Dołącz do czytelników
Brak wyników

Matematyka inaczej

6 lutego 2019

NR 36 (Styczeń 2018)

Kwaternionowa historia wektorów

0 8

Za oknem zima, słupek rtęci (lub innej substancji) oscyluje w okolicy zera. Hm… mówię jedną liczbę i wszyscy już wiedzą, że nie jest za ciepło. Innym razem wchodzę na wagę i kiedy wyświetla się… pewna liczba, to stwierdzam, że do lekkich osób nie należę. Czy wszystko da się tak ładnie opisać jedną liczbą? Czego tak naprawdę dowiaduję się, odczytując liczbę na podziałce termometru lub skali wagi? Czy ona mi wystarczy, aby dowiedzieć się precyzyjnie, czego potrzebuję?

Odczytując np. liczbę 0°C, wiem, że – niezależnie od położenia termometru – w miejscu, gdzie znajduje się zbiorniczek z rtęcią, temperatura powietrza jest taka sama jak temperatura zbiorniczka i wynosi 0°C. Mogę stwierdzić, że jedna liczba precyzyjnie dostarcza mi wszystkich potrzebnych informacji. Wiem wszystko o temperaturze powietrza w danym miejscu (pomijając lokalne fluktuacje i zmienność temperatury). A czy istnieją takie wielkości, którym nie wystarczy jedna liczba? Przyjrzyjmy się jeździe samochodem… Na prędkościomierzu wyświetla się wartość prędkości (lub pokazuje to wskazówka na skali). Co nam mówi ta wartość i czy mówi precyzyjnie? Załóżmy, że jedziemy z prędkością 120 km/h. Co to oznacza? Wartość ta informuje nas, że w danym momencie, gdybyśmy jechali, nie zmieniając prędkości, to przejedziemy w ciągu godziny 120 km. Ale co to znaczy: nie zmieniając prędkości? Pojawia się zakręt, łagodny, więc nie zdejmuję nogi z pedału gazu. Czy moja prędkość się zmieniła? Wartość pozostaje stała, ale zmienił się kierunek mojego ruchu. A czy ważne jest, skąd jadę i dokąd? Czy to istotne, czy jadę do Warszawy z Łodzi, czy z Białegostoku? Ktoś, czekając na mnie o umówionej godzinie, denerwując się, że mnie jeszcze nie ma, dzwoni do mnie i pyta, gdzie jestem. Ja mówię, że już biegnę… Hm… niezbyt dużo mu to mówi. On na przykład czeka w Galerii Łódzkiej, a ja biegnę w Częstochowie (to troszkę poczeka). Może być tak, że biegnę, ale w przeciwną stronę (uciekam od niego). A jeśli sobie biegam wokół Galerii Łódzkiej? Sami zauważamy, że istnieje potrzeba wprowadzenia innej wielkości, nie jednoliczbowej (skalarnej), lecz wektorowej – cokolwiek to znaczy...

Ryc. 1. Spirale Archimedesa – dla różnych stosunków prędkości punktu i odcinka

Właściwie wszystko zaczęło się przy pewnej kawie… Tłumaczyłem właśnie koledze elementy rachunku wektorowego, kiedy zadał mi zaskakujące pytanie: „Właściwie to czym jest iloczyn wektorowy i czemu ma taką postać? Skąd się wziął? Wyjaśnij mi mnożenie wektorów. Czemu raz jest tak, a raz inaczej?”. Więc skąd? Myślę sobie, że jak uczniowie chodzą do szkoły, to wierzą, że matematyka była zawsze w takiej formie, jaką ją obserwujemy, nie zastanawiając się nad jej pochodzeniem. Jak to więc było z tymi wektorami?
Dwie wielkie tradycje w historii nauki – matematyczna i fizyczna – zbiegając się w różnych okresach, spowodowały niesamowite odkrycia naukowe. Jedna z nich, matematyczna, zajmowała się liczbami, natomiast ta druga szukała obiektów i struktur, które będą w stanie opisać naszą rzeczywistość. W ramach tych dwóch tradycji przedstawiono trzy piękne idee, których rozwój doprowadził ostatecznie do analizy wektorowej. Jedną była znana już w starożytności idea, pierwowzór „równoległoboku” prędkości, którą między innymi opublikował Archimedes w swoim dziele O spiralach: „Jeżeli odcinek narysowany na płaszczyźnie obraca się ze stałą prędkością wokół jednego z końców, który jest utwierdzony i jeśli w tym samym czasie punkt porusza się wzdłuż tego odcinka z jednakową prędkością, zaczynając od utwierdzonego końca, to poruszający się punkt zakreśli spiralę” (ryc. 1).
Ideę tę dla dwóch działających sił zastosował Izaak Newton. W swojej Principia Mathematica napisał: „Ciało pod działaniem dwóch współdziałających sił opisze przekątną równoległoboku w tym samym czasie, w którym opisałoby jego boki [mające kierunki takie jak te siły i proporcjonalne do tych sił], pod działaniem tych sił wziętych z osobna” (ryc. 2).

Ryc. 2. Równoległobok sił...

Pozostałe 70% treści dostępne jest tylko dla Prenumeratorów.

Co zyskasz, kupując prenumeratę?
  • 6 wydań czasopisma "Matematyka"
  • Dostęp do wszystkich archiwalnych artykułów w wersji online
  • Możliwość pobrania materiałów dodatkowych, testów i zadań
  • ...i wiele więcej!
Sprawdź

Przypisy