Jeśli będziemy chcieli obliczyć dowolny logarytm, natkniemy się na trudności już na samym początku. Program nie posiada bowiem wbudowanego uniwersalnego narzędzia do obliczania logarytmów. W dostępnych funkcjach możemy odnaleźć jedynie logarytmy naturalny, dziesiętny i binarny. Wpisanie w Polu wprowadzania polecenia ln(w) albo log(w) (gdzie w jest dowolną liczbą) pozwoli nam na obliczenie logarytmu naturalnego z wybranej liczby w. Analogicznie, wpisanie polecenia ld(w) da nam wartość logarytmu o podstawie 2 z liczby w, a po wpisaniu lg(w) otrzymamy logarytm dziesiętny z tej liczby. W każdym z przypadków możemy także wygenerować wykres wybranej funkcji, wpisując ln(x), log(x), ld(x) lub lg(x). Patrząc jednak na to, że w podstawie logarytmu powinna móc się znaleźć dowolna liczba dodatnia różna od 1, musimy przyznać, że GeoGebra dość radykalnie zawęża zakres przypadków możliwych do rozpatrzenia. Chcąc pójść o krok dalej, musimy sięgnąć po wzór na zamianę podstawy logarytmu. Jest on wśród zagadnień poziomu rozszerzonego wymagań maturalnych, dlatego też pracując z uczniami poziomu podstawowego, musimy dać im gotowe narzędzie, bez analizowania sposobu, w jaki zostało ono przygotowane.
POLECAMY
W celu stworzenia takiego prostego „kalkulatora logarytmów” musimy określić dwie zmienne a i b, które pozwolą nam wprowadzać dowolne podstawy logarytmu i liczby logarytmowane. Wystarczy, że w Polu wprowadzania wpiszemy dwie dowolne liczby i zatwierdzimy je klawiszem Enter. Domyślnie zostaną one nazwane przez program literami a i b. Nie ma znaczenia, jakie wartości podamy na początku, ponieważ i tak będziemy chcieli je dowolnie zmieniać. Kiedy mamy już te zmienne, wprowadzamy Pole tekstowe , w opisie podajemy: „a =”, a jako Obiekt połączony wskazujemy w moim przypadku a = 2 (rys. 1). Podobnie postępujemy dla zmiennej b.
W ten sposób uzyskamy dwa okna, w których będziemy mogli wprowadzać dowolnie wybrane liczby dla logarytmu, którego wartość chcemy obliczyć. Liczby te możemy zmieniać po kliknięciu w wybrane okienko. Jest to bardzo wygodny sposób na częstą zmianę danych przez użytkownika pliku. Okienka te możemy opisać stosownymi komentarzami (rys. 2).
Pozostaje nam teraz napisać formułę, która pozwoli na obliczanie logarytmu. Wybieramy w tym celu polecenie Wstaw tekst i w oknie, które się pojawi, zaznaczamy Formułę LaTeX, która pozwala między innymi na swobodne stosowanie indeksów dolnych, a następnie wpisujemy: log_{a}b = ln(b) / ln(a).
Przypomnę tylko, że zmienne i tekst znajdujące się w ramkach muszą zostać wprowadzone jako Obiekty (rozwijalna lista dostępna jest po prawej stronie okna widocznego przy wpisywaniu tekstu). Na ekranie otrzymujemy napis widoczny też w podglądzie, który możemy dowolnie formatować (rys. 3).
W opisany sposób otrzymujemy mały „kalkulator”, pozwalający obliczać dowolne logarytmy. Jednak ponieważ w tak przygotowanym pliku nie ma żadnego ograniczenia we wprowadzaniu liczb w aktywne okienka (jako zmienne a i b), to musimy pamiętać, że może się zdarzyć użytkownik, który wpisze tam liczby ujemne albo liczbę 1 przy zmiennej a w podstawie logarytmu. Powinniśmy wprowadzić więc kilka zabezpieczeń. Przede wszystkim tekst, który wyświetla obliczoną wartość logarytmu, możemy pokazywać tylko w określonych warunkach. W tym celu w jego Właściwościach w zakładce Zaawansowane wpisujemy jako Warunek wyświetlania obiektu: (a > 0) ∧ (b > 0) ∧ (a ≠ 1). Wówczas program nic nie wyświetli, kiedy uczeń wpisze niepoprawne dane wejściowe.
Jednak warto wprowadzić także komentarze informujące go wówczas o popełnionym błędzie. W tym celu wpisujemy na przykład tekst: Podstawa logarytmu musi być liczbą dodatnią i różną od 1 i jako Warunek wyświetlania obiektu podajemy: (a ≤ 0) ∨ a = 1. Podobnie opisujemy zmienną b (rys. 4). W ten sposób nasz „kalkulator” jest gotowy i możemy przekazać go uczniom.
Aby stworzyć spójny plik całościowo obrazujący pojęcie logarytmu, możemy dodatkowo w Widoku grafiki 2 umieścić wykres funkcji logarytmicznej dla logarytmu o podstawie określonej w powyższym przykładzie. Do wygenerowania wykresu wystarczy wpisać w Polu wprowadzania formułę: ln(x) / ln(a). Oczywiście, dodatkowo możemy umieścić obok wykresu wzór funkcji, a także wprowadzić punkt, który będzie obrazował wartość logarytmu obliczoną dla konkretnej liczby podanej powyżej. Wówczas musimy wpisać formułę: (b, f(b)). Otrzymujemy gotowy plik z wykresem funkcji logarytmicznej (rys. 5).
Wykorzystując tak przygotowany rysunek interaktywny, możemy również obserwować z uczniami własności funkcji i określać położenie jej wykresu w zależności od podstawy logarytmu. Oczywiście, dla samej obserwacji podobny plik możemy wykonać osobno, wprowadzając suwak i za jego pomocą określając podstawę logarytmu.
Bez wątpienia poza samym obliczaniem logarytmów oraz rysowaniem wykresów funkcji logarytmicznych zagadnienie to jest bardzo bogate w różnorodne zadania. Nie sposób wprost opisać tu wszystkich ich typów.
Do rozwiązywania wielu z nich możemy użyć GeoGebry jako programu wspierającego ten proces. Przygotowany wcześniej plik od razu doskonale nadaje się na przykład do obrazowania rozwiązania niektórych równań i nierówności. Na przykład ilustrację graficzną nierówności log0,3x > log0,39 uzyskamy, wpisując za a wartość 0.3 (w GeoGebrze jako separatora w ułamkach dziesiętnych używamy kropki, a nie przecinka), a za b wartość 9. Dodatkowo możemy narysować prostą prostopadłą do osi y i przechodzącą przez zaznaczony punkt na wykresie oraz zacieniować interesującą nas część płaszczyzny. Wystarczy, że w Polu wprowadzania wpiszemy w tym celu warunek: y > f(b) (rys. 6).
Mając już zdefiniowaną funkcję f, pozwalającą na generowanie dowolnych funkcji logarytmicznych, możemy w łatwy sposób zająć się przekształceniami ich wykresów. Wystarczy wpisywać kolejno interesujące nas modyfikacje, na przykład abs(f), −f, f(−x), f(abs(x)) czy też f(1/x) (rys. 7).
Opisałam jedynie kilka przykładów zastosowanie GeoGebry dla logarytmów. Jednak ze względu na wielość i różnorodność zadań pozostawię tutaj czytelnikom poszukiwanie ciekawych pomysłów na jeszcze inne sposoby wykorzystania programu, życząc samych ciekawych rozwiązań.
