Dołącz do czytelników
Brak wyników

Koło matematyczne

22 października 2018

NR 34 (Wrzesień 2018)

Zarys programu nauczania trygonometrii w USA

0 195

Trygonometria jako nauka nie ulega zmianom, jednakże treści nauczania podyktowane oczekiwaniami programów uniwersyteckich i rynku pracy z pewnością różnią się pomiędzy krajami. W poniższym artykule chciałbym przedstawić zarys programu nauczania trygonometrii w szkołach średnich w USA.

W high school (odpowiednik polskiego liceum) trygonometria jest połową rocznego kursu przygotowawczego do rachunku różniczkowego i całkowego, tzw. Pre-AP Pre-Calculus, który uczniowie zwykle poznają w klasie III. Warto dodać, że uczniowie mają średnio około 4 godzin matematyki w tygodniu. Trygonometria traktowana jest jako jednosemestralny kurs matematyki zarówno w szkołach średnich, jak i na uniwersytetach. Przedmiot trygonometrii nie tylko obejmuje wiedzę o funkcjach trygonometrycznych, ale również podkreśla ich aplikacje, szczególnie w naukach przyrodniczych.

Metodologia rozwiązania
równania trygonometrycznego

Ogólna budowa programu

Program trygonometrii jest zbudowany progresywnie. Uczniowie poznają różne miary kątów i budowę funkcji trygonometrycznych: y = sinx, y = cosx i y = tanx.
Wykresy, techniki znajdowania wartości tych funkcji dla x Î R rad i udowadnianie tożsamości trygonometrycznych są jego integralną częścią. Następnym etapem jest poznawanie funkcji cyklicznych (inverse) y = arcsinx, y = arccosx i y = arctanx. Funkcje cykliczne oznaczane są również jako y = sin−1x

Wprowadzenie funkcji cyklicznych podyktowane jest między innymi potrzebą poznania techniki rozwią-zania równań trygonometrycznych, stosując własnośćzłożenia funkcji f−1(f(x)) = x.

Aby więc rozwiązać:

\(cosx = {\sqrt{3} \over 2}\)

uczniowie aplikują \(cos^{-1}\) do obydwu stron równania;


\(cos^{−1}(cosx) = cos^{−1}(\frac{\sqrt-3}{2})\)

i otrzymują:

\(x = cos^{-1}({\sqrt{3} \over 2})\)

które to równanie można dalej rozwiązać w zależności od podanego interwału. Warto dodać, że metodologia rozwiązywania trygonometrycznych równań oparta jest na znajdowaniu przecięć systemu dwóch równań: funkcji trygonometrycznej i funkcji liniowej. Na przykład we współrzędnych XY równanie:

\(cosx = {\sqrt{3} \over 2}\)

będzie graficznie przedstawione jako system:

\(y1 = cosx\) i \(y2= {\sqrt{3} \over 2}\),

którego rozwiązaniami są:

\(x = {\pi \over6}\) lub \(x = {11\pi \over6}\)(ryc. 1).

Idea przecięcia dwóch funkcji jako reprezentująca rozwiązania jest często stosowana zarówno z użyciem graficznego kalkulatora, jak i w sytuacjach, kiedy znane metody zawodzą, na przykład \(3^x = x^2\).

Funkcje cykliczne dyskutowane są też z perspektywy restrykcji ich dziedzin, tak by spełniały one warunek funkcji. Dalszym etapem studiowania funkcji trygonometrycznych są funkcje budowane poprzez odwrócenie funkcji podstawowych, tak więc:

\(y={1 \over sinx} =cscx\), \(y={1 \over cosx} =secx\), \(y={1 \over tanx} =cotx\)

W języku angielskim funkcje te nazywane są reciprocal trigonometryc functions. Ich korespondujące funkcje cykliczne (nazywane w języku angielskim inverse functions) są następujące: y = arcsecx, y = arccscx i y = arccotx. Celem wprowadzenia tych funkcji jest umożliwienie znajdowania wartości kątów, kiedy wartości funkcji y = cscx, y = secx i y = cotx są podane. W tabeli 1 zawarto zestawienie wszystkich funkcji trygonometrycznych, które włączane są w program nauczania.

Chciałbym w tym miejscu dodać dygresję na temat tłumaczeń nomenklatur funkcji. Według słownika naukowo-technicznego angielsko-polskiego, obydwa określenia angielskie inverse functions i reciprocal functions tłumaczone są na język polski jako funkcje odwrotne. Nie jest to zupełnie ścisłe ze sposobem, w jaki te funkcje są przedstawiane w podręcznikach angielskojęzycznych do matematyki. Jeśli y = f(x) jest daną funkcją, jej inverse jest budowany poprzez zamianę jej zmiennych x = f(y) i rozwiązanie tego równania na y, co prowadzi do f−1(x) = y nazywa się więc inverse of f(x).

Natomiast reciprocal funkcji f(x) jest budowany poprzez \(1\over f(x)\), które to wyrażenie może określać nową funkcję g(x).

\(1\over f(x)\)= g(x) nazywa się reciprocal of f(x).

Można zapisać proces znajdowania reciprocal jako \([f(x)]^{-1}\).Jednakże \(f^{-1}(x)\)i \([f(x)]^{-1}\) symbolizują tu różne operacje na funkcji f(x). Sumując, funkcje inverse i reciprocal są budowane poprzez dwie diametralnie różne operacje matematyczne.

Wydaje się, że funkcje, które są budowane poprzez znajdowanie:

\(1\over{f(x)}\)

mogą być przetłumaczone na język polski jako funkcje odwrotne.

Tabela 1. Funkcje trygonometryczne w programie szkoły średniej w USA

Natomiast funkcje \(f^{-1}(x)\) byłyby przetłumaczone jako cykliczne lub może inwersyjne? Rozróżnienie tych funkcji w tłumaczeniach wydaje się potrzebne, tym bardziej że znajdowanie funkcji reciprocal i inverse jest częstą operacją matematyczną dokonywaną nie tylko na funkcjach trygonometrycznych, ale również na funkcjach algebraicznych. Na przykład inverse funkcji \(g(x) =\sqrt x\)\(x\geq 0\) jest funkcja \(g^{−1}(x) = x2\).

Natomiast funkcją odwrotną (reciprocal) do \(g(x) =\sqrt x\) będzie funkcja:

\(k(x)= {1\over{ \sqrt x}}\).

Tak więc nazywanie obydwóch:

...

Pozostałe 70% treści dostępne jest tylko dla Prenumeratorów.

Co zyskasz, kupując prenumeratę?
  • 6 wydań czasopisma "Matematyka"
  • Dostęp do wszystkich archiwalnych artykułów w wersji online
  • Możliwość pobrania materiałów dodatkowych, testów i zadań
  • ...i wiele więcej!
Sprawdź

Przypisy