Dołącz do czytelników
Brak wyników

Twierdzenie Talesa z GeoGebrą

Artykuły | 7 września 2018 | NR 27
257

Mimo tego, że twierdzenie Talesa to zagadnienie dość proste, w trakcie licznych zmian podstawy programowej było ono „przesuwane” na dalsze etapy edukacyjne, aż w końcu całościowo znalazło się wśród zagadnień dla szkoły ponadgimnazjalnej. Mając jednak jakiekolwiek godziny do dyspozycji dla nauczyciela, możemy także bez problemu zdecydować się na omówienie tego twierdzenia już wcześniej (zarówno w klasie drugiej i trzeciej obecnego gimnazjum, jak i w klasach siódmej i ósmej nowej szkoły podstawowej). W każdym przypadku warto wyposażyć się w przydatne narzędzia, które pozwolą nam sprawnie to twierdzenie omówić. 
 

Zacznijmy od pliku wprowadzającego. Na początek będziemy potrzebować dwóch półprostych, które wyznaczą kąt. Żeby nie mieć problemu ze zmianą nazw punktów, możemy zacząć od poprowadzenia półprostej o początku w punkcie A i przechodzącej przez punkt B. Na tej półprostej zaznaczamy punkt C. Następnie wybieramy obok punkt D i prowadzimy przez niego drugą półprostą, o początku w punkcie A. Potem musimy już tylko narysować prostą  przechodzącą przez punkty B i D oraz prostą do niej równoległą , przechodzącą przez punkt C. Na przecięciu z drugim ramieniem kąta powstanie punkt E. Zaznaczenie samego kąta nie jest konieczne, wystarczą nam dwie półproste, tak jak zwyczajowo rysujemy kąty na lekcjach. Po odpowiednim sformatowaniu narysowanych obiektów otrzymamy skończony rysunek (ryc. 1).

Gotową ilustrację interaktywną możemy przedstawić uczniom i pozwolić im na eksperymentowanie i obserwacje. W naszym wypadku można poruszać prawie wszystkimi punktami (poza punktem E). Aby postawić jakieś hipotezy, możemy polecić zmierzenie niektórych odcinków albo wykonanie obliczeń. Niestety, w podręcznikach i innych publikacjach pojawiają się utarte schematy ilustrowania pojęć. I tak w przypadku twierdzenia Talesa w większości z nich możemy zobaczyć rysunki opierające się na kącie ostrym. Dlatego pracując z uczniami na pliku interaktywnym, mamy możliwość szerszego spojrzenia na problem – bezwzględnie powinniśmy z niej skorzystać. Jeżeli tego nie zrobimy i nie wyrobimy w naszych podopiecznych nawyku poruszania obiektami znajdującymi się na ekranie komputera, to nie będą oni widzieli różnicy pomiędzy takim rysunkiem a tradycyjną kartką papieru. A wtedy nasz wysiłek włożony w przygotowanie albo wyszukiwanie odpowiednich materiałów pójdzie na marne. Zatem nie możemy pomijać etapu obserwacji rysunku ze zmianą położenia punktów początkowych, analizowania przypadków szczególnych, stawiania hipotez itp. Dla naszego rysunku warto zmienić kąt na rozwarty albo przesunąć punkt B tak, aby znalazł się pomiędzy punktami A i C.

Warto też wcześniej przygotować gotowe pomiary długości odcinków wraz z obliczeniami. Aby nie były one od razu widoczne dla ucznia, proponuję umieszczenie ich w Widoku Grafiki 2. Okno to może nie być w ogóle wyświetlone na początku pracy z plikiem, a włączone dopiero w wybranym przez nas momencie. Jeśli nie chcemy, aby wszystkie obliczenia pojawiły się od razu, możemy podzielić je na grupy, które zostaną wyświetlone w kolejnych krokach. Potrzebne będą do tego Pola wyboru Pokaż/ukryj obiekt . Dla każdego z nich wskazujemy przygotowane wcześniej obliczenia oraz odcinki, których mają dotyczyć (ryc. 2).

Ponieważ odcinki AB i AD występują w dwóch miejscach, to dla nich musimy wprowadzić osobno warunki wyświetlania obiektu (opcja dostępna w zakładce Zaawansowane po uruchomieniu Właściwości). Warunek określa w tym przypadku alternatywa: n = 1 ˅ o = 1, gdzie n i o to nazwy wielkości boolowskich dla kroku pierwszego i drugiego. Znaczek ˅ możemy wygenerować z dostępnej po prawej stronie tabeli symboli (ryc. 3).

Pracując na co dzień z uczniami, zauważyłam, że czasami problemem jest przejście z sytuacji, kiedy punkty B i C oraz D i E leżą parami na tych samych półprostych, do sytuacji, kiedy punkty B i D znajdą się na półprostych uzupełniających – po drugiej stronie punktu A. Dlatego też chciałam pokazać ciekawy sposób na zobrazowanie faktu, że jest to prosta modyfikacja sytuacji początkowej. Wykorzystam w tym celu suwak, za pomocą którego dokonam obrotu punktów i przeniesienia ich na drugą stronę.

Rozpoczynamy od przygotowania wyjściowego pliku. Rysunek będzie wyglądał podobnie jak w poprzednim przypadku. Możemy jednak od razu wprowadzić dwie proste przecinające się w punkcie A jako jego bazę.

Kreślimy więc proste  przechodzące przez punkty A i C oraz A i E. Rysujemy także prostą przechodzącą przez punkty C i E. Następnie wybieramy dowolny punkt na prostej AC w taki sposób, aby leżał pomiędzy punktami A i C. Dla przejrzystości nazwijmy go K. Pozostaje nam przez punkt K poprowadzić prostą równoległą  do EC. Punkt przecięcia z prostą AE oznaczamy jako L, a następnie ukrywamy prostą KL. Punkty K
i L...

Pozostałe 70% treści dostępne jest tylko dla Prenumeratorów.

Co zyskasz, kupując prenumeratę?
  • 6 wydań czasopisma "Matematyka"
  • Dostęp do wszystkich archiwalnych artykułów w wersji online
  • Możliwość pobrania materiałów dodatkowych, testów i zadań
  • ...i wiele więcej!
Sprawdź

Przypisy