Dołącz do czytelników
Brak wyników

Otwarty dostęp , Temat numeru

10 listopada 2020

NR 46 (Listopad 2020)

Własności siatek sześcianu – zestaw ćwiczeń praktycznych

226

Sześcian jest jedną z najbardziej rozpowszechnionych brył w otaczającej nas rzeczywistości. Jego regularne kształty i własności geometryczne powodują, że architekci, konstruktorzy, artyści chętnie sięgają po ten wielościan. Pojęcie sześcianu pojawia się w szkole stosunkowo wcześnie, jednak bryła ta i pojęcia podstawowe, które są z nią związane, często są traktowane nieco „po macoszemu”, nie doceniając znaczenia, jakie ma ten wielościan przy zrozumieniu własności bardziej złożonych brył. W jaki sposób wykorzystać modele sześcianów ze świata realnego do omówienia siatek sześcianu?

Pojęcie sześcianu, jego budowy i własności bywa omawiane już w klasie czwartej szkoły podstawowej. Zgodnie z podstawą programową drugiego etapu edukacyjnego w części odnoszącej się do tego wielościanu uczeń:

POLECAMY

  • rozpoznaje graniastosłupy proste, ostrosłupy, walce, stożki i kule w sytuacjach praktycznych i wskazuje te bryły wśród innych modeli brył,
  • wskazuje wśród graniastosłupów prostopadłościany i sześciany i uzasadnia swój wybór,
  • rozpoznaje siatki graniastosłupów prostych i ostrosłupów,
  • rysuje siatki prostopadłościanów.

Na moich lekcjach zawsze staram się wykorzystywać związki matematyki z otaczającą rzeczywistością. Zwróćmy uwagę, iż w przypadku brył w podstawie programowej wyraźnie kładzie się nacisk na rozpoznawanie brył w sytuacjach praktycznych. Sześcian daje tu dużo możliwości. Sześcian ma 11 różnych siatek. Większość uczniów (przynajmniej tak wynika z mojego doświadczenia) potrafi wymienić 4–7 z nich, nawet jeśli temat był już realizowany na lekcjach matematyki. Oczywiście, możemy rozpocząć lekcję od zaprezentowania uczniom jednej takiej siatki (zwykle w pracowniach matematycznych znajduje się siatka, którą można złożyć w sześcian), a pozostałe zaprezentować na rysunku. Można je również wprowadzić, pokazując, jak rozłożyć sześcian w ćwiczeniu interaktywnym wykonanym w GeoGebrze – i to już na pewno będzie dla ucznia bardziej interesujące. Myślę jednak, że jeżeli uczniowie będą mogli samodzielnie znaleźć siatki sześcianu, dotknąć sześcian i rozłożyć na płaszczyźnie tak, aby otrzymać jego siatkę, na pewno będzie to dla nich bardziej przekonujące.
Proponuję ćwiczenie z klockami Reco. Są to klocki konstrukcyjne, które znakomicie spisują się przy omawianiu wielościanów.

Ćwiczenie 1 

Wprowadzenie do ćwiczenia: Nauczyciel dzieli uczniów na grupy. Każda grupa otrzymuje sześcian złożony z kloców Reco.
Realizacja ćwiczenia: Grupa uczniów ma za zadanie rozłożyć sześcian wzdłuż krawędzi tak, aby otrzymać siatkę sześcianu. Nauczyciel informuje uczniów, że jest 11 takich siatek, i prosi, aby uczniowie spróbowali otrzymać każdą z nich. Uczniowie dokumentują swoje działania (rysując siatki na dużych kartkach papieru).
Podsumowanie ćwiczenia: Uczniowie prezentują swoje wyniki na plakatach, nauczyciel i uczniowie oceniają stopień wykonania zadania.

Ryc. 1


Kiedy już wprowadzimy pojęcie siatki, a uczniowie odnajdą wszystkie siatki, jakie możemy otrzymać, możemy zająć się budowaniem siatek sześcianów, których ściany różnią się kolorem lub rysunkiem na ścianach.
Proponuję rozpocząć od modelu sześcianu, który jest najbliższy i najczęściej wykorzystywany przez dzieci i młodzież – czyli od kostki do gry. 
Dla uczniów szkoły podstawowej zadziwiający może być fakt, że sześcienna kostka do gry wcale nie jest nowym wynalazkiem. Kostki sześcienne znane były już w starożytności.
 

 Ryc. 2. Kości ze starożytnego Rzymu, autor: Wendy Scott
Źródło: https://en.wikipedia.org/wiki/File:9BFE00_-roman_lead_die_(FindID_103936).jpg; Licencja: CC BY-SA 2.0


W Polsce kości znane są od średniowiecza, kiedy były jedną z najpopularniejszych rozrywek rycerstwa.
Poniżej zaproponuję kilka ćwiczeń z użyciem tradycyjnej sześciennej kostki do gry.

Ćwiczenie 2 

Przygotowanie ćwiczenia: Na wcześniejszej lekcji poproś uczniów o przyniesienie standardowej kostki do gry.
Wprowadzenie do ćwiczenia: Zastanawiamy się, czy układ oczek na kostce do gry jest przypadkowy.
Realizacja ćwiczenia: Uczniowie chodząc między ławkami oglądają kostki przyniesione przez kolegów.
Podsumowanie ćwiczenia: Uczniowie formułują wnioski, np.:

  • naprzeciwko 1 jest 6,
  • 1, 2 i 3 są obok siebie,
  • suma oczek na przeciwległych ścianach wynosi 7.

Ćwiczenie 3 

Wstęp do ćwiczenia: Uczniowie w grupach losują karteczki, na których narysowany jest szkielet siatki sześcianu i znajduje się napis: „Zbuduj siatkę istniejącej kostki do gry” lub „Zbuduj siatkę nieistniejącej kostki do gry”.
 

Ryc. 3


Realizacja ćwiczenia: Uczniowie wykonują siatkę kostki zgodnie z instrukcją. Nauczyciel nadzoruje i sprawdza poprawność wykonania zadania. Gdy siatka jest wykonana prawidłowo, uczniowie wycinają ją i sklejają sześcian (nie zapominając o zakładkach). Następnie grupy przemieszczają się zgodnie z ustaloną zasadą do kolejnych grup. Rzucają kostką zbudowaną przez inną grupę, patrząc na 3 widoczne z ich perspektywy ściany, aż do momentu, gdy będą w stanie ocenić, czy zbudowana kostka jest zgodna z ustalonymi własnościami. Zapisują swoją odpowiedź wraz z uzasadnieniem i sporządzają notatki na temat kostki. Najlepiej, gdyby jeden z członków grupy, która budowała kostkę, pozostał przy stanowisku, aby czuwać nad właściwym wykonaniem ćwiczenia przez kolegów. W kolejnym etapie grupy wracają na swoje miejsce i rysują 4 różne siatki do każdej z wykonanych kostek (w tym również do swojej).
Podsumowanie ćwiczenia: Każda z grup przedstawia swoją odpowiedź i siatki, nauczyciel ocenia prawidłowość wykonania zadania przez grupy.

Kolejne ćwiczenie ma formę quizu. Można je wykonać w formie interaktywnej (korzystając np. z Quizziz, Kahoot, Formularz Google czy Testportal) lub przygotować uczniom pytania na kartce papieru. 

Ćwiczenie 4
 

Ryc. 3

 

  1. Na których kostkach jedynki znajdują się naprzeciwko siebie?
    A. 1
    B. 2
    C. 3
    D. 4
  2. Największa suma oczek na przeciwległych ścianach wynosi,
    A. 5
    B. 6
    C. 7
    D. 8
  3. W trzeciej siatce obok ściany z pięcioma kropkami znajdują się:
    A. 2, 3, 1, 1B. 3, 3, 1, 1
    C. 2, 3, 3, 1
    D. 2, 2, 3, 1
  4. Jeżeli w kostce zbudowanej z pierwszej siatki wypadną 4 oczka, to pod spodem znajdować się będą:
    A. 1 oczko
    B. 2 oczka
    C. 3 oczka
    D. 4 oczka

Odpowiedzi: 1D, 2D, 3 A, 4 A

Pamiętajmy jednak, aby w tematach dotyczących stereometrii nie nadużywać form pracy, w których uczeń musi sobie coś wyobrazić, nie mogąc dotknąć bryły, wziąć jej w ręce. Zwłaszcza w początkowych klasach szkoły podstawowej ważne jest, aby stwarzać uczniom możliwość przekonania się na własne oczy, jakie są własności brył, jak są zbudowane, jak będzie wyglądała bryła, której siatkę widzą. Nauczyciele często obawiają się, że wycinanie, sklejanie modeli będzie trwało zbyt długo. Tak, będzie trwało długo, ale cena czasu naprawdę nie jest za wysoka w stosunku do korzyści, które możemy osiągnąć. W mojej ocenie stworzenie uczniom możliwości do samodzielnego wyciągania wniosków i działania powoduje, że zdobyta wiedza pozostanie z nimi na dłużej.
Kolejne kostki, z którymi być może uczniowie już się spotkali, to Store Cubes. Zwykle wykorzystuje się je do opowiadania historii – nam jednak posłużą w temacie siatek sześcianów.
 

Ryc. 4


Ćwiczenie 5 

Wstęp do ćwiczenia: Nauczyciel rozdaje uczniom narysowane na kartkach różne siatki sześcianu (ściany są jednolite, np. białe).
Realizacja ćwiczenia: Nauczyciel rzuca wybraną kostką. Uczniowie na podstawie tego, co widzą po rzucie (nauczyciel może rzucać kostkę przed kamerką i wyświetlać jeden wspólny obraz, każdy z uczniów widziałby to samo), rysują siatkę danej kostki. Każdy z uczniów zapisuje informację, po ilu rzutach uzupełnił wszystkie pola siatki.
Podsumowanie ćwiczenia: Uczniowie wycinają i sklejają siatkę, sprawdzają, czy ich model pokrył się z modelem kostki nauczyciela.

Jeżeli dysponujemy większą liczbą kostek Story Cubes, możemy wprowadzić do ćwiczenia formę rywalizacji, np. turniej pomiędzy parami lub trójkami uczniów.
Oprócz zaproponowania gotowych modeli kostek sześciennych możemy również zachęcić uczniów do wykonania własnych kostek.

Ćwiczenie 6 

Przygotowanie do ćwiczenia: Uczniowie dostają za zadanie wykonać model sześcianu i umieścić na nim w sposób losowy sześć łatwych wzorów (ryc. 5), po jednym na środku ściany. 

Na przykład:

Ryc. 5


Wprowadzenie do ćwiczenia: Nauczyciel rozdaje uczniom na kartkach narysowane siatki różnych sześcianów z symbolami wybranymi przez nauczyciela (ryc. 6).
Realizacja ćwiczenia: Uczniowie, chodząc po klasie, oglądają modele kolegów i szukają na otrzymanych kartkach siatek modeli stworzonych przez kolegów.
Podsumowanie ćwiczenia: Każdy uczeń prezentuje siatkę, która odpowiada jego modelowi. Nauczyciel weryfikuje poprawność odpowiedzi. Jeżeli model zbudowany przez ucznia nie ma swojego odpowiednika, to uczeń dorysowuje go na kartce. Uczniowie dokonują samooceny, na ile udało im się rozpoznać, której siatce odpowiadają modele kolegów. Można wykorzystać metodę świateł: zielone – bardzo dobrze mi poszło (np. 0–3 błędy);
żółte – jest nieźle, ale muszę jeszcze popracować; czerwone – nie rozumiem, jak rozpoznać siatkę zbudowanego modelu.

Kolejnym znanym od dzieciństwa modelem sześcianu jest kostka Rubika (ryc. 7). Ta zabawka logiczna została wynaleziona w latach 70. XX w. przez E. Rubika. Wyprodukowana i opatentowana została w Japonii, a do Polski trafiła w 1980 r. 
 

Ryc. 7


Obecnie obowiązuje standard kolorów kostki Rubika. Kolor zielony znajduje się naprzeciwko niebieskiego, czerwony – pomarańczowego, a biały – żółtego.

Ćwiczenie 7 

Wprowadzenie do ćwiczenia: Nauczyciel rozdaje uczniom kartki z narysowanymi siatkami kostki Rubika (ryc. 8).
 

Ryc. 8

 
Realizacja ćwiczenia: Uczniowie malują ściany kostki Rubika odpowiednimi kolorami.
Podsumowanie ćwiczenia: Uczniowie wycinają siatkę, składają z niej kostkę i sprawdzają, czy otrzymali standardowy model kostki Rubika.

Ćwiczenie z tworzeniu siatki kostki Rubika można również wykonać w innej konwencji.

Ćwiczenie 8 

Przygotowanie do ćwiczenia: Nauczyciel rozdaje grupom uczniów kwadraty w kolorach ścian kostki Rubika lub prosi uczniów na poprzedniej lekcji o wykonanie takich kwadratów w domu (kilka kompletów).
Wprowadzenie do ćwiczenia: Nauczyciel wyświetla kształt siatki sześcianu.
Realizacja ćwiczenia: Uczniowie układają kwadraty w kształt siatki przedstawionej przez nauczyciela, tak aby otrzymać z niej model standardowej kostki Rubika. Sklejają siatkę za pomocą taśmy.
Podsumowanie ćwiczenia: Uczniowie podają zbudowaną przez siebie siatkę do kolejnej grupy, która skleja z niej model sześcianu i sprawdza, czy otrzymana kostka jest zgodna ze standardową kostką Rubika.

Ćwiczenia, które wymagają od uczniów samodzielnego zbudowania odpowiedniej siatki, rozbudowują ich wyobraźnię przestrzenną. Co więcej, pozwalają uczniom samodzielnie formułować wnioski. Wśród nich pojawić się powinny między innymi:

  • Jeżeli ściany sześcianów są różnych kolorów, to nawet jeśli siatki sześcianu mają ten sam kształt, to nie muszą być takie same.
  • Siatki kostek do gry mogą być prawoskrętne i lewoskrętne (oprócz tego, że dane ściany ze sobą sąsiadują, ważne jest też, w jakiej kolejności).
  • Nie każdy układ sześciu kwadratów da nam siatkę sześcianu.
     
Ryc. 9


Jeżeli uczniowie samodzielnie sformułują tym podobne wnioski, to lekcja zakończyła się sukcesem. Nawet jeżeli będziemy musieli im w tym trochę pomóc, to wiedza zdobyta poprzez doświadczenie jest dla uczniów wiedzą o wiele trwalszą.

Przypisy