Odczytując np. liczbę 0°C, wiem, że – niezależnie od położenia termometru – w miejscu, gdzie znajduje się zbiorniczek z rtęcią, temperatura powietrza jest taka sama jak temperatura zbiorniczka i wynosi 0°C. Mogę stwierdzić, że jedna liczba precyzyjnie dostarcza mi wszystkich potrzebnych informacji. Wiem wszystko o temperaturze powietrza w danym miejscu (pomijając lokalne fluktuacje i zmienność temperatury). A czy istnieją takie wielkości, którym nie wystarczy jedna liczba? Przyjrzyjmy się jeździe samochodem… Na prędkościomierzu wyświetla się wartość prędkości (lub pokazuje to wskazówka na skali). Co nam mówi ta wartość i czy mówi precyzyjnie? Załóżmy, że jedziemy z prędkością 120 km/h. Co to oznacza? Wartość ta informuje nas, że w danym momencie, gdybyśmy jechali, nie zmieniając prędkości, to przejedziemy w ciągu godziny 120 km. Ale co to znaczy: nie zmieniając prędkości? Pojawia się zakręt, łagodny, więc nie zdejmuję nogi z pedału gazu. Czy moja prędkość się zmieniła? Wartość pozostaje stała, ale zmienił się kierunek mojego ruchu. A czy ważne jest, skąd jadę i dokąd? Czy to istotne, czy jadę do Warszawy z Łodzi, czy z Białegostoku? Ktoś, czekając na mnie o umówionej godzinie, denerwując się, że mnie jeszcze nie ma, dzwoni do mnie i pyta, gdzie jestem. Ja mówię, że już biegnę… Hm… niezbyt dużo mu to mówi. On na przykład czeka w Galerii Łódzkiej, a ja biegnę w Częstochowie (to troszkę poczeka). Może być tak, że biegnę, ale w przeciwną stronę (uciekam od niego). A jeśli sobie biegam wokół Galerii Łódzkiej? Sami zauważamy, że istnieje potrzeba wprowadzenia innej wielkości, nie jednoliczbowej (skalarnej), lecz wektorowej – cokolwiek to znaczy...
POLECAMY
Właściwie wszystko zaczęło się przy pewnej kawie… Tłumaczyłem właśnie koledze elementy rachunku wektorowego, kiedy zadał mi zaskakujące pytanie: „Właściwie to czym jest iloczyn wektorowy i czemu ma taką postać? Skąd się wziął? Wyjaśnij mi mnożenie wektorów. Czemu raz jest tak, a raz inaczej?”. Więc skąd? Myślę sobie, że jak uczniowie chodzą do szkoły, to wierzą, że matematyka była zawsze w takiej formie, jaką ją obserwujemy, nie zastanawiając się nad jej pochodzeniem. Jak to więc było z tymi wektorami?
Dwie wielkie tradycje w historii nauki – matematyczna i fizyczna – zbiegając się w różnych okresach, spowodowały niesamowite odkrycia naukowe. Jedna z nich, matematyczna, zajmowała się liczbami, natomiast ta druga szukała obiektów i struktur, które będą w stanie opisać naszą rzeczywistość. W ramach tych dwóch tradycji przedstawiono trzy piękne idee, których rozwój doprowadził ostatecznie do analizy wektorowej. Jedną była znana już w starożytności idea, pierwowzór „równoległoboku” prędkości, którą między innymi opublikował Archimedes w swoim dziele O spiralach: „Jeżeli odcinek narysowany na płaszczyźnie obraca się ze stałą prędkością wokół jednego z końców, który jest utwierdzony i jeśli w tym samym czasie punkt porusza się wzdłuż tego odcinka z jednakową prędkością, zaczynając od utwierdzonego końca, to poruszający się punkt zakreśli spiralę” (ryc. 1).
Ideę tę dla dwóch działających sił zastosował Izaak Newton. W swojej Principia Mathematica napisał: „Ciało pod działaniem dwóch współdziałających sił opisze przekątną równoległoboku w tym samym czasie, w którym opisałoby jego boki [mające kierunki takie jak te siły i proporcjonalne do tych sił], pod działaniem tych sił wziętych z osobna” (ryc. 2).
Właściwie, jakby dorysować strzałki na końcach, to mamy dodawanie wektorów znane nam ze szkoły. Żeby dojść do wektorów, trzeba było jednak czegoś więcej.
Drugą ideą, która miała swój niebagatelny wpływ na rozwój analizy wektorowej, były rozważania Leibniza na temat tzw. analizy geometrii położenia. Hm… o co mu chodziło? Po prostu chciał zrobić to samo z przestrzenią co algebra uczyniła z liczbami. Jednym słowem, postawił pytanie: Jak opisać przestrzeń i obiekty w niej bez ich rysowania? Przecież i my dzisiaj, pisząc parę literek i cyferek, stwierdzamy, że dany wektor jest skierowany na północny wschód i ma długość 20 cm.
Główną ideę swojego pomysłu rozwinął w liście do Christiana Huygensa (tego od optyki geometrycznej). System Leibniza skupiał się na idei przystawania zbiorów punktów. Punkty ustalone przedstawiał za pomocą A, B, …, natomiast punkty nieznane za pomocą X, Y, … Symbol, który oznaczał przystawanie (kongruen-
cję – taki mądry wyraz), wyglądał jak 
.
Leibniz poszedł w swoich rozważaniach tak daleko, że może być uznany za prekursora pierwszych analityków wektorowych. Na rycinie 3 przedstawiono przykład kongruencji, gdy AY
A(Y) lub AB 
AY, czyli przy ustalonym punkcie A szukamy wszystkich punktów w odległości AB od A.
Niech drodzy Czytelnicy spróbują znaleźć samodzielnie opis płaszczyzny, prostej, punktu i sfery. W tym momencie jakiś nadgorliwy Czytelnik może szyderczo pokazać palcem i powiedzieć: to przez Ciebie, Gotfrydzie, mamy tyle literek w geometrii. No, trochę szacunku, a poza tym ktoś musiał to zacząć…
Trzecią wspaniałą ideą było przedstawienie geometryczne liczb zespolonych. Właściwie to system liczb zespolonych może być rozważany jako system wektorowy. Przyjrzyjmy się rozważaniom Wessela (ryc. 4).
Na podstawie rysunku możemy łatwo odkryć reguły mnożenia 1 i ε. Przecież to nic innego jak obroty (ryc. 5).
Najciekawsze okazuje się dopiero teraz, bo na podstawie naszych iloczynów możemy wyznaczyć, jaką wartość ma ε:
Czyli, jak widzimy, ε to nic innego jak jednostka urojona i. Wessel założył, że dowolna prosta na płaszczyźnie może być przedstawiona analitycznie za pomocą wyrażeń:
a + εb, i r(cos v + εsin v)
Wyrażenia te możemy mnożyć, dzielić i podnosić do potęgi.
Wessel skonstruował trzy wzajemnie prostopadłe linie, przechodzące przez środek sfery o promieniu r, wyróżnił trzy promienie sfery, współliniowe z tymi trzema liniami, i oznaczył je jako r, ηr i εr (ryc. 6).
W ten sposób można było wyznaczyć każdy punkt przestrzeni:
x + ηy + εz
Poprzez analogię do zwykłych liczb zespolonych Wessel zdefiniował:
εε = ηη = −1
Problem pojawił się przy składaniu obrotów, ponieważ Wessel nie wiedział, jak przedstawić ηε oraz εη. Trudności były ogromne. Wielu próbowało rozwiązać te problemy…
W 1805 roku w Dublinie urodziło się cudowne dziecko – William Rowan Hamilton. Nie dość, że znał więcej języków niż większość z nas (i to już w wieku 13 lat), to jeszcze otrzymał wszelkie możliwe zaszczyty za swoją matematyczną i fizyczną pasję, włączając w to Medal Royal Society. On też zainteresował się tym problemem. Najpierw, jak większość, poszukiwał rozszerzenia liczb zespolonych na trzy wymiary, szukając trójek liczb (tryplety, analogia do Wessela). Któregoś pięknego dnia (16 września 1843 roku), przechadzając się ze swoją żoną po moście Brougham Bridge, olśniła go szczęśliwa myśl: tak samo jak obwody elektryczne są zamknięte, tak samo można zamknąć mnożenie liczb (analogia do η i ε), tylko że trzech (i, j, k). Ten szczęśliwy pomysł uwiecznił na tym moście (taki drobny akt wandalizmu) (ryc. 7).
(źródło: Wikipedia)
I teraz się wszystko ułożyło…
Obiekt złożony z czwórki liczb nazwał kwaternionem:
q = t + ui + vj + wk
Jednostki i, j, k spełniają następujące związki:
i^2 = j^2 = k^2 = ijk = −1
oraz
ij = k, jk = i, ki = j
ji = −k, kj = −i, ik = −j
Rozbijając kwaterniony na część rzeczywistą i część z i, j, k, Hamilton wprowadził pojęcia skalar i wektor:
Q = t + iu + jv + kw = Scal.Q + Vec.Q = S.Q + V.Q = SQ + VQ
Ciekawe rzeczy, bardzo podobne do pewnych współczesnych związków, wyszły przy mnożeniu kwaternionów przez siebie.
Niech dane będą dwa kwaterniony:
oraz
Pomnóżmy je przez siebie:
Upraszczając (pamiętając o wszystkich związkach), otrzymujemy:
Przyjrzyjmy się dokładnie temu, co otrzymaliśmy. Zobaczmy, że jeśli z kwaternionów usuniemy t1 i t2, to otrzymamy sumę iloczynów znanych z programu szkoły średniej:
Możemy zapisać więc iloczyn kwaternionów jako:
gdzie:
mający postać iloczynu skalarnego, oraz
mający postać iloczynu wektorowego, jeśli tylko potraktujemy i, j, k jako wektory jednostkowe (wersory), które możemy przyporządkować ortogonalnym (prostopadłym do siebie) osiom odpowiednio x, y, z. I tak doszliśmy do iloczynów wektorów.
Dalej rozwój przebiegał już bardzo ładnie… Maxwell wprowadził kwaterniony do elektryczności i magnetyzmu w dziele Treatise on Electricity and Magnetism. Współczesną wersję analizy wektorowej opisał Gibbs w 1878 roku, publikując część 1 Elements of vector analysis, a 6 lat później wydając drugą część.
Tak to przebiegała – w wielkim skrócie – historia analizy wektorowej. I dlatego mamy takie, a nie inne postaci iloczynu skalarnego i wektorowego. No, ale kawa wystygła i trzeba dopić. Być może kiedyś, przy kolejnej kawie, omówimy inne wektorowe systemy stosowane w fizyce teoretycznej do dzisiaj, wśród których na szczególną uwagę zasługują systemy Clifforda i Grassmanna.
Bibliografia:
- Tai C.T., A historical study of vector analysis, The University of Michigan, Michigan 1995.
- Crowe M.J., A history of vector analysis, Dover Publications Inc, Nowy Jork 1967.
- Hamilton W.R., Elements of quaternions, Longmans, Green and CO, Londyn 1866.
- Heath T.L., Works of Archimedes, At the University Press, Cambridge 1897.
- Newton I., Matematyczne zasady filozofii przyrody, Copernicus Center Press, Kraków 2011.
- Leibniz G.W., Philosophical Papers and Letters, Wol. 2, Kluver Academic Publishers, 1969.
