Zacznijmy od pliku wprowadzającego. Na początek będziemy potrzebować dwóch półprostych, które wyznaczą kąt. Żeby nie mieć problemu ze zmianą nazw punktów, możemy zacząć od poprowadzenia półprostej o początku w punkcie A i przechodzącej przez punkt B. Na tej półprostej zaznaczamy punkt C. Następnie wybieramy obok punkt D i prowadzimy przez niego drugą półprostą, o początku w punkcie A. Potem musimy już tylko narysować prostą przechodzącą przez punkty B i D oraz prostą do niej równoległą , przechodzącą przez punkt C. Na przecięciu z drugim ramieniem kąta powstanie punkt E. Zaznaczenie samego kąta nie jest konieczne, wystarczą nam dwie półproste, tak jak zwyczajowo rysujemy kąty na lekcjach. Po odpowiednim sformatowaniu narysowanych obiektów otrzymamy skończony rysunek (ryc. 1).
POLECAMY
Gotową ilustrację interaktywną możemy przedstawić uczniom i pozwolić im na eksperymentowanie i obserwacje. W naszym wypadku można poruszać prawie wszystkimi punktami (poza punktem E). Aby postawić jakieś hipotezy, możemy polecić zmierzenie niektórych odcinków albo wykonanie obliczeń. Niestety, w podręcznikach i innych publikacjach pojawiają się utarte schematy ilustrowania pojęć. I tak w przypadku twierdzenia Talesa w większości z nich możemy zobaczyć rysunki opierające się na kącie ostrym. Dlatego pracując z uczniami na pliku interaktywnym, mamy możliwość szerszego spojrzenia na problem – bezwzględnie powinniśmy z niej skorzystać. Jeżeli tego nie zrobimy i nie wyrobimy w naszych podopiecznych nawyku poruszania obiektami znajdującymi się na ekranie komputera, to nie będą oni widzieli różnicy pomiędzy takim rysunkiem a tradycyjną kartką papieru. A wtedy nasz wysiłek włożony w przygotowanie albo wyszukiwanie odpowiednich materiałów pójdzie na marne. Zatem nie możemy pomijać etapu obserwacji rysunku ze zmianą położenia punktów początkowych, analizowania przypadków szczególnych, stawiania hipotez itp. Dla naszego rysunku warto zmienić kąt na rozwarty albo przesunąć punkt B tak, aby znalazł się pomiędzy punktami A i C.
Warto też wcześniej przygotować gotowe pomiary długości odcinków wraz z obliczeniami. Aby nie były one od razu widoczne dla ucznia, proponuję umieszczenie ich w Widoku Grafiki 2. Okno to może nie być w ogóle wyświetlone na początku pracy z plikiem, a włączone dopiero w wybranym przez nas momencie. Jeśli nie chcemy, aby wszystkie obliczenia pojawiły się od razu, możemy podzielić je na grupy, które zostaną wyświetlone w kolejnych krokach. Potrzebne będą do tego Pola wyboru Pokaż/ukryj obiekt . Dla każdego z nich wskazujemy przygotowane wcześniej obliczenia oraz odcinki, których mają dotyczyć (ryc. 2).
Ponieważ odcinki AB i AD występują w dwóch miejscach, to dla nich musimy wprowadzić osobno warunki wyświetlania obiektu (opcja dostępna w zakładce Zaawansowane po uruchomieniu Właściwości). Warunek określa w tym przypadku alternatywa: n = 1 ˅ o = 1, gdzie n i o to nazwy wielkości boolowskich dla kroku pierwszego i drugiego. Znaczek ˅ możemy wygenerować z dostępnej po prawej stronie tabeli symboli (ryc. 3).
Pracując na co dzień z uczniami, zauważyłam, że czasami problemem jest przejście z sytuacji, kiedy punkty B i C oraz D i E leżą parami na tych samych półprostych, do sytuacji, kiedy punkty B i D znajdą się na półprostych uzupełniających – po drugiej stronie punktu A. Dlatego też chciałam pokazać ciekawy sposób na zobrazowanie faktu, że jest to prosta modyfikacja sytuacji początkowej. Wykorzystam w tym celu suwak, za pomocą którego dokonam obrotu punktów i przeniesienia ich na drugą stronę.
Rozpoczynamy od przygotowania wyjściowego pliku. Rysunek będzie wyglądał podobnie jak w poprzednim przypadku. Możemy jednak od razu wprowadzić dwie proste przecinające się w punkcie A jako jego bazę.
Kreślimy więc proste przechodzące przez punkty A i C oraz A i E. Rysujemy także prostą przechodzącą przez punkty C i E. Następnie wybieramy dowolny punkt na prostej AC w taki sposób, aby leżał pomiędzy punktami A i C. Dla przejrzystości nazwijmy go K. Pozostaje nam przez punkt K poprowadzić prostą równoległą do EC. Punkt przecięcia z prostą AE oznaczamy jako L, a następnie ukrywamy prostą KL. Punkty K
i L także nie będą widoczne w końcowej fazie wykonanej ilustracji, stąd też taka propozycja ich nazewnictwa. W kolejnym etapie musimy wprowadzić suwak , za pomocą którego podana będzie miara kąta obrotu.
Nazwijmy go α, jako wartość początkową podajemy 0º, końcowa to 180º, a krok 1º.
Kluczowym momentem konstrukcji jest wykonanie przekształcenia punktów K i L poprzez obrót o kąt α. W tym celu ustawiamy suwak w niezerowym położeniu, a następnie wykorzystujemy narzędzie Obrót
wokół punktu wskazując najpierw punkty K i A, a następnie L i A oraz każdorazowo kąt α. Powstałym w ten sposób punktom K’ i L’ zmieniamy odpowiednio nazwy na B i D, a następnie kreślimy prostą BD. Możemy także poprowadzić proste AB i AD (i sformatować je jako linie przerywane), które będą widoczne podczas wykonywania obrotu. Na koniec ukrywamy punkty K i L i w ten sposób uzyskujemy oczekiwany efekt (ryc. 4).
Oczywiście, tak przygotowany plik możemy uzupełnić o potrzebne nam obliczenia i pomiary. Dodam jeszcze, że prezentacja obrotu będzie wyglądała ciekawiej, jeśli wykorzystamy opcję włączenia animacji dla suwaka.
Wiemy doskonale, że oprócz ilustracji pojęć dla twierdzeń istotną sprawą są ich dowody. Poza analitycznymi sposobami dowodzenia twierdzenia Talesa znane są także te geometryczne. Wśród nich charakterystyczny jest dowód zwany „spodniami Talesa”. Wykonanie ilustracji jest w tym przypadku dość żmudne i pracochłonne, dlatego nie będę opisywała tego krok po kroku. Gotowe pliki dostępne są na stronach wydawnictwa. Dodam tylko dwa słowa na temat samej pracy z plikiem. Wykonany on został tak, że etapy dowodu wyświetlają się w kolejnych krokach. Możliwe jest to również poprzez wykorzystanie suwaka. Każdy etap ma swój opis, dzięki czemu możemy wykonywać równolegle konstrukcję na tablicy lub polecić jej wykonanie uczniom w zeszytach. Plik ten ma również zmodyfikowany pasek narzędzi. Program GeoGebra posiada taką funkcję w zakładce Narzędzia. Pozwala nam to na wykorzystanie plików GeoGebry w pracy z uczniami, którzy nie mieli wcześniej styczności z programem. Okno ze zbyt dużą liczbą widocznych przycisków mogłoby odwrócić uwagę od istoty rysunku (ryc. 5).
Na koniec chciałabym zwrócić uwagę na jeszcze jeden sposób pracy z GeoGebrą, oparty na twierdzeniu Talesa. Jest to bowiem zagadnienie, które doskonale nadaje się do pracy metodą projektu. Ciekawym pomysłem byłoby zaproponowanie uczniom pracy w terenie przy zmierzeniu szerokości rzeki albo wysokości drzewa i wykorzystanie przy tym twierdzenia Talesa. Ilustrację do takiego zadania projektowego możemy wykonać w GeoGebrze, umieszczając dodatkowo plik graficzny w obszarze roboczym.
