Najważniejszym i najczęściej występującym elementem gerehów są rozmaite gwiazdy. Nie zostały one jednak wymyślone przez islamskich artystów czy budowniczych – pojawiają się we wszystkich kulturach, od prymitywnych kultur Pacyfiku, poprzez antyczne kultury Asyrii, Egiptu i Grecji, aż do czasów nam współczesnych. W pewnych kulturach gwiazdy zbudowane są z odcinków, w innych z łuków, a w jeszcze innych są stylizowane na elementy roślinne. Gwiazdy są najprostszym graficznym wyrażeniem matematycznego pojęcia symetrii obrotowej. W sztuce islamu mamy szczególne bogactwo zarówno gwiazd, jak i mniej lub bardziej skomplikowanych tworów mających symetrie lokalne. Przypominam, w poprzednich szkicach często używaliśmy symbolu Dn, np. D8 czy D10, na wyrażenie faktu, że dany obiekt ma symetrię lokalną o krotności n, w szczególności n = 8 lub n = 10.
POLECAMY
Symbol D pochodzi od słowa „dihedral”, angielskiego określenia symetrii wielokątów foremnych. O wszelkiego rodzaju symetriach czytelnik może się wiele dowiedzieć ze znakomitej książki Stanisława Jaśkowskiego (Jaśkowski, 1952).
Konstrukcje różnych gwiazd mieliśmy w większości dotychczasowych projektów i przykładów. Przypomnijmy, jak to do tej pory robiliśmy. W załączonym przykładzie skonstruujemy bardzo prosty gereh. Z powodu jego prostoty nie znajdziemy go w żadnej z zabytkowych budowli, ale nam on wystarczy do tego, aby zademonstrować konstrukcję gwiazdy.
Teraz popatrzmy na nieco inne podejście do konstrukcji gwiazdy. Zauważmy, że gwiazdy konstruujemy zazwyczaj w wielokącie foremnym, często o dużej liczbie boków. Taki wielokąt może być podzielony swoimi przekątnymi na odpowiednią liczbę trójkątów mających jeden punkt wspólny w centrum wielokąta. W takim razie wystarczy skonstruować fragment gwiazdy w jednym z trójkątów, a następnie skopiować ten fragment do wszystkich pozostałych trójkątów. Nie jest to specjalnie duże ułatwienie, ale takie podejście będzie za chwilę użyteczne – gdy zaczniemy konstruować rozety.
Proponuję, abyśmy jeszcze raz wykonali omówiony przed chwilą przykład, tym razem biorąc inną pierwszą linię. W ten sposób stworzymy gereh zbudowany na tej samej teselacji, ale wzór będzie nieco inny.
Możliwości twórczych w tym przykładzie jest tak wiele, że opisanie ich mogłoby zająć kilkanaście stron tekstu.
Pokazana na kolejnym zdjęciu tablica pochodzi z dziedzińca madrasy Tilia Kori z kompleksu architektonicznego Registan, co w języku perskim znaczy „piaskowe miejsce” lub „pustynia”, w Samarkandzie. Takich tablic jest na tym dziedzińcu kilka i sądząc zarówno po wysokości ich umieszczenia, jak i po brakującym elemencie na środku płyty, prawdopodobnie służyły do przywiązywania koni.
Madrasa Tilia Kori (1646–1660) jest jedną z trzech wielkich budowli położonych przy ogromnym placu. Pozostałe dwie budowle kompleksu Registan to madrasy Uług Bega (1417–1420) i Sher-dor (1619–1636).
Uług Beg był bardzo ciekawą postacią w historii Azji Środkowej. Urodził się 22 marca 1394 r. w miejscowości Sultaniyeh w Persii, zmarł natomiast 27 września 1449 r. w Samarkandzie.
Powszechnie jest czczony jako jeden z największych władców dynastii Timurów. Warto jednakże nadmienić, że Uług Beg był również matematykiem (Матвuевская 1997), astronomem i sponsorem nauk.
Oto, co znajdziemy na jego temat w polskiej Wikipedii:
Najważniejszą dziedziną patronatu Uług Bega, w której wniósł on także swój osobisty wkład, były astronomia i matematyka. Do rozbudzenia zainteresowania nimi być może przyczyniła się dziecięca wizyta pozostałości Obserwatorium w Maraghe, niegdyś kierowanego przez Tusiego. Uług Beg zebrał wokół siebie grupę sześćdziesięciu lub siedemdziesięciu uczonych zaangażowanych w wytwarzanie instrumentów naukowych i dyskusje nad astronomicznymi i matematycznymi problemami, włącznie z teoriami stworzonymi przez Tusiego w Maraghe. W madrasie ufundowanej przez Uług Bega w Samarkandzie inaczej niż w innych madrasach matematyka i astronomia były jednymi z najważniejszych przedmiotów. Głównym profesorem madrasy był Kadizade Rumi, prawdopodobnie odpowiedzialny za wprowadzenie matematyki i astronomii do programu nauczania. Za najwybitniejszego uczonego z kręgu Uług Bega uchodzi natomiast Ghijas ad-Din Kaszi, który przybył z Kaszanu ok. roku 1420. Szybko stał się on wiodącą figurą miejscowej naukowej społeczności i wynalazł kilka instrumentów dla obserwatorium, w tym przede wszystkim planetarne equatorium. Z zachowanych listów Kasziego wiemy, iż Uług Beg był osobiście zaangażowany w zatrudnianie uczonych i brał aktywny udział w seminariach, prezentując znakomitą orientację w matematyce i astronomii. (//pl.wikipedia.org/wiki/Uług_Beg).
Madrasa Tilia Kori jest ostatnią z wielkich madras Regestanu. Jej nazwa znaczy „złocona”. Odzwierciedla się to w niezwykłych złoceniach głównego holu meczetu znajdującego się na terenie tej madrasy.
Po zwiedzeniu większości znanych budowli Uzbekistanu mogę śmiało powiedzieć, że złoto i niebiesko zdobione strop i kopuła nie mają równych w całym kraju. Nie spotkałem również nic podobnego w innych krajach muzułmańskich.
Wróćmy jednak do kamiennej płyty pokazanej na zdjęciu. Takich płyt na dziedzińcu Tilia Kori jest kilka. Każda z nich jest mocno zniszczona przez lata używania i ozdobiona ciekawym wzorem geometrycznym.
Znajdziemy tam swoisty przegląd gerehów z Azji Środkowej. Są tam wzory o symetrii zarówno D10 i D8, jak i D12. Ten ostatni wykorzystamy w tym projekcie.
Oto skrócona konstrukcja wzoru. Czytelnika zachęcam do samodzielnego odtworzenia tego gerehu, krok po kroku, poczynając od konstrukcji konturu C(1/3) do kompletnej teselacji i wreszcie do wypełnienia teselacji wzorem.
W sztuce islamu (w innych również) możemy spotkać bardziej lub mniej rozbudowane gwiazdy. Szczególnie te o dużej liczbie ramion mogą wyglądać bardzo atrakcyjnie. Tu mamy dwa takie przykłady. Oba są zbudowane na teselacji, którą znalazłem u Keplera. Interesujące jest to, że ta sama teselacja pojawia się na zwojach architektów z Azji Środkowej znacznie wcześniej niż u Keplera.
Uważnie analizując konstrukcję z poprzedniego projektu, możemy zauważyć, że gwiazdy w ornamentach geometrycznych najczęściej mają jeden, czasem dwa okółki płatków. Jest to związane z dwoma czynnikami.
Pierwszym z nich jest kąt, pod jakim pierwsza linia wkracza do wielokąta foremnego. Zbyt ostry kąt powoduje, że pierwsza linia przecina niewiele z przekątnych i średnic wielokąta. Drugim czynnikiem jest liczba przekątnych i średnic, jakie mamy w wielokącie, a zatem również jego lokalne symetrie. Powstaje zatem pytanie, jakie możliwości kryją się w teselacji, jeśli mamy w niej wielokąt foremny o dużej liczbie boków, np. 20. Czy w takiej sytuacji będziemy mogli stworzyć gwiazdę z większą liczbą pierścieni płatków? Popatrzmy na bardzo ładny przykład. Teselacja w tym przykładzie pochodzi z księgi Keplera – Harmonice Mundi (tom 2), wydanej w 1619 r. My wykorzystamy teselację Keplera, aby stworzyć gwiazdę o czterech okółkach płatków. Na początek zacznijmy od konstrukcji samej teselacji. Kepler oznaczył ją symbolem Ll i pokazuje w dowodzie twierdzenia XX (cz. 3), że taka teselacja nie może być użyta do pokrycia płaszczyzny wielokątami regularnymi. Nam nie będzie to w niczym przeszkadzać, ponieważ nie zakładamy, że wszystkie figury teselacji muszą być regularne. Nieregularność tych figur będzie wymagała tylko marginalnych uzupełnień wzoru.
Literatura:
- Jaśkowski S., O symetrii w zdobnictwie i przyrodzie, PZWS, Warszawa 1952.
- Kepler J., The five books of Kepler’s Harmony of the World, wydawca nieznany (książka antykwaryczna, bez okładki i stron tytułowych), angielskie tłumaczenie dzieł Keplera wydanych w 1619 roku na koszt księgarza Gotfreeda Tampacha z Linz.
- Ekhtiar, Maryam i Claire Moore (red.), A Resource for Educators, In Art of the Islamic World. New York: The Metropolitan Museum of Art, 2012, s. 86–87.
- Матвuевская Г.П, Соколовская 3.К., Улугбек, Наука, Научно-биографическая литература, Москва 1997.
