Praktycznie uczymy się całe życie, ale okres szkolny wywiera największe piętno na przyszłości jednostki. Tu największą rolę odgrywa nauczyciel, a jest to rola trudna i odpowiedzialna. I nie powinno tu chodzić o wychowanie szarej masy przeciętniaków, którym zależy tylko na zdaniu egzaminu, aby potem zapomnieć, czego się uczyli. Nauczyciel powinien mieć zdolność pobudzania zainteresowań i inspirowania ucznia do samodzielnego studiowania jakiegoś tematu. To wymaga czasem działań niestandardowych.
W języku angielskim mówi się „to think outside the box”, a w niemieckim – „über den Tellerrand schauen”. Co mam na myśli? – popatrzmy na prosty przykład: twierdzenie Pitagorasa a2 + b2 = c2, bardzo ważne w geometrii. Wszyscy mieliśmy z nim do czynienia. Przypuszczam jednak, że nie jest ono tak często widziane jako równanie diofantyczne. A twierdzenie odwrotne? Już samo jego sformułowanie jest ciekawym zajęciem, nie wspominając o jego udowodnieniu.
Uświadomienie uczniowi, niekoniecznie każdemu, że wiedza nie kończy się na podręczniku szkolnym, może być przyczynkiem do innego patrzenia na jakiś problem – bardziej kompleksowego, wieloaspektowego i krytycznego, co często przydaje się w przyszłej pracy zawodowej.
W moich artykułach zajmuję się głównie geometrią 3D (stereometrią). Ta dziedzina wymagająca i jednocześnie rozwijająca wyobraźnię przestrzenną. Tu mała dygresja. Na pierwszym roku moich studiów profesor od geometrii wykreślnej – prof. Konrad Dyba – miał zwyczaj sprawdzania wyobraźni przestrzennej studentów prostym testem: „Dane są trzy proste wichrowate w przestrzeni. Wyznaczyć czwartą prostą, która te trzy dane przecina”. Należało to rozwiązywać w głowie. Ba, nawet zrobienie dobrego rysunku nie jest tu takie łatwe. Zadanie to przestaje być trudne, jeśli uświadomimy sobie podstawowe aksjomaty geometrii przestrzennej. Większość studentów nie dawała sobie jednak z nim rady. W szkole średniej stereometrię traktowano często po macoszemu. Kształtowanie wyobraźni przestrzennej bywało zaniedbywane i wielu absolwentów miało z tym problemy.
W moich artykułach zajmuję się głównie regularnymi formami przestrzennymi, które są interesujące pod wieloma względami, a także są estetyczne, co nie jest bez znaczenia.
Regularne formy 3D to takie, które zawierają trzy wzajemnie prostopadłe, równowartościowe i wymienne osie obrotu, dwu- lub czterokrotne, mające wspólny punkt. Takimi formami są m.in. bryły platońskie, archimedesowe i Catalana, ale np. graniastosłupy już nie (z wyjątkiem jednego). Także wielościany Johnsona nie są regularne.
Aby lepiej poznać własności i wzajemne relacje między formami regularnymi, warto nimi się „bawić”, a więc próbować je modyfikować, rozbudowywać itp., czyli robić więcej niż tylko obliczanie powierzchni czy objętości.
POLECAMY
Spróbujmy przykładowo zbudować na każdej ścianie brył platońskich pramidy, których ściany boczne są trójkątami równobocznymi.
W przypadku ośmiościanu foremnego piramidy są czworościanami foremnymi. Otrzymamy znaną gwiazdę ośmioramienną, zwaną też stella octangula (ryc. 1).
Przesuwając ostre wierzchołki do punktów środkowych czworościanów, powstaje dwunastościan rombowy (ryc. 2).
Warto przy tym zauważyć, że środek w trójkącie foremnym dzieli wysokości w stosunku 1 : 2, a w czworościanie foremnym 1 : 3. Ciekawe formy powstają przez łączenie wielościanów regularnych ze sobą ścianami po angielsku: „face to face”). W ten sposób można zbudować z czworościanów foremnych bardzo ładny wielościan niewypukły i nieskończenie długi – helisę czworościanową (ryc. 3). W internecie można znaleźć o niej wiele informacji. Nazwana jest tam w wielu językach „tetrahelix” lub „Boerdijk-Coxeter helix”.
Profesor Hugo Steinhaus przypuszczał, że niemożliwe jest utworzenie zamkniętego łańcucha poprzez sklejenie ze sobą czworościanów foremnych. Udowodnił to Stanisław Świerczkowski, niedawno zmarły polski matematyk. Ciekawą pracę na ten temat opublikowali dwa lata temu dwaj amerykańscy matematycy – Michael Elgersma i Stan Wagon, którą można znaleźć w internecie.
Z czterema pozostałymi bryłami platońskimi jest to możliwe.
Już cztery sześciany tworzą zamknięty łańcuch. Osiem brył wystarczy, aby stworzyć najkrótszy łańcuch z ośmiościanów, dwnastościanów (ryc. 4) i dwudziestościanów foremnych. Takie łańcuchy nazywane są też wielościanami toroidalnymi Stewarta.
Ładny i bardziej symetryczny, bo z trzykrotną osią obrotu, jest łańcuch utworzony z 12 dwudziestościanów foremnych (ryc. 5).
Możemy go rozbudować – otrzymamy wówczas regularny wielościan toroidalny (ryc. 6).
Bryły w kolorze żółtym pełnią w tych wielościanach funkcję antypryzm (antygraniastosłupów).
Gdy w wielościanie toroidalnym z ryc. 6 wymienimy żółte dwudziestościany foremne na antypryzmy trójkątne, to wielościan ten będzie wyglądał tak, jak na ryc. 7.
Na konferencji matematycznej w Toruniu w 2009 roku Adam Kominiak, nauczyciel matematyki w XX LO w Łodzi, pokazał zbiór ładnych wielościanów toroidalnych wykonanych przez jego uczniów.
