Dołącz do czytelników
Brak wyników

Koło matematyczne

24 czerwca 2018

NR 31 (Marzec 2018)

W poszukiwaniu matematyki

0 105

Wielu z nas z początkiem tego właśnie roku szkolnego, a więc jeszcze we wrześniu, stanęło wobec konieczności zorganizowania lub poprowadzenia koła matematycznego. Niektórych zaś czeka to zapewne wkrótce.

Wśród morza ogarniających nas w takiej sytuacji wątpliwości, jedna rzecz wydaje się niewątpliwa – koło ma być „matematyczne”, a więc, oczywiście, ma dotyczyć matematyki.

Chwileczkę: matematyki – to znaczy czego? No cóż, raczej nie znajdziemy nigdzie precyzyjnej definicji „matematyki”. Jedna z moich ulubionych (żartobliwych) pseudodefinicji naszej dyscypliny (niestety, nie mojego autorstwa, lecz, o ile dobrze pamiętam, mojego nauczyciela matematyki z liceum) to ta sformułowana na podobieństwo słynnej definicji „sepulki”, pochodzącej od Lema (patrz jego Dzienniki gwiazdowe, podróż czternasta; także – Wikipedia). Otóż, według tej definicji, „matematyka” to to, czym zajmują się matematycy. Kim z kolei są „matematycy”? To, oczywiście, ludzie, którzy (zawodowo) zajmują się matematyką. Tyle tytułem żartu. A poważniej? Poważniej – być może każdy z nas powinien ukształtować sobie własną definicję „matematyki”, taką, która stara się uchwycić jakieś jej istotne aspekty, na przykład te, które, naszym zdaniem, determinują naszą fascynację matematyką i które powinny ułatwić nam przekazanie tej fascynacji naszym uczniom. Według mnie takim aspektem może być na przykład „ogólność”, czyli „abstrakcja”. Wtedy matematyka to nauka, która zajmuje się pewnymi abstrakcyjnymi obiektami (takimi jak liczby, punkty, zbiory), ich własnościami oraz stosunkami między nimi.

Wielu z moich studentów zapewne wielokrotnie słyszało ode mnie, iż matematyka zazwyczaj nie polega na rozwiązywaniu zadań (dowodzeniu twierdzeń) typu „5 – 10 – 15”, tzn. takich, w których występują konkretne wielkości (liczby), lecz na rozwiązywaniu problemów typu „a – b – c”. Tak więc, ilekroć mamy do czynienia z zadaniem „5 – 10 – 15”, to – jeśli chcemy odkryć w nim prawdziwą matematykę – powinniśmy zastanawiać się, czy fakt, że w zadaniu tym występują właśnie te konkretne wielkości, jest istotny dla rozpatrywanego zadania. Może się okazać, choć ma to miejsce niezwykle rzadko, że tak jest. Wtedy zadanie mówi coś matematycznie ważnego o występujących w nim konkretnych wielkościach, odkrywa ich jakieś istotne „matematyczne tajemnice”. Jednak na ogół sytuacja przedstawia się zgoła inaczej – znaczenie okazują się mieć nie same wielkości, ale stosunki między nimi. Na przykład istota problemu może polegać nie na tym, że występują w nim liczby „5 – 10 – 15”, ale że jest to zestaw „a – 2a – 3a” lub „a – a + 5 – a + 10”, a być może w ogóle chodzi o trójkę „a – b – a + b” czy też ostatecznie o „a – b – c”. Dopiero docierając w ten sposób do istoty problemu, zaczynamy odnajdować matematykę.

I choć dla niektórych przymiotnik „abstrakcyjny” jest synonimem określenia „niepojęty” na pograniczu inwektywy, to jednak na lekcjach matematyki, nawet tej szkolnej, nieustannie posługujemy się mechanizmem uogólniania, a więc właśnie abstrakcji. W końcu, gdy nasi uczniowie opanują już elementarne początki arytmetyki i algebry, to dość szybko wyjaśniamy im, jak rozwiązuje się dowolne równanie postaci ax + b = 0, a nie tkwimy ciągle wśród kolejnych, konkretnych przykładach takich równań: „Skoro uporaliśmy się z równaniem 100x + 1 = 0, to teraz zajmiemy się równaniem 101x + 1 = 0, następnie równaniem 102x + 1 = 0 itd”. Podobnie rzecz się ma, na przykład, z równaniami kwadratowymi. Nawet jeśli zaczynamy od konkretnych przypadków tych równań, to naszym ostatecznym celem jest wyjaśnienie, jak rozwiązuje się dowolne takie równanie. Tak więc, zamiast borykać się po raz któryś z rzędu od nowa z zadaniem takim jak „5x2 + 10x + 15 = 0”, pokazujemy w końcu, jak rozwiązać „wszystkie równania kwadratowe od razu”, tzn. jak rozwiązać dowolne równanie postaci „ax2 + bx + c = 0”.

Ktoś może mieć obiekcje, że proponowany sposób postępowania jest charakterystyczny dla zawodowych matematyków–teoretyków, wydaje się wymagać talentu matematycznego i dlatego – choć może i jest dobry dla ewentualnych olimpijczyków – trudno go wymagać od „zwykłych” uczniów i nauczycieli szkolnych. Do pewnego stopnia to, oczywiście, prawda, jednak bardziej niż talentu wymaga on tego, co w naszym środowisku zwykło określać się mianem „kultury matematycznej” bądź „matematycznego sposobu myślenia”. A to są cechy, które nie tyle wymagają jakiegoś wrodzonego talentu, ale takie które można u siebie wykształcić, trzeba tylko nad tym starać się pracować. Ponadto, po...

Pozostałe 70% treści dostępne jest tylko dla Prenumeratorów.

Co zyskasz, kupując prenumeratę?
  • 6 wydań czasopisma "Matematyka"
  • Dostęp do wszystkich archiwalnych artykułów w wersji online
  • Możliwość pobrania materiałów dodatkowych, testów i zadań
  • ...i wiele więcej!
Sprawdź

Przypisy