W high school (odpowiednik polskiego liceum) trygonometria jest połową rocznego kursu przygotowawczego do rachunku różniczkowego i całkowego, tzw. Pre-AP Pre-Calculus, który uczniowie zwykle poznają w klasie III. Warto dodać, że uczniowie mają średnio około 4 godzin matematyki w tygodniu. Trygonometria traktowana jest jako jednosemestralny kurs matematyki zarówno w szkołach średnich, jak i na uniwersytetach. Przedmiot trygonometrii nie tylko obejmuje wiedzę o funkcjach trygonometrycznych, ale również podkreśla ich aplikacje, szczególnie w naukach przyrodniczych.
POLECAMY
równania trygonometrycznego
Ogólna budowa programu
Program trygonometrii jest zbudowany progresywnie. Uczniowie poznają różne miary kątów i budowę funkcji trygonometrycznych: y = sinx, y = cosx i y = tanx.
Wykresy, techniki znajdowania wartości tych funkcji dla x Î R rad i udowadnianie tożsamości trygonometrycznych są jego integralną częścią. Następnym etapem jest poznawanie funkcji cyklicznych (inverse) y = arcsinx, y = arccosx i y = arctanx. Funkcje cykliczne oznaczane są również jako y = sin−1x
Wprowadzenie funkcji cyklicznych podyktowane jest między innymi potrzebą poznania techniki rozwią-zania równań trygonometrycznych, stosując własnośćzłożenia funkcji f−1(f(x)) = x.
Aby więc rozwiązać:
\(cosx = {\sqrt{3} \over 2}\)
uczniowie aplikują \(cos^{-1}\) do obydwu stron równania;
\(cos^{−1}(cosx) = cos^{−1}(\frac{\sqrt-3}{2})\)
i otrzymują:
\(x = cos^{-1}({\sqrt{3} \over 2})\)
które to równanie można dalej rozwiązać w zależności od podanego interwału. Warto dodać, że metodologia rozwiązywania trygonometrycznych równań oparta jest na znajdowaniu przecięć systemu dwóch równań: funkcji trygonometrycznej i funkcji liniowej. Na przykład we współrzędnych XY równanie:
\(cosx = {\sqrt{3} \over 2}\)
będzie graficznie przedstawione jako system:
\(y1 = cosx\) i \(y2= {\sqrt{3} \over 2}\),
którego rozwiązaniami są:
\(x = {\pi \over6}\) lub \(x = {11\pi \over6}\)(ryc. 1).
Idea przecięcia dwóch funkcji jako reprezentująca rozwiązania jest często stosowana zarówno z użyciem graficznego kalkulatora, jak i w sytuacjach, kiedy znane metody zawodzą, na przykład \(3^x = x^2\).
Funkcje cykliczne dyskutowane są też z perspektywy restrykcji ich dziedzin, tak by spełniały one warunek funkcji. Dalszym etapem studiowania funkcji trygonometrycznych są funkcje budowane poprzez odwrócenie funkcji podstawowych, tak więc:
\(y={1 \over sinx} =cscx\), \(y={1 \over cosx} =secx\), \(y={1 \over tanx} =cotx\)
W języku angielskim funkcje te nazywane są reciprocal trigonometryc functions. Ich korespondujące funkcje cykliczne (nazywane w języku angielskim inverse functions) są następujące: y = arcsecx, y = arccscx i y = arccotx. Celem wprowadzenia tych funkcji jest umożliwienie znajdowania wartości kątów, kiedy wartości funkcji y = cscx, y = secx i y = cotx są podane. W tabeli 1 zawarto zestawienie wszystkich funkcji trygonometrycznych, które włączane są w program nauczania.
Chciałbym w tym miejscu dodać dygresję na temat tłumaczeń nomenklatur funkcji. Według słownika naukowo-technicznego angielsko-polskiego, obydwa określenia angielskie inverse functions i reciprocal functions tłumaczone są na język polski jako funkcje odwrotne. Nie jest to zupełnie ścisłe ze sposobem, w jaki te funkcje są przedstawiane w podręcznikach angielskojęzycznych do matematyki. Jeśli y = f(x) jest daną funkcją, jej inverse jest budowany poprzez zamianę jej zmiennych x = f(y) i rozwiązanie tego równania na y, co prowadzi do f−1(x) = y nazywa się więc inverse of f(x).
Natomiast reciprocal funkcji f(x) jest budowany poprzez \(1\over f(x)\), które to wyrażenie może określać nową funkcję g(x).
\(1\over f(x)\)= g(x) nazywa się reciprocal of f(x).
Można zapisać proces znajdowania reciprocal jako \([f(x)]^{-1}\).Jednakże \(f^{-1}(x)\)i \([f(x)]^{-1}\) symbolizują tu różne operacje na funkcji f(x). Sumując, funkcje inverse i reciprocal są budowane poprzez dwie diametralnie różne operacje matematyczne.
Wydaje się, że funkcje, które są budowane poprzez znajdowanie:
\(1\over{f(x)}\)
mogą być przetłumaczone na język polski jako funkcje odwrotne.
Tabela 1. Funkcje trygonometryczne w programie szkoły średniej w USA
Natomiast funkcje \(f^{-1}(x)\) byłyby przetłumaczone jako cykliczne lub może inwersyjne? Rozróżnienie tych funkcji w tłumaczeniach wydaje się potrzebne, tym bardziej że znajdowanie funkcji reciprocal i inverse jest częstą operacją matematyczną dokonywaną nie tylko na funkcjach trygonometrycznych, ale również na funkcjach algebraicznych. Na przykład inverse funkcji \(g(x) =\sqrt x\) , \(x\geq 0\) jest funkcja \(g^{−1}(x) = x2\).
Natomiast funkcją odwrotną (reciprocal) do \(g(x) =\sqrt x\) będzie funkcja:
\(k(x)= {1\over{ \sqrt x}}\).
Tak więc nazywanie obydwóch:
\(g(x) ={1 \over f(x)}\) i \(f^{-1}(x) =y\),
jak to jest czynione w słownikach, funkcjami odwrotnymi może prowadzić do nieporozumień szczególnie wśród studentów z Polski, którzy decydują się studiować w USA.
Sposób przedstawiania procesów rysowania wykresów funkcji trygonometrycznych
Podobnie jak w programach polskich, tak też w USA wprowadza się wykres podstawowej funkcji trygonometrycznej, korzystając z własności okresowości. Podobnie jak w polskich programach, do oszacowania wartości tych funkcji korzysta się z tzw. okręgu jednostkowego (unit circle).
Bardziej kompleksowe funkcje trygonometryczne w for-mach \(f(x) = Af[k(x − p)] + q\) rysuje się, korzystając z transformacji funkcji podstawowych. Wymagane jest również, by student potrafił narysować nie tylko funkcje podstawowe, ale również odwrotne.
Należałoby dodać, że rysowanie funkcji, stosując transformacje, jest bardzo podkreślane w innych kursach matematyki w szkołach średnich w USA. Dzięki temu rysowanie kompleksowych wykresów funkcji trygonometrycznych nie jest dla uczniów trudne. Oczekuje się również, że uczniowie potrafią znaleźć algebraiczną postać wykresu.
Aplikacje
Uczniowie stosują funkcje trygonometryczne do rozwiązywania trójkątów podobnie jak w polskich programach nauczania. Stosują również prawo sinusów i cosinusów. Z uwagi na duży nacisk rozumienia pojęcia funkcji w amerykańskich programach do matematyki, dużo uwagi poświęca się aplikacjom, korzystając również z radialnej miary kątów. Wprowadza się na przykład pojęcie miary kątowej położenia ciała i jego prędkości kątowej, które to później wykorzystuje się do budowy funkcji opisującej ruch periodyczny. Oczekuje się, że uczniowie potrafią zbudować funkcje jednowymiarowego położenia ciała lub prędkości w ruchu harmonicznym dla dowolnej początkowej wartości. Uczniowie muszą wiedzieć, że odpowiednikiem maksymalnego położenia ciała w ruchu harmonicznym jest amplituda funkcji, a także znać ogólną postać funkcji harmonicznej:
\(f(t) = Asin ({2\pi \over T}t)\), gdzie T oznacza okres funkcji.
W związku z aplikacjami uczniowie muszą też być zapoznani z rozwiązaniem równań trygonometrycznych nie tylko wówczas, kiedy wielkością szukaną jest kąt wyrażony w stopniach lub radianach, ale również wtedy, kiedy wielkością szukaną jest czas, na przykład:
\(cos({\pi \over 3}t)=0\).
Szeroka gama aplikacji stwarza możliwości modelowania funkcji trygonometrycznych z użyciem symulacji fizycznych4. Przedstawianie uczniom aplikacji trygonometrii, szczególnie w fizyce lub biologii, przyczynia się do poprawy zrozumienia trygonometrycznych zagadnień oraz pobudza naukowe myślenie uczniów i pomaga w zrozumieniu zjawisk przyrodniczych.
Zagadnienia uzupełniające
W dziale trygonometrii uczniowie poznają również elementy geometrii analitycznej, na przykład operacje na wektorach, włączając iloczyn skalarny i wektorowy oraz znajdowanie kąta pomiędzy wektorami. Przekształcanie współrzędnych prostokątnych na polarne i rysowanie wykresów podanych w polarnych współrzędnych na przykład\( r = a ± bcos(α)\) lub \( r = acos(nα)\) również jest wymagane. Uczniowie muszą umieć przedstawić liczby urojone w postaci trygonometrycznej i zastosować twierdzenie De Moive. Dział ten obejmuje również inne zagadnienia, które nauczyciel może realizować, jeśli czas na to pozwala.
Podsumowanie
Przedmiot trygonometrii nie jest łatwy dla uczniów. Trudna jest szczególnie kompleksowość różnych rodzajów funkcji, z których nie wszystkie mają odpowiedniki w poznanych wcześniej funkcjach algebraicznych. Program ten ma na celu przygotowanie uczniów do kontynuowania studiowania rachunku różniczkowego i całkowego, a także fizyki zarówno w szkole średniej, jak i na studiach. Jako taki, program ten spełnia te warunki bardzo dobrze.
Bibliografia:
- 1. //www.slideshare.net/timschmitz/higher-maths-123-trigonometric-functions-358346.
- 2.Słownik Naukowo-Techniczny Angielsko-Polski, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 1990.
- 3.Stewart J., Precalculus, 2nd edition, Pacific Grove, Ca: Brooks and Cole Publishing Company 2010.
- 4.Sokołowski A., Rackley R., Teaching harmonic motion in trigonometry: Inductive inquiry supported by physics simulations, „Australian Senior Mathematics Journal” 25(1)/2011, s. 45.
