Dołącz do czytelników
Brak wyników

Matematyka inaczej

6 lutego 2019

NR 36 (Styczeń 2019)

Siatki wielościanów w GeoGebrze

0 198

Kto z nauczycieli nie chciałby w trakcie prezentowania na lekcji stereometrii w szkole podstawowej lub liceum znanych wielościanów objętych programem nauczania i ich własności wzbogacić lekcji dynamicznym pokazem siatek tych wielościanów, wydrukować ich uczniom i rozdać do domu w celu ich sklejenia? To byłaby idealna lekcja stereometrii...

Na takiej lekcji właśnie uczniowie mogliby dotknąć te wielościany, obejrzeć je z różnych stron, a używając odpowiedniej recepturki – poszukiwać ich przekroje. Ponadto ćwiczyliby swoją wyobraźnię, gdyż oglądanie martwego obrazu nieudolnie kreślonego na tablicy przez wiele cennych minut lekcji jest czystą stratą czasu i pozbawia ich tego, co doświadczą w omówiony przed chwilą sposób. Oczywiście, sprawa kreślenia odręcznego rzutów wielościanów to niezwykle ważna i cenna umiejętność, ale o tym innym razem.
Dysponując rzutnikiem i aktywną na lekcji GeoGebrą, możemy w pełni realizować dynamiczną prezentację wielościanów. Program opcjonalnie oferuje całą gamę ostrosłupów, graniastosłupów oraz wielościanów platońskich. Czasem nawet wystarczy wskazać dwa wierzchołki takiego obiektu i dodatkowo jego wysokość lub inny parametr.
Możemy wtedy zadawać uczniom pytania typu: „Jakie wielokąty tworzą rzuty wielościanu, który widzisz na ekranie?”, „Czy to jest rzut perspektywiczny, czy równoległy tego wielościanu?”, „Ile ścian (wierzchołków, krawędzi) ma ten wielościan?”, „Jak należałoby ułożyć ten sześcian, by jego rzutem był sześciokąt foremny?”.
Jeśli chodzi o siatki ostrosłupów i graniastosłupów, to sprawa jest prosta. Wystarczy wywołać w menu programu narzędzie Siatka i wskazać utworzony w programie wielościan.
Siatkę czworościanu i sześcianu tworzymy po ich wywołaniu odpowiednio z ikon z menu programu.
Siatki ośmiościanu, dwunastościanu i dwudziestościanu uzyskujemy w ten sam sposób po ich wcześniejszym utworzeniu za pomocą poleceń:

Dla ośmiościanu: Ośmiościan[ , ]
Ośmiościan[ , , ]
Ośmiościan[ , , ]
Dla dwunastościanu: Dwunastościan[ , ]
Dwunastościan[ , , ]
Dwunastościan[ , , ]
Dla dwudziestościanu: Dwudziestościan[ , ]
Dwudziestościan[ , , ]
Dwudziestościan[ , , ]

A jak utworzyć dynamiczne konstrukcje rozwijanych siatek innych wielościanów, np. archimedesowych? Pokażemy to na konkretnym przykładzie sześcioośmiościanu – ryc. 1.
Wielościany Archimedesa mają ważną własność, którą tutaj wykorzystamy: nie tylko ich krawędzie są tej samej długości, a ściany są wielokątami foremnymi (choć niekoniecznie tego samego rodzaju), ale też wszystkie naroża tych wielościanów są przystające.
To oznacza, że kąty dwuścienne przy wszystkich krawędziach są tej samej miary. To jest wskazówka do rozwiązania naszego zadania, bowiem wystarczy skonstruować jeden suwak i nim zmieniać równocześnie kąt obrotu wszystkich ścian wielościanu Archimedesa.
Zauważmy, że ściany sześcioośmiościanu można rozdzielić na cztery segmenty po trzy ściany (dwa trójkąty i jeden kwadrat). Pozostaną jedynie kwadratowe podstawy dolna i górna tego wielościanu. Na ryc. 2 widzimy pięć ścian, przy czym tylko trzy z nich: niebieska, zielona i czerwona powtarzają się w całym wielościanie.
Najpierw wyznaczmy miarę kąta dwuściennego pomiędzy trójkątną ścianą a kwadratową ścianą podstawy – ryc. 3.
Jest to miara kąta pomiędzy ścianą KLM i KAL, czyli miara kąta liniowego, którą można odczytać jako α ≈ 54,7°.
Nas ta miara nie interesuje, ponieważ konstrukcja ta nie opiera się na wartościach liczbowych, lecz jest tworzona cyrklem i linijką.
Jeśli utworzymy suwak o nazwie β, którego zakresem będzie przedział [0°,α], wówczas możemy nim dokonywać obrotu ściany KLM wokół odcinka KL. Podobnie będziemy czynić z pozostałymi ścianami tego segmentu, zmieniając tylko oś ich obrotu – ryc. 3.
Ponieważ za każdym razem używamy tego samego suwaka β, możemy rozwijać wszystkie cztery ściany pierwszego segmentu. Wystarczy bowiem obrócić je trzykrotnie o 90° wokół osi przechodzącej przez środki górnej i dolnej ściany kwadratowej, by siatka była gotowa!
Jak to wszystko wykonać w praktyce?
Najpierw obrócimy cztery ściany: niebieską, fioletową, zieloną i czerwoną (górną) wokół prostej KL – ryc. 4. Tym sposobem niebieska ściana będzie już należała do siatki tego wielościanu.
Aby kolejna ściana (fioletowa) należała do płaszczyzny podstawy, obracamy ją wraz ze ścianami zieloną i czerwoną wokół prostej M’L tym samym suwakiem β – ryc. 5.
Tym sposobem fioletowa ściana należy już do siatki naszego wielościanu. Pozostały ściany zielona i czerwona. Obracamy je równocześnie wokół zielonej prostej N’’M’ – ryc. 6. Zielona ściana leży już w płaszczyźnie siatki – ryc. 7.
Pozostała jeszcze do obrócenia ściana czerwona. Obracamy ją wokół osi R’'’'N” – ryc. 8. Teraz wystarczy zasłonić segment czterech ścian sześcioośmiościanu i pozostawić ich siatkę – ryc. 9. 
Następnie obrócimy siatkę segmentu trzech ścian (oprócz górnej czerwonej ściany) wokół prostej przechodzącej przez środki dolnej i górnej ściany sześcioośmiościanu najpierw o kąt o mierze 90°, a potem o 180° i 270° – ryc. 10, 11 i 12.
Na koniec wystarczy przesunąć suwak β w kierunku malejących wartości i uzyskamy gotowy rozkład ścian sześcioośmiościanu do jego siatki – ryc. 13.
Zachęcam Czytelników do samodzielnego wykonania siatek innych wielościanów Archimedesa. To może być dobry temat do pracy z uczniami liceum przy komputerach na kółku matematycznym.
 

A jak utw...

Pozostałe 70% treści dostępne jest tylko dla Prenumeratorów.

Co zyskasz, kupując prenumeratę?
  • 6 wydań czasopisma "Matematyka"
  • Dostęp do wszystkich archiwalnych artykułów w wersji online
  • Możliwość pobrania materiałów dodatkowych, testów i zadań
  • ...i wiele więcej!
Sprawdź

Przypisy