Dołącz do czytelników
Brak wyników

Matematyka w praktyce

12 września 2019

NR 40 (Wrzesień 2019)

Pomaturalne refleksje z GeoGebrą

0 45

Myślę, że prawie każdy praktykujący nauczyciel matematyki, bez względu na etap edukacyjny, na jakim pracuje, przegląda arkusze egzaminacyjne z danego roku. Na pewno warto być na bieżąco i mieć świadomość, z jakiego typu zadaniami mierzą się uczniowie.

W tym roku mieliśmy aż trzy egzaminy, w tym jeden zupełnie nowy zarówno dla uczniów, jak i dla nauczycieli. Ponieważ egzamin gimnazjalny przeszedł już do historii, a egzamin ósmoklasisty dopiero zaczął istnieć w szkolnej rzeczywistości i w związku z tym może jeszcze ewoluować, postanowiłam zatrzymać się chwilę nad zadaniami z arkusza maturalnego. Zawsze, kiedy przeglądam zadania, zastanawiam się, jak mogłoby wyglądać rozwiązywanie ich przy wykorzystaniu GeoGebry. Na początek chciałabym zwrócić uwagę na zadanie 29 z arkusza podstawowego tegorocznej matury (Ryc. 1).
Zazwyczaj jest tak, że na poziomie podstawowym autorzy zadań dołączają do nich gotowe rysunki. Ma to ułatwić rozwiązanie zadania uczniom, którzy mogą mieć problemy z samodzielnym stworzeniem modelu matematycznego.
Jednak zawsze, jeśli to możliwe, warto zrobić taki rysunek samodzielnie, nawet na kartce papieru. Przeanalizowanie przez ucznia zadania na pewno pozwoli mu lepiej je zrozumieć. Poza tym przy okazji wykonywania nowego rysunku możemy zasugerować, aby była to ilustracja spełniająca warunki zadania, ale zawierająca obiekty geometryczne w innym położeniu. Stworzenie własnej interpretacji może okazać się kluczowe na drodze poszukiwania rozwiązania. Jeszcze lepszym pomysłem byłoby stworzenie rysunku interaktywnego, który pozwala na przemieszczanie obiektów i różnorodne obserwacje i pomiary. Nowa ilustracja mogłaby wyglądać tak jak na ryc. 2.

 

 



Zaznaczone zostały kąty, o których jest mowa w zadaniu, oraz podana jest ich miara. Możemy także wykonać proste obliczenie – stosunek miary kąta ASD do miary kąta BCS. Podczas poruszania punktami wykorzystanymi do wykonania konstrukcji widoczne będzie wówczas, że liczba ta jest stała i zawsze wynosi 3.
Dla ułatwienia dowodu tego faktu możemy jeszcze zaznaczyć odpowiednie kąty, których miary są sobie równe (ryc. 3).
 


Obserwując rysunek, łatwo zauważyć zależności pomiędzy miarami poszczególnych kątów, wynikające z własności miar kątów w trójkątach. Dodatkowo możemy także stwierdzić, że kąty zaznaczone kolorem ciemnoszarym (ABS, BAS) są dwa razy większe od kątów zaznaczonych kolorem jasnoszarym (BCS, BSC). Wtedy już łatwo wywnioskować, że suma miar kątów – BSC i ASD – jest równa czterokrotności kąta BSC, a co za tym idzie, kąt ASD jest jego trzykrotnością. Zadanie to jest warte uwagi jeszcze z jednego powodu. Mimo iż pochodzi z arkusza maturalnego, to poziom wiedzy, jaką należy posiadać do sformułowania uzasadnienia, nie wybiega poza program szkoły podstawowej. Dlatego też bez problemu możemy to zadanie wykorzystać podczas lekcji z młodszymi uczniami. Gotową ilustrację do zadania można znaleźć pod kodem poniżej.
 


Podczas gdy w arkuszu maturalnym na poziomie podstawowym zadania są zazwyczaj zaopatrzone w rysunki, nieco inaczej sprawa wygląda w przypadku zadań z arkusza poziomu rozszerzonego. Tam gotowe ilustracje pojawiają się rzadziej, bowiem to od uczniów wymagamy odpowiednio wykształconej wyobraźni matematycznej i umiejętności stworzenia odpowiedniego modelu. Przykładem może być zadanie 9 z tegorocznego arkusza matury rozszerzonej.
Wykonanie rysunku ilustrującego warunki zadania jest stosunkowo proste i nie powinno sprawić problemu średnio zaawansowanemu użytkownikowi GeoGebry. Dla pozostałych zamieszczam link do gotowego rysunku: //www.geogebra.org/graphing/ubedrrby (ryc. 4).
 

 

 

Dodam jedynie, że przy tworzeniu trójkąta równoramiennego ABC dla potrzeb zadania lepiej będzie zacząć od odcinka AB i jego symetralnej, na której wybierzemy punkt C. Tradycyjnie stosowana konstrukcja wykorzystująca przecinające się łuki okręgów może okazać się w tym przypadku nieco kłopotliwa. Poza tym zastosowanie jej uniemożliwi nam swobodne poruszanie punktem C, plik stanie się trudny w użyciu. Na przedstawionej przeze mnie ilustracji poruszać możemy swobodnie punktami A i B oraz w znacznym stopniu punktem C.
Pomimo iż jest to zadanie z poziomu rozszerzonego matury, to po wykonaniu rysunku samo uzasadnienie mogą przedstawić również uczniowie realizujący poziom pods...

Pozostałe 70% treści dostępne jest tylko dla Prenumeratorów.

Co zyskasz, kupując prenumeratę?
  • 6 wydań czasopisma "Matematyka"
  • Dostęp do wszystkich archiwalnych artykułów w wersji online
  • Możliwość pobrania materiałów dodatkowych, testów i zadań
  • ...i wiele więcej!
Sprawdź

Przypisy