Dołącz do czytelników
Brak wyników

Matematyka inaczej

6 lutego 2019

NR 36 (Styczeń 2019)

Zdarzenie i jego prawdopodobieństwo w matematyce i wokół nas

0 206

Na co dzień mówimy o różnych zdarzeniach. W kontekście wielu zdarzeń dodajemy, że są mało prawdopodobne albo bardzo prawdopodobne, o dwu zdarzeniach mówimy, że jedno jest mniej prawdopodobne niż drugie, a inne dwa są jednakowo prawdopodobne. Wśród zdarzeń są prawie pewne i są prawie niemożliwe.

Jeśli zdarzy się coś, co jest wyjątkowo mało prawdopodobne, to mówimy o pechu albo szczęściu. W tych stwierdzeniach prawdopodobieństwo zdarzenia jawi się jako ocena szansy na jego zajście (w bliższej lub dalszej przyszłości), a zarazem jako pewna miara – rachunek prawdopodobieństwa jako dział matematyki jest w istocie teorią miary. Mówimy tu o jakościowych (a nie ilościowych) ocenach prawdopodobieństwa zdarzenia.

  1. Zdarzenia wokół nas i ich prawdopodobieństwo

Artykuł jest adresowany do nauczyciela matematyki, a zatem jest w nich sporo odniesień do realnego świata. Mówimy tu o odkrywaniu pojęcia zdarzenia i jego prawdopodobieństwa jako matematycznych narzędzi opisu i badania rzeczywistości. Prezentujemy fragmenty rachunku prawdopodobieństwa jako matematyki in statu nascendi i matematyki dla każdego. Takie ujęcie szkolnego rachunku prawdopodobieństwa przedstawiono w książce [7].

Przykład 1.
Wyjdźmy od kilku zdarzeń z „życia wziętych”. Oznaczajmy je dużymi literami, słowny opis zdarzenia umieszczajmy w klamrowych nawiasach. W rozważaniach weźmy jednak pod uwagę poniższe fakty.

  1. Załóżmy, że jest koniec kwietnia.
  2. Jadę autem i za chwilę skręcę w główną ulicę, za rogiem jest skrzyżowanie z sygnalizacją świetlną, której jeszcze nie widzę.
  3. Zbliżam się do przystanku tramwajowego, na którym stoi 12 osób.
  4. Z dworca autobusowego za chwilę ruszy autobus z pięćdziesięcioma pasażerami.
  5. Dziś jaskółki nisko latają.
  6. Jutro w klasie Franka na lekcji chemii będzie testowy sprawdzian, a na nim lista 40 nazw związków chemicznych, wśród których są dwa aldehydy – uczeń ma je podkreślić i za trafne wskazanie obu aldehydów dostanie ocenę pozytywną (por. [8]). Franek nie ma wiedzy z materiału objętego testem, bo się nie uczył.
  7. Ala planuje jutro spacer po łące, by nazbierać wiosennych kwiatów.
  8. Myśliwy Hubert, mając trzy naboje w strzelbie, wyruszył na polowanie.

W tak określonym czasie i kontekście rozważmy zdarzenia:
A* = {w tym roku po 15. maja w Beskidzie Żywieckim będą przymrozki},
B* = {na skrzyżowaniu za rogiem trafię na zielone światło},
C* = {każda z dwunastu osób czekających na tramwaj urodziła się pod innym znakiem zodiaku},
D* = {w autobusie są co najmniej dwie osoby mające urodziny w tym samym dniu},
E* = {jutro będzie deszczowo},
F* = {Franek dostanie pozytywną ocenę z testowej klasówki z chemii},
G* = {Ala znajdzie na łące czterolistną koniczynkę}.
H* = {(Hubert ustrzeli zająca, który się ukazał na horyzoncie}.

Autor pamięta z dzieciństwa, jak w początkach marca w oknach wiejskich domów pojawiały się doniczki, do których wysiewano nasiona kapusty, by dopiero po 15. maja przesadzić sadzonki na grządki w ogródku. Podstawą tych decyzji było następujące wnioskowanie à posteriori: 

Jest bardzo mało prawdopodobne, aby w tym roku po 15. maja były u nas przymrozki, bo do tej pory (czyli w przeszłości) przymrozki po 15. maja prawie się u nas nie zdarzały. 

Fakt z przeszłości był podstawą do tego, by zajście zdarzenia A* w przyszłości uznawać za wyjątkowo mało prawdopodobne, a nawet wręcz za prawie niemożliwe. Człowiek skonstatował, że ilekroć jaskółki nisko latały, tylekroć wkrótce potem padał deszcz. Zdarzenie E* jest bardzo prawdopodobne. W przypadku zdarzenia G* powiemy, że jest ono wyjątkowo mało prawdopodobne, bo czterolistne koniczynki występują na polach wyjątkowo rzadko.
Ludzką mądrość kształtowały także takie obserwacje przyrody oraz oceny, jakie z nich wynikały na temat prawdopodobieństwa. To są jakościowe oceny prawdopodobieństwa zdarzenia, oparte na danych empirycznych, a więc oceny à posteriori. Mówimy tu o statystycznym albo częstościowym aspekcie prawdopodobieństwa zdarzenia (por. [4], s. 122). Te oceny prawdopodobieństwa posłużyły człowiekowi do podejmowania rozmaitych decyzji, w tym także do rozstrzygania, czy dany fakt jest rezultatem wiedzy, pewnych zdolności, informacji, czy też zgadywania, a więc przypadku (por. [4], s. 150). Zauważmy, jak ważny jest czas w tych dysputach.
W artykule pokażemy, że dla niektórych zdarzeń z przykładu 1 (jako zdarzeń „z życia wziętych”) można na gruncie matematyki znaleźć à priori ich prawdopodobieństwa (i to w ocenie ilościowej) i że dla innych tego typu zdarzeń takiego prawdopodobieństwa wyliczyć się nie da, bo są to zdarzenia związane z sytuacjami, które nie mają probabilistycznego modelu.

Przykład 2.
W zadaniach z rachunku prawdopodobieństwa pojawiają się myśliwi, którzy w trakcie polowania strzelają do zwierza, a strzał jest celny z prawdopodobieństwem 9/10. Studenci bezkrytycznie przystępują do obliczania prawdopodobieństwa, że taki myśliwy, mający trzy naboje, ustrzeli zająca, celując raz, dwa albo trzy razy (a zając tylko czeka, aż to się stanie). Tymczasem ułamek 9/10 jako prawdopodobieństwo pewnego zdarzenia („wziętego z życia”) nie ma tu żadnej racji bytu. Któż bowiem i na jakiej drodze uzyskał tę ilościową ocenę prawdopodobieństwa?
Zdarzenie H* wiąże się z sytuacją, która nie ma probabilistycznego modelu. Nie sposób oceniać tu à priori prawdopodobieństwa, że myśliwy zastrzeli zająca, bo to polowanie nie jest probabilizowalne. Nie ma również sensu mówić tu o ocenie à posteriori, bo skąd wziąć dane empiryczne.

Przykład 3.
Inaczej jest w przypadku Franka i zdarzenia F*. Dzięki informacji, że Franek nic nie umie z materiału objętego testem (jest to pewna hipoteza H0), możemy wypełnianie przez Franka owego testu z chemii traktować jako losowanie dwóch kul z urny, w której są dwie kule czerwone (to są dwa aldehydy) i 38 kul białych (to pozostałe związki). Zdarzenie F* jest tak samo prawdopodobne, jak trafienie na obie czerwone kule w losowaniu dwóch kul ze wspomnianej urny. To ostatnie prawdopodobieństwo da się wyliczyć na gruncie matematyki (jest ono równe 1/780 , co wykazano w [8]).Tworzenie probabilistycznego modelu dla rozwiązywania testu z chemii to jest faza matematyzacji.

Przykład 4.
Przypadek sprawi, na jakie światło trafię na skrzyżowaniu. Są trzy możliwości: światło może być zielone, czerwone albo żółte. Nie są one jednakowo prawdopodobne. Prawdopodobieństwo trafienia na dane światło zależy od czasu, w jakim to światło się świeci. Jest bardziej prawdopodobne, że trafię na zielone światło niż na żółte, bo światło zielone świeci się dłużej niż żółte.

Ryc. 1. Ruletka jako sygnalizator świetlny na skrzyżowaniu

Załóżmy, że światło żółte (na rysunku: pole białe) świeci się cztery sekundy, a zielone (szare) i czerwone (ciemnoszare) po 28 sekund. Te informacje dają podstawę do ilościowej oceny prawdopodobieństwa zdarzenia B*. Kolor światła, na które za chwilę trafię, przypomina kolor wylosowany ruletką z trzema sektorami: białym, ciemnoszarym i jasnoszarym. Na rycinie 1 mamy jej tarczę (wokół środka tarczy kręci się wprawiona w ruch strzałka, kolor sektora, w którym zatrzyma się strzałka, to jest wylosowany kolor). Prawdopodobieństwo zdarzenia B* jest zatem ilorazem 28/60 , czyli ułamkiem 7/15. Czas, który tu wymierza prawdopodobieństwo, jest pewną miarą. Mówimy tu o miarowym aspekcie prawdopodobieństwa. Sytuacja, której dotyczy zdarzenie B*, ma swój model probabilistyczny. To jest sytuacja probabilizowalna.
Dalej pokażemy, że dla zdarzeń C* i D* można à priori (dzięki matematyzacji) obliczyć ich prawdopodobieństwa. Zdarzenie C*
jest prawie niemożliwe, a zdarzenie D* jest prawie pewne 
(por. przykład 11).
Omawiane przykłady „z życia” wiele nam mówią o naturze pojęcia prawdopodobieństwa zdarzenia, mogą więc pełnić ważną funkcję w kształtowaniu tego pojęcia. Te przykłady skłaniają także do refleksji, gdy chodzi o fabułę zadań tekstowych, jakie proponujemy uczniowi do kontroli i oceny jego wiedzy i kompetencji w zakresie rachunku prawdopodobieństwa. Często są to zadania o treści pozbawionej sensu. Autor poleca tu refleksję nad fabułą zadania 1.

Zadanie 1.
Prawdopodobieństwo tego, że cyrkowiec akrobata będzie miał wypadek przy pierwszym występie danego dnia, jest równe 0,0001. Oblicz prawdopodobieństwo, że akrobata występujący 100 razy w ciągu roku będzie miał co najmniej jeden wypadek (por. [11]).

  1. Zdarzenie i jego prawdopodobieństwo w matematyce

Każde zdarzenie jako pojęcie matematyczne rozważa się w określonej przestrzeni probabilistycznej (por. [8] oraz [9], s. 124). W matematyce przyjęto następującą definicję aksjomatyczną tej przestrzeni oraz zdarzenia i jego prawdopodobieństwa, zwaną definicją Kołmogorowa.

Definicja 1. [PRZESTRZEŃ PROBABILISTYCZNA]
Przestrzenią probabilistyczną nazywamy każdą trójkę (Ω, Z, P), gdzie Ω jest dowolnym niepustym zbiorem, Z jest σ-ciałem podzbiorów zbioru Ω, a P funkcją określoną na zbiorze Z, o wartościach rzeczywistych, nieujemną, przeliczalnie addytywną i taką,  że P(Ω) = 1. Zbiory z rodziny Z nazywamy zdarzeniami. Funkcję P
nazywamy prawdopodobieństwem, a jej wartość dla zbioru A  z rodziny Z, czyli liczbę P(A), nazywamy prawdopodobieństwem zdarzenia A.
W szkolnej matematyce rozważania ograniczamy do przestrzeni probabilistycznych (Ω, Z, P), w których zbiór Ω jest co najmniej dwuelementowy i skończony. O produkowaniu takich przestrzeni mówi się szerzej w [8].

Definicja 2. [Ziarnista przestrzeń probabilistyczna]
Załóżmy, że Ω jest dowolnym, skończonym zbiorem co najmniej dwuelementowym. Niech Ω = {ω1, ω2, ω3, …, ωS}. Każdą funkcję p określoną na zbiorze Ω o wartościach ze zbioru ℝ liczb rzeczywistych, nieujemną i taką, że
p(ω1) + p(ω2) + p(ω3) + … + p(ωs) = 1, 
nazywamy rozkładem prawdopodobieństwa na zbiorze Ω, a parę (Ω, p) nazywamy ziarnistą przestrzenią probabilistyczną.

Definicja 3. Jeśli Ω = {ω1, ω2, ω3, …, ωS} i p(ωj) = 1/s dla 
j = 1, 2, 3, …, s, to funkcję p nazywamy klasycznym rozkładem prawdopodobieństwa na zbiorze Ω, a parę (Ω, p) nazywamy klasyczną przestrzenią probabilistyczną.

Definicja 4. [ZDARZENIE I JEGO PRAWDOPODOBIEŃSTWO W ZIARNISTEJ PRZESTRZENI PROBABILISTYCZNEJ] 
Niech para (Ω, p) będzie ziarnistą przestrzenią proba-bilistyczną, a Z rodziną wszystkich podzbiorów zbioru Ω. 
Te podzbiory nazywamy zdarzeniami. Funkcję P określoną na rodzinie Z wzorem: 

nazywamy prawdopodobieństwem, a jej wartość dla zbioru A z rodziny Z nazywamy prawdopodobieństwem zdarzenia A.
Zbiór Z wszystkich podzbiorów zbioru Ω jest σ-ciałem podzbiorów zbioru Ω. Funkcja P, o której mowa w definicji 4, jest prawdopodobieństwem w sensie aksjomatycznej definicji, a zatem trójka (Ω, Z, P), która powstała z pary (Ω, p), jest przestrzenią probabilistyczną w sensie Kołmogorowa.

Zadanie 2
Przestrzenią probabilistyczną jest para (Ω, p), gdzie: 
Ω = {ω0, ω1, ω2} i p(ω0) = 3/10, p(ω1) = 6/10 , p(ω2) = 1/10 .
W tabeli mamy wszystkie zdarzenia w tej przestrzeni. Pod trzema zdarzeniami wpisano ich prawdopodobieństwo, obliczone za pomocą definicji 4. Uzupełniwszy tę tabelę, określisz funkcję P, a zarazem trójkę (Ω, Z, P).
                     

[Algebra zdarzeń w ziarnistej przestrzeni probabilistycznej]
Jeśli para (Ω, p) jest ziarnistą przestrzenią probabilistyczną, to zbiór Z wszystkich podzbiorów zbioru Ω jest rodziną zdarzeń w tej przestrzeni. W tej rodzinie są dwa szczególne podzbiory zbioru Ω (zwane podzbiorami niewłaściwymi): zbiór pusty 0, który nazywamy zdarzeniem niemożliwym, i zbiór Ω, który nazywamy zdarzeniem pewnym.
Każdy właściwy podzbiór zbioru Ω nazywamy zdarzeniem losowym. Jednoelementowe podzbiory zbioru Ω nazywamy zdarzeniami prostymi.
Zdarzenie jest zbiorem, możemy więc mówić o sumie i o iloczynie zdarzeń. Jeśli A i B są zdarzeniami w przestrzeni probabilistycznej {Ω, p} takimi, że:

  • \(\bigcap_{}^{}\) B = 0, to mówimy, że są to zdarzenia rozłączne,
  • A \(\bigcap_{}^{}\) B = 0  i A \(\bigcup_{}^{}\) B = Ω, to mówimy, że są to zdarzenia przeciwne. 

Dalsze rozważania dotyczyć będą zdarzenia i jego prawdopodobieństwa:

  • w przestrzeni probabilistycznej (czyli w matematyce),
  • w modelu probabilistycznym doświadczenia losowego (czyli „wokół nas”).

W sensie logicznym zwroty zdarzenie i prawdopodobieństwo zdarzenia to są nazwy (por. [5], s. 45). Spróbujemy odpowiedzieć na pytanie ważne dla nauczycieli, czy jest jakieś (i jakie?) wytłumaczenie faktu, że:

  • desygnatem nazwy zdarzenie ([5], s. 50) jest podzbiór pewnego zbioru Ω,
  • desygnatem nazwy prawdopodobieństwo jest szczególna funkcja P.
  1. Twierdzenie klasyczne – prawdopodobieństwo klasyczne

Obliczając prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia w klasycznej przestrzeni probabilistycznej za pomocą definicji 4, stwierdzimy, że:

Twierdzenie 1. [TWIERDZENIE KLASYCZNE] 
Jeżeli A jest zdarzeniem w klasycznej przestrzeni probabilistycznej (Ω, p), to:

gdzie moc zbioru jest liczbą jego elementów.
Prawdopodobieństwo P w klasycznej przestrzeni probabilistycznej nazywamy prawdopodobieństwem klasycznym. Twierdzenie klasyczne czasami mylnie nazywane jest klasyczną definicją prawdopodobieństwa.
Jedna z jego własności orzeka:

Jeżeli P jest prawdopodobieństwem klasycznym, a zdarzenia A i B są zbiorami równolicznymi, to P(A) = P(B).

Nie jest to własność prawdopodobieństwa w każdej przestrzeni probabilistycznej. Wykaż to, korzystając z rozwiązania zadania 2.
Liczbę elementów zbioru skończonego A nazywamy jego mocą i oznaczamy . Zapis Ω = s oznacza, że Ω jest zbiorem s-elementowym.

  1. Własności prawdopodobieństwa w przestrzeni probabilistycznej

Z definicji 4 wynikają rozmaite własności prawdopodobieństwa P (zob. [7], s. 105). Ich formułowanie i dowodzenie jest fazą dedukcji. Rachunek prawdopodobieństwa dobrze ilustruje, jak się organizuje dedukcję w matematyce.

Zadanie 3
Udowodnij, że w każdej przestrzeni probabilistycznej (Ω, p) prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego jest równe 1, czyli że prawdziwa jest implikacja: 
jeżeli B = Ω (czyli B jest zdarzeniem pewnym), to P(B) = 1.
Od lat absolwenci naszych szkół średnich przypisują prawdopodobieństwu własności, których to pojęcie nie ma (por. badania opisane w [3], s. 310–315). W tym kontekście ważne staje się akcentowanie implikacji dotyczących prawdopodobieństwa, które nie są prawdziwe.

Zadanie 4.
Udowodnij, że nie są prawdziwe następujące implikacje:

  1. Jeżeli P(A) = 0, to A jest zdarzeniem niemożliwym,
  2. Jeżeli P(B) = 1, to B jest zdarzeniem pewnym.

Zauważ, że implikacja 2. jest odwrotna do tej, o której mowa w zadaniu 3.

Przykład 5.
Szczególne miejsce w organizacji dedukcji (jako źródło kontr-
przykładów) zajmie tu osobliwa przestrzeń probabilistyczna (Ω*, p*), gdzie: 



Prawdopodobieństwo w tej przestrzeni jest funkcją P określoną w tabeli.

Zauważmy, że w tej przestrzeni probabilistycznej (Ω*, p*):

  • istnieje zdarzenie, którego prawdopodobieństwo jest równe 0 i które nie jest niemożliwe – jest nim zdarzenie A = {♦},
  • istnieje zdarzenie, którego prawdopodobieństwo jest równe 1 i które nie jest zdarzeniem pewnym – jest nim zdarzenie B = {Δ, ∇}.

Co te fakty mają wspólnego z zadaniem 4?

Zadanie 5.
Załóżmy, że (Ω, p) jest przestrzenią probabilistyczną, że P jest prawdopodobieństwem w sensie definicji 4. Niech A ⊂ Ω  i B ⊂ Ω. Zbiory A i B są zdarzeniami w przestrzeni (Ω, p). Udowodnij, że poniższe implikacje są fałszywe:

  1. Jeśli A > B, to P(A) > P(B),
  2. Jeśli A = B, to P(A) = P(B),
  3. Jeśli A = k i Ω = s, to P(A) = k/s.
  • W przestrzeni probabilistycznej (Ω*, p*) z przykładu 5 rozważmy zdarzenia: 

A = {Δ, ♦} i B = {∇}. Jest tu A > B i P(A) = <= P(B). Implikacja 1. nie jest prawdziwa.

  • Niech  A = {Δ, ∇} i B = {♦, ∇}. Jest A = B i P(A) = 1 ≠  = P(B), a zatem implikacja 2. jest fałszywa.
  1. Przestrzeń probabilistyczna jako model doświadczenia losowego

W szkolnej matematyce przestrzeń probabilistyczna (Ω, p) jest na ogół modelem probabilistycznym jakiegoś doświadczenia losowego δ (por. [8]). Oznacza to, że Ω jest zbiorem wyników doświadczenia δ, p zaś jest funkcją, która każdemu wynikowi przypisuje prawdopodobieństwo, z jakim doświadczenie zakończy się tym wynikiem, gdy je wykonamy za chwilę (jutro, za miesiąc).

Przykład 6.
W urnie U3*2 są 3 kule białe i 2 czerwone. Losowanie dwóch kul z tej urny jest doświadczeniem losowym δ23*2 o trzech możliwych wynikach: 

  • ω0: obie wylosowane kule będą białe,
  • ω1: jedna będzie biała, jedna czerwona,
  • ω2: obie wylosowane kule będą czerwone.

W [8] wykazano, że modelem probabilistycznym tego doświad-
czenia losowego δ23*2 jest przestrzeń probabilistyczna (Ω, p), gdzie:
Ω = {ω0, ω1, ω2} i p(ω0) = 3/10, p(ω1) = 6/10 i  p(ω2) = 1/10.
Na ryc. 2 mamy geometryczną prezentację tej przestrzeni probabilistycznej. Wynik losowania dwóch kul jest tu oczkiem sieci narzuconej na kwadrat o polu 1, prawdopodobieństwo wyniku jest polem tego oczka. Ta prezentacja nazywa się tangramem przestrzeni probabilistycznej.

Ryc. 2. Tangram modelu probabilistycznego losowania dwóch kul z urny U3*2


Oznaczajmy wyniki rzutu monetą małymi literami: 
o (wypadnie orzeł) i r (wypadnie reszka).
Wynik k-krotnego rzutu monetą przedstawmy jako k-wyrazowy ciąg, którego kolejny wyraz jest wynikiem kolejnego rzutu monetą. Ciąg rorr jest prezentacją wyniku czterokrotnego rzutu monetą.
Jest 2k wyników k-krotnego rzutu monetą i wszystkie są jednakowo prawdopodobne, a więc prawdopodobieństwo każdego jest równe 1/2k , czyli (1/2)^k.

Przykład 7. [NIETRWAJĄCE DŁUŻEJ NIŻ 4 RZUTY MONETĄ CZEKANIE NA RESZKĘ] 
Nietrwający dłużej niż 4 rzuty monetą czekanie na reszkę. 
Doświadczenie losowe δ4r jest powtarzaniem rzutu monetą tak długo, aż wypadnie reszka, ale jeśli po czterech rzutach reszka nie wypadnie ani razu, to doświadczenie się kończy. To doświadczenie losowe o losowej liczbie etapów nazywamy czekaniem na reszkę, nietrwającym dłużej niż 4 rzuty monetą. Wyniki tego doświadczenia (jako ciągi wyników kolejnych rzutów monetą) są następujące: r, or, oor, ooor, oooo.
Niech r = ω1, or = ω2, oor = ω3, ooor = ω4 i oooo = ω0. Jeśli reszka wypadnie po raz pierwszy w k-tym rzucie i k = 1, 2, 3, 4, to taki wynik oznaczamy ωk. Jeśli reszka nie wypadnie w żadnym z czterech rzutów, to ten wynik oznaczmy przez ω0. Jeśli Ω4r  oznacza zbiór wyników doświadczenia δ4r , to: Ω4r  = {ω1, ω2, ω3, ω4, ω0}.
Niech p4k będzie funkcją, która każdemu wynikowi doświadczenia losowego δ4r przypisuje jego prawdopodobieństwo.
Dla k = 1, 2, 3, 4 wynik ωk jest szczególnym wynikiem k-krotnego rzutu monetą, a zatem jego prawdopodobieństwo jest równe , czyli (1/2)^k . Wynik ω0 jest szczególnym wynikiem czterokrotnego rzutu monetą, a zatem jego prawdopodobieństwo jest równe , czyli (1/2)^k .
Modelem probabilistycznym doświadczenia δ4r jest więc para (Ω4r , p4r), gdzie: Ω4r = {ω1, ω2, ω3, ω4, ω0} i p4r {ωk) = (1/2)^k
dla k = 1, 2, 3, 4 i p4r(ω0) = (1/2)^k.

  1. Zdarzenia w regulaminie gry losowej – sprawiedliwa gra losowa a zdarzenie i jego prawdopodobieństwo wokół nas

Dalsze rozważania dotyczyć będą zdarzenia i jego prawdopodobieństwa w przestrzeni probabilistycznej, która jest modelem pewnego doświadczenia losowego. Będą to zatem zdarzenia związane z tym doświadczeniem, a więc w jakimś sensie zdarzenia wokół nas.

Zadanie 6. [GRA LOSOWA 1] 
Bolek, zapraszając Antka do gry, oznajmił: – Mam w dłoni 5 kul nierozróżnialnych w dotyku, 3 są białe i 2 czerwone. Jeden z nas wylosuje dwie kule z tego zestawu i:

  • jeśli obie wylosowane kule będą tego samego koloru, to ty, Antku, zwyciężysz,
  • jeśli zaś każda będzie innego koloru, to ja zwyciężam.

Jaką decyzję co do udziału w takiej grze powinien podjąć Antek?

O zwycięzcy w tej grze decyduje wynik doświadczenia losowego δ23*2 z przykładu 6. Nie jest ważne, kto będzie losował kule. W regulaminie gry opisano, co się musi zdarzyć, aby zwyciężył Antek, a co – by zwyciężył Bolek. Jest tu mowa o dwóch następujących zdarzeniach związanych z doświadczeniem δ23*2: 
A = {obie wylosowane kule będą tego samego koloru},
B = {każda z wylosowanych kul będzie innego koloru}.

Antek zwycięży wtedy i tylko wtedy, gdy zajdzie zdarzenie A, Bolek zaś, gdy zajdzie B. Oceną szans gracza na zwycięstwo staje się prawdopodobieństwo zdarzenia. Jak określić to prawdopodobieństwo?

[Zdarzenie jako zbiór}
Gdy losowanie dwóch kul zakończy się wynikiem ω0, to zajdzie zdarzenie A, bo skoro obie wylosowane kule są białe, to obie są tego samego koloru. Mówimy, że wynik ω0 sprzyja zdarzeniu A. Temu zdarzeniu sprzyja także wynik ω2. Wynik ω1 nie sprzyja zdarzeniu A.
Dla każdego zdarzenia związanego z losowaniem dwóch kul określmy zbiór tych wyników losowania, które temu zdarzeniu sprzyjają. W przypadku zdarzenia A jest to zbiór {ω0, ω2}.
Utożsamiajmy zdarzenie A ze zbiorem sprzyjających mu wyników i piszmy A = {ω0, ω2}. Zdarzenie stało się podzbiorem pewnego zbioru, a więc obiektem matematyki. Tym samym wyjaśniło się, dlaczego w matematyce zdarzeniami nazywamy podzbiory zbioru Ω, jeśli para (Ω, p) jest przestrzenią probabilistyczną (por. definicja 4).

[Prawdopodobieństwo zdarzenia]
Wróćmy do zadania 6. Studenci sekcji nauczycielskiej (a więc po szkolnym kursie rachunku prawdopodobieństwa) bez wahania odpowiadają:
„Zdarzeniu A sprzyjają dwa wyniki losowania, a zdarzeniu B 
tylko jeden, a więc zdarzenie A jest bardziej (i to dwa razy bardziej) prawdopodobne niż zdarzenie B. Gra nie jest więc sprawiedliwa”.
W tym (błędnym) wniosku na temat prawdopodobieństwa zdarzenia uwzględniono liczbę wyników sprzyjających temu zdarzeniu, pominięto zaś prawdopodobieństwa tych wyników. Wydaje się oczywiste, że prawdopodobieństwo zdarzenia powinno zależeć od prawdopodobieństw tych wyników.

Zadanie 7. [GRA LOSOWA 2] 
Dwaj gracze będą rzucać na przemian monetą, ale nie więcej niż cztery razy, i zwycięży ten, kto pierwszy wyrzuci reszkę. Jeśli reszka nie wypadnie w żadnym z czterech rzutów monetą, to gra zakończy się remisem.

  1. Wraz z zaproszeniem do udziału w tej grze Bolek zaoferował Antkowi prawo do pierwszego rzutu. Jaką decyzję powinien podjąć Antek w tej sytuacji?
  2. Załóżmy, że w tej grze wezmą udział Antek i Bolek i że Antek rzuci monetą pierwszy. Oto argumentacja, że pierwszeństwo nie wpływa na szanse zwycięstwa: „Antek zwycięży, jeśli reszka wypadnie w 1. lub 3. rzucie monetą, Bolek – gdy reszka wypadnie w 2. lub 4. rzucie. Tyle samo wyników sprzyja zwycięstwu Antka co zwycięstwu Bolka, a zatem ich szanse są równe”. Czy jest to poprawna argumentacja? 

Dlaczego?

W grze z zadania 7 przeprowadza się doświadczenie losowe δ4r z przykładu 7. W regulaminie gry mowa jest o dwu zdarzeniach:

  • A = {reszka wypadnie po raz pierwszy w nieparzystym rzucie monetą},
  • B = {reszka wypadnie po raz pierwszy w parzystym rzucie monetą}.

W modelu probabilistycznym doświadczenia losowego δ4r jest: A = {ω1, ω3} i B = {ω2, ω4}. 
Zdarzenia A i B są równoliczne. Ten fakt zdaje się sprawiać, że zdarzenia A i B są jednakowo prawdopodobne. Wykażemy, że to nie jest prawda.

[Definicja prawdopodobieństwa zdarzenia]
Wróćmy do zadania 6. Chodzi teraz o ocenę prawdopodobieństwa zdarzeń A i B związanych z losowaniem dwu kul z urny U3*2. W modelu tego losowania jest A = {ω0, ω2} i B = {ω1}.

  • Zdarzeniu B sprzyja tylko wynik ω1. Zdarzenie B zajdzie więc wtedy i tylko wtedy, gdy losowanie δ23*2 zakończy się wynikiem ω1. Prawdopodobieństwo zdarzenia B, czyli P(B), powinno być zatem równe prawdopodobieństwu wyniku ω1, czyli P(B) = p(ω1).
  • Zdarzeniu A sprzyjają wyniki ω0 i ω2. Wydaje się naturalne przyjąć, że prawdopodobieństwo zdarzenia A jest sumą prawdopodobieństw tych wyników, co zapiszemy w języku matematyki: P(A) = p(ω0) + p(ω2).
  • Prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego powinno być równe zero.

Te uwagi prowadzą do odkrycia, że właściwe określenie prawdopodobieństwa zdarzenia w skończonej przestrzeni probabilistycznej (Ω, p) prezentuje definicja 4, w myśl której: 
jeśli para (Ω, p) jest modelem doświadczenia losowego δ, 
to prawdopodobieństwo zdarzenia, któremu sprzyjają co najmniej dwa wyniki, jest sumą prawdopodobieństw tych wyników.
W tym stwierdzeniu mowa jest o wartościach dwóch różnych funkcji:
funkcji P, która zdarzeniom przypisuje ich prawdopodobieństwa (jest to funkcja zbioru i nazywa się prawdopodobieństwem) oraz
funkcji p, która wynikom doświadczenia losowego δ przypisuje ich prawdopodobieństwa (jest to funkcja punktu i nazywa się rozkładem prawdopodobieństwa na zbiorze Ω).

Przykład 8.
Dla zdarzeń A = {ω0, ω2} i B = {ω1} z zadania 6 mamy:

Zdarzenie B jest bardziej prawdopodobne niż A. Bolek ma większe szanse na zwycięstwo niż Antek. Przyjęcie zaproszenia do gry jest decyzją nieracjonalną. Zdarzeniu A sprzyja więcej wyników niż zdarz...

Pozostałe 70% treści dostępne jest tylko dla Prenumeratorów.

Co zyskasz, kupując prenumeratę?
  • 6 wydań czasopisma "Matematyka"
  • Dostęp do wszystkich archiwalnych artykułów w wersji online
  • Możliwość pobrania materiałów dodatkowych, testów i zadań
  • ...i wiele więcej!
Sprawdź

Przypisy