Dołącz do czytelników
Brak wyników

Otwarty dostęp , Temat numeru

17 września 2021

NR 51 (Wrzesień 2021)

Nauczanie matematyki przez doświadczenie i odniesienie do rzeczywistości

0 72

Matematyka nie jest nauką doświadczalną, ale sama jest doświadczeniem. Zarówno doświadczeniem całej ludzkości, jak i doświadczeniem każdego „liczącego człowieka” z osobna. Użyłem tu cudzysłowu, gdyż daleki jestem od twierdzenia, że całą matematykę da się sprowadzić do rachunkowych recept, chociaż z drugiej strony praktyczne wykonywanie rachunków – czyli liczenie właśnie – stanowi istotny element tego, co nazwałbym indywidualnym doświadczeniem matematycznym.
M. Heller

Każdy z nauczycieli uczących matematyki (celowo nie używam tu określenia „matematyk”, gdyż omawiane zagadnienia w znacznym stopniu dotyczą również nauczycieli wczesnoszkolnych) musi zdawać sobie sprawę, że pozostawanie jedynie na poziomie symbolicznym, teoretycznym w nauczaniu matematyki, bezrefleksyjne, automatyczne rozwiązywanie zadań nie wykształci w uczniach umiejętności logicznego myślenia, argumentacji, wyciągania wniosków, samodzielności w myśleniu. Matematyka nie jest zbiorem encyklopedycznych pojęć i twierdzeń, których można wyuczyć się na pamięć – dostarcza nam ona wielu pożytecznych narzędzi, które pozwalają na dostrzeżenie zasad i logicznych konsekwencji w otaczającym nas świecie. W sposób naturalny pojawia się więc pytanie: w jaki sposób wyposażyć uczniów w umiejętności opisane powyżej na bazie podstawy programowej kształcenia ogólnego w zakresie matematyki? Odpowiedź na tak postawione pytanie nie jest jednoznaczna i oczywista, a przede wszystkim nie jest możliwa bez uwzględnienia wieku odbiorców i ich rozwoju myślowego. 

POLECAMY

Nauczanie matematyki w szkole podstawowej z uwzględnieniem teorii Piageta

Według szwajcarskiego psychologa Jeana Piageta dziecięce poznanie świata zależne jest od etapu intelektualnego, na którym się ono znajduje. Rozróżnia on następujące fazy rozwoju myślenia u dziecka:

  1. Faza sensoryczno-motoryczna (0–2 lata) – poznawanie poprzez zmysły.
  2. Faza przedoperacyjna (2–6 lat) – intensywnie rozwija się pamięć, dzieci zaczynają używać przedmiotów i pojęć w sposób symboliczny, dziecko klasyfikuje przedmioty, przelicza je, następuje rozwój prostego rozumowania logicznego.
  3. Faza operacji konkretnych (6–12 lat) – dziecko potrafi logicznie myśleć, dostrzegać związki przyczynowo-skutkowe, jednak nadal potrzebuje konkretnych przykładów i odwołania do rzeczywistości, może mieć problem z abstrakcyjnym myśleniem.
  4. Faza operacji formalnych (powyżej 12 lat) – następuje rozwój myślenia abstrakcyjnego, pozwalający na przekraczanie granic, wyciąganie wniosków bez konkretnej reprezentacji pojęć w rzeczywistości.

Jak widzimy, okres szkoły podstawowej obejmuje trzy ostatnie etapy wyróżnione przez Piageta. Myślenie abstrakcyjne według tej koncepcji rozwija się w pełni dopiero około szóstej klasy szkoły podstawowej, z możliwymi przesunięciami w górę lub dół w zależności od indywidualnych predyspozycji uczniów. Naturalne wydaje się więc, że na tym etapie nauczanie matematyki powinno opierać się przede wszystkim na doświadczeniu, pokazywaniu pojęć i własności matematycznych na konkretach, jak najbardziej odnoszących się do rzeczywistości. 

Klasy I–III

W klasach I–III uczniowie często uczą się matematyki „przy okazji” wykonywania innych czynności. Najskuteczniej wprowadza się wówczas pojęcia matematycznie, gdy aktywności umysłowej towarzyszy aktywność fizyczna.
W podręcznikach do nauczania wczesnoszkolnego jest dużo zadań odnoszących się do rzeczywistości. Mnie jednak brakuje zagadnień otwartych, takich, w których uczeń nie ma narzuconego pytania, a sam może je sformułować. Nie każdy uczeń poradziłby sobie z tak postawionym zadaniem, to jeszcze wczesny etap kształtowania myślenia matematycznego. Warto jednak już na tym etapie wspomagać pierwsze próby samodzielnego formułowania problemu i wyciągania wniosków.
 

Przykład 1

Każdy z uczniów otrzymuje określoną, tę samą liczbę cukierków. Losuje kartkę z liczbą od 1 do 10. Oddaje koledze z ławki tyle cukierków, ile wskazuje liczba. Jakie pytania możemy sformułować w tej sytuacji?

  • Jak obliczyć, ile cukierków ci zostało?
  • Jak obliczyć, ile cukierków ma teraz twój kolega?
  • Co się stanie, gdy oddasz wszystkie cukierki?
  • Czy zadanie można zawsze wykonać?


Klasy IV–VI

Wydaje się, że zarówno autorzy podręczników, jak i nauczyciele wczesnoszkolni rozumieją wagę poznawania matematyki poprzez konkrety. Być może jest to łatwiejsze do osiągnięcia w zagadnieniach omawianych na tym poziomie. Nie zapominajmy jednak, że uczniowie klas IV–VI nie mają jeszcze w pełni ukształtowanego myślenia abstrakcyjnego. Na tym etapie nauczyciel powinien jak najczęściej stawiać uczniowi problemy praktyczne, które dałoby się sformalizować i doprowadzić do definicji lub własności danego obiektu matematycznego. Nauczyciel nie powinien od razu przechodzić na poziom abstrakcji, pomijając lub bagatelizując praktyczny aspekt danego zagadnienia. Konieczne jest odwołanie się do wyobraźni ucznia, zwizualizowanie danego pojęcia. Jak zauważyli w swojej książce J. Filip i T. Rams, poprzez matematyzację, tzn. uporządkowanie pewnej rzeczywistości za pomocą środków matematycznych, przechodzimy łagodnie na kolejne poziomy abstrakcji. Uczeń w pierwszym etapie rozwiązywania zadania przedstawia rzeczywistość za pomocą języka matematyki, tworzy model matematyczny, schemat – coś pośredniego pomiędzy obserwacją i doświadczeniem a abstrakcją. Dzięki temu wyraźnie widzi odniesienie matematyki do rzeczywistości i łagodniej przechodzi na wyższy stopień abstrakcji.
 

Ryc. 1. Droga pomiędzy sytuacją rzeczywistą, schematem, teoretycznym rozwiązaniem zagadnienia abstrakcyjnego a powrotem do rzeczywistości


Drogę pomiędzy sytuacją rzeczywistą, schematem, teoretycznym rozwiązaniem zagadnienia abstrakcyjnego a powrotem do rzeczywistości ukazuje diagram (ryc. 1).
 

Przykład 2

W nauce ułamków zwykłych bardzo przydatne okazują się klocki Lego. 

 


Klasy VII–VIII

W klasach VII–VIII pojęcia, własności i twierdzenia są już bardziej skomplikowane. Celem każdego nauczyciela jest to, aby uczeń rozumiał omawiane pojęcie i umiał je zastosować. Jak zatem wprowadzić nową własność lub sformułować twierdzenie? Nauczyciel może to zrobić na dwa sposoby: 

  • samodzielnie lub z pomocą podręcznika wyjaśnić pojęcie wraz z podaniem adekwatnych przykładów,
  • sprowokować do własnej aktywności ucznia, który przy wsparciu nauczyciela samodzielnie wyciągnie wnioski, sformułuje definicję lub twierdzenie.

Nie bagatelizowałabym żadnego z tych dwóch sposobów. Oba są równie ważne w procesie dydaktycznym. Należy jedynie umiejętnie dobierać sposób omawiania zagadnienia do jego specyfiki, do poziomu klasy, wagi danego zagadnienia i jego związków z wcześniej omawianymi tematami. Należy zadbać, aby odniesienia do rzeczywistości lub eksperymenty były wprowadzane w sposób naturalny tam, gdzie zastosowanie ich pomoże nam osiągnąć założony cel. Zawsze jednak należy podkreślać, że doświadczenie służy nam do zaobserwowania pewnych właściwości i wysnucia hipotezy, nie jest natomiast dowodem matematycznym – jeżeli na podstawie obserwacji zauważymy pewną prawidłowość, to należy ją jeszcze uzasadnić w sposób matematyczny.
 

Przykład 3

Uczniowie przynoszą z domu okrągłe przedmioty i centymetr krawiecki. Mierzą obwód przedmiotów i jego średnicę. Obliczają stosunek obwodu do średnicy. Wyciągają wnioski.
Oczywiście, samo oznaczenie liczby π musi zostać wprowadzone przez nauczyciela. Warto również, aby uczniowie zastanowili się, skąd się biorą niewielkie rozbieżności w otrzymywanych wynikach.

 

Przykład 4

Nauczyciel ustawia przedmioty zbliżonej wysokości w odległości, która nie pozwala stwierdzić, które z nich są równe, a źródło światła tak, aby światło padało pod tym samym kątem na każdy z przedmiotów. Uczniowie mają do dyspozycji linijkę. Nie mogą zmierzyć przedmiotu. 
Pytania kierowane do uczniów:
Jak stwierdzić, czy któreś z przedmiotów są równej długości?
Uczniowie mierzą cień. Jeśli dwa cienie są równej długości, to przedmioty mają tę samą wysokość.
Z czego to wynika?
Z przystawania trójkątów, z cechy kąt – bok – kąt. 
Co musimy uwzględnić przy doświadczeniu?
Błąd pomiaru. 


W przypadku klas starszych nauczanie poprzez doświadczenie nie musi opierać się już na rzeczywistych obiektach. Możliwe jest przeprowadzanie doświadczenia na poziomie abstrakcji, korzystając z pojęć i zależności, które były już wcześniej omawiane. Przypomnijmy, że prawidłowo wykonane doświadczenie powinno zawierać wszystkie z niżej wymienionych elementów:

  • obserwacja i zaintrygowanie uczniów problemem,
  • sformułowanie problemu badawczego,
  • hipoteza badawcza,
  • weryfikacja hipotezy,
  • zastosowanie.

W przypadku dwóch kolejnych przykładów ważne jest, aby po postawieniu hipotezy otrzymanej w wyniku doświadczenia zweryfikować ją w sposób matematyczny. Niedopuszczalne jest utrwalanie przekonania, że kilka udanych prób świadczy o pozytywnej weryfikacji hipotezy.
 

Przykład 5

Narysuj dwie proste równoległe. Przetnij je trzecią prostą. Zmierz kątomierzem powstałe kąty ostre i rozwarte. Co możesz powiedzieć o tych kątach?

 

Przykład 6

Każdy wielokąt wypukły można podzielić na trójkąty, prowadząc wszystkie przekątne z jednego ustalonego wierzchołka. Narysuj kilka wielokątów o różnej liczbie boków. Podziel je na trójkąty w sposób opisany wyżej. Co powiesz o sumie kątów w dowolnym wielokącie?


Nauczanie poprzez doświadczenie w szkole ponadpodstawowej

Piętnastolatkowie, którzy zostają uczniami szkół ponadpodstawowych, mają już w pełni rozwinięte rozumowanie abstrakcyjne. Pojęcia, które są omawiane na tym etapie są już na tyle złożone i abstrakcyjne, że nie zawsze możliwe jest odniesienie do rzeczywistości. Nie znaczy to jednak, że należy nastawić się jedynie na wykład i metodę podawczą. Z pomocą przychodzą tu programy komputerowe, w tym GeoGebra, dość proste w obsłudze, a pozwalające uczniom wyciągać samodzielnie wnioski poprzez doświadczenie.
 

Przykład 7

W programie G...

Artykuł jest dostępny w całości tylko dla zalogowanych użytkowników.

Jak uzyskać dostęp? Wystarczy, że założysz bezpłatne konto lub zalogujesz się.
Czeka na Ciebie pakiet inspirujących materiałow pokazowych.
Załóż bezpłatne konto Zaloguj się

Przypisy