, „równe około” itp. (symbolicznie: „≈”);
  • Kopernik pisał: „kąt ABC jest równy…”; w XXI wieku używamy pojęcia miary kąta: „miara kąta ABC wynosi…” (symbolicznie: |ABC| = …);
  • u Kopernika pod pojęciem „linii” kryły się zarówno dzisiejsze proste, jak i odcinki; w przeprowadzonej poniżej analizie będziemy używali pojęć: prosta oraz odcinek (długość odcinka AB będziemy zapisywali symbolicznie: |AB|, tego symbolu nie używał Kopernik);
  • w niektórych dowodach, które będą tutaj przeprowadzone i jednocześnie będą uzupełnieniami dzieła Kopernika, zostanie użyte pojęcie równoważności zdań (to, iż zdania p oraz q są równoważne, zapisuje się symbolicznie: p ⇔ q); tym pojęciem Kopernik się nie posługiwał.

3.1. Długości boków wielokątów foremnych
Jak już zostało wspomniane, w rozdziale XII Kopernik omówił zależność pomiędzy łukiem okręgu, kątem środkowym opartym na tym łuku, cięciwą z nimi stowarzyszoną oraz promieniem okręgu. Pokazał, że jeżeli niektóre z tych wielkości są znane, to można obliczyć pozostałe. W swoich rozważaniach Kopernik korzystał z następującej uwagi:
Uwaga: Kąt środkowy i łuk mogą być wyrażone w stopniach w taki sposób, że kąt środkowy 180° zawiera dwa kąty proste (kąt 360° zawiera cztery kąty proste) oraz łuk 360° jest równy obwodowi koła. Oznacza to, że 1° kąta środkowego i 1° łuku są sobie równe oraz cięciwa oparta na danym łuku i cięciwa, którą wyznacza kąt środkowy o takiej samej liczbie stopni co ten łuk, są sobie równe.
W dalszej części Kopernik podał wartości długości boków wielokątów foremnych wpisanych w koło o promieniu 100 000. Mianowicie bok odpowiednio: trójkąta, czworokąta, pięciokąta, sześciokąta i dziesięciokąta foremnego wpisanego w koło o promieniu 100 000 jest równy długości cięciwy stowarzyszonej z łukiem odpowiednio: 120°, 90°, 72°, 60°, 36°; co, po obliczeniu, daje nam odpowiednie długości boków: 173 205, 141 422, 117 557, 100 000, 61 803.
Powyższa uwaga nie została przez Kopernika uzasadniona. Zauważmy, że podane wyżej wartości długości boków są tak naprawdę wartościami przybliżonymi; w podobnych sytuacjach, w dalszej analizie, będziemy wyraźnie zaznaczać, że są to wartości przybliżone.
Postaramy się teraz udowodnić powyższe stwierdzenie. Przedstawimy rachunki prowadzące do wyliczenia długości każdego z boków tych wielokątów, z tym że wielokąty te wpisane zostaną w koło o dowolnym promieniu r. Długości zostaną wyznaczone w sposób dokładny, przy czym, aby nie odbiegać w znaczny sposób od rachunków Kopernika, za każdym razem podana będzie również przybliżona wartość długości boku. W całej niniejszej analizie prz...

Pozostałe 70% treści dostępne jest tylko dla Prenumeratorów.

Co zyskasz, kupując prenumeratę?
  • 6 wydań czasopisma "Matematyka"
  • Dostęp do wszystkich archiwalnych artykułów w wersji online
  • Możliwość pobrania materiałów dodatkowych, testów i zadań
  • ...i wiele więcej!
Sprawdź

Przypisy