Wokół funkcji kwadratowej z GeoGebrą

Funkcje... Temat jakże abstrakcyjny dla naszych uczniów i trudny do pojęcia – szczególnie podczas pierwszych z nim zetknięć. Dotychczas podstawowe informacje na temat funkcji pojawiały się już w gimnazjum. W tym momencie musimy przygotować się na to, że za parę miesięcy naukę w szkołach ponadpodstawowych rozpoczną młodzi ludzie, którzy o funkcjach nigdy wcześniej nie słyszeli. Niestety, możliwość realizacji tego zagadnienia w ośmioklasowej szkole podstawowej istnieje tylko w ramach zajęć dodatkowych. Zatem w czasie nauki w szkole ponadpodstawowej uczeń będzie musiał dowiedzieć się w ogóle, czym są funkcje, poznać ich własności, a także zaznajomić się z wieloma konkretnymi przykładami i rodzajami funkcji. Niektóre własności funkcji możemy analizować ogólnie, dla wszystkich funkcji, inne są specyficzne tylko dla danego jej typu. Dlatego też w interaktywnych zasobach nauczyciela powinno znaleźć się miejsce zarówno na pliki dotyczące funkcji ogólnie, jak i te pokazujące przegląd własności poszczególnych jej rodzajów. Ja postaram się skupić na funkcji kwadratowej i pokazać jak najwięcej sposobów spojrzenia na to zagadnienie. Są to bowiem tematy kluczowe dla każdego ucznia przygotowującego się do matury – czy to na poziomie podstawowym, czy też rozszerzonym.

Pierwszym punktem będzie definicja funkcji kwadratowej i jej wzór. Oczywiście, możemy tworzyć wykresy dowolnych funkcji kwadratowych (i nie tylko) poprzez wpisanie ich konkretnego wzoru. Wystarczy jednak wprowadzić trzy suwaki: a, b, c, aby otrzymać możliwość generowania wzoru i wykresu dowolnej funkcji kwadratowej. W Widoku Algebry wpisujemy wówczas wzór: f(x) = ax^2 + bx + c. Po pojawieniu się wykresu i wzoru funkcji w nowej wersji GeoGebry dostępny będzie tam niebieski przycisk: PUNKTY SPECJALNE. Użycie go pozwoli w szybki sposób uzyskać miejsca zerowe i ekstrema funkcji, a także punkt przecięcia z osią y (ryc. 1).
 

Użycie opisywanego przycisku znacznie ułatwia nam pracę. Wszystkie uzyskane punkty można, oczywiście, wyodrębnić samodzielnie, ale na pewno zajmie to trochę czasu. 

Suwaki użyte podczas wykonywania rysunku możemy wyświetlić w oknie obok lub w tym samym oknie (w Widoku Grafiki 1 lub 2). Drugie okno również może stać się miejscem wyświetlania informacji na temat różnych postaci zapisywania wzoru funkcji kwadratowej (ryc. 2).
 

Opis taki uzyskamy jako odpowiednio sformułowane komentarze w postaci Tekstu. Niektóre z nich musimy stworzyć od początku sami, podczas gdy inne możemy wygenerować, wykorzystując polecenia GeoGebry. W Widoku Algebry możemy wpisać na przykład polecenie Postać Kanoniczna (f) i otrzymamy od razu interesujący nas zapis. Miejsca zerowe funkcji to współrzędne punktów A i B (zapis x(A), x(B)). Podobnie możemy uzyskać wielkości p i q. Oczywiście, powinniśmy dodatkowo zabezpieczyć nasz plik przed sytuacjami, kiedy funkcja ma tylko jedno miejsce zerowe lub nie ma ich wcale. W warunkach wyświetlania wybranych obiektów wystarczy wpisać nierówność d ≥ 0 albo d > 0 (gdzie d będzie oznaczało wielkość wyznacznika trójmianu). Taki plik może być oparciem podczas wprowadzania pojęcia funkcji kwadratowej, zapoznawania uczniów z kolejnymi postaciami jej zapisu, rozwiązywania zadań czy też przy lekcji powtórzeniowej. Jeżeli nasi uczniowie są zaznajomieni z programem GeoGebra, to wykonanie takiego pliku możemy również polecić im jako powtórzenie, utrwalenie wiadomości.

Na przygotowanej ilustracji możemy przedstawiać także różne własności funkcji kwadratowej i wspomagać się nim podczas rozwiązywania zadań na jej temat. Jeżeli dodatkowo wygenerujemy wykres funkcji ax2 i narysujemy wektor łączący wierzchołki obydwu paraboli, to otrzymamy rysunek doskonale ilustrujący zapis wzoru funkcji w postaci kanonicznej z przesunięciem o dany wektor (ryc. 3).
 

Opisywany plik może być też podstawą do innych aktywności. Dla przykładu weźmy zadania, w których porównujemy wartości dwóch funkcji – kwadratowej i dowolnej innej. W zadaniu takim mamy określić, kiedy wartości obu funkcji są takie same albo kiedy wartości jednej z nich są mniejsze/większe od wartości tej drugiej. Przykładem takiego zadania niech będzie graficzne rozwiązanie równania: 

Aby otrzymać to rozwiązanie, wystarczy, że ustawimy odpowiednie wartości wielkości wyznaczanych przez suwaki dla funkcji kwadratowej, a następnie wprowadzimy wzór funkcji liniowej. Na rysunku otrzymamy wykresy obu funkcji i bez problemu odczytamy współrzędne punktów przecięcia ich wykresów (ryc. 4).
 

W podobny sposób możemy ilustrować rozwiązania nierówności, w których występować będzie trójmian kwadratowy. Dla uproszczenia pokażę to, bazując na powyższym równaniu. Jeżeli nierówność wyglądałaby tak: 

to – zgodnie z oznaczeniami – wystarczy wpisać w Widoku Algebry formułę: f > r. Otrzymujemy wówczas rysunek odpowiedni dla interesującej nas nierówności (ryc. 5).
 

Zupełnie innym pomysłem na wykorzystanie pliku przygo...