Dołącz do czytelników
Brak wyników

Matematyka inaczej

6 lutego 2019

NR 36 (Styczeń 2018)

Zdarzenie i jego prawdopodobieństwo w matematyce i wokół nas

0 115

Na co dzień mówimy o różnych zdarzeniach. W kontekście wielu zdarzeń dodajemy, że są mało prawdopodobne albo bardzo prawdopodobne, o dwu zdarzeniach mówimy, że jedno jest mniej prawdopodobne niż drugie, a inne dwa są jednakowo prawdopodobne. Wśród zdarzeń są prawie pewne i są prawie niemożliwe.

Jeśli zdarzy się coś, co jest wyjątkowo mało prawdopodobne, to mówimy o pechu albo szczęściu. W tych stwierdzeniach prawdopodobieństwo zdarzenia jawi się jako ocena szansy na jego zajście (w bliższej lub dalszej przyszłości), a zarazem jako pewna miara – rachunek prawdopodobieństwa jako dział matematyki jest w istocie teorią miary. Mówimy tu o jakościowych (a nie ilościowych) ocenach prawdopodobieństwa zdarzenia.

  1. Zdarzenia wokół nas i ich prawdopodobieństwo

Artykuł jest adresowany do nauczyciela matematyki, a zatem jest w nich sporo odniesień do realnego świata. Mówimy tu o odkrywaniu pojęcia zdarzenia i jego prawdopodobieństwa jako matematycznych narzędzi opisu i badania rzeczywistości. Prezentujemy fragmenty rachunku prawdopodobieństwa jako matematyki in statu nascendi i matematyki dla każdego. Takie ujęcie szkolnego rachunku prawdopodobieństwa przedstawiono w książce [7].

Przykład 1.
Wyjdźmy od kilku zdarzeń z „życia wziętych”. Oznaczajmy je dużymi literami, słowny opis zdarzenia umieszczajmy w klamrowych nawiasach. W rozważaniach weźmy jednak pod uwagę poniższe fakty.

  1. Załóżmy, że jest koniec kwietnia.
  2. Jadę autem i za chwilę skręcę w główną ulicę, za rogiem jest skrzyżowanie z sygnalizacją świetlną, której jeszcze nie widzę.
  3. Zbliżam się do przystanku tramwajowego, na którym stoi 12 osób.
  4. Z dworca autobusowego za chwilę ruszy autobus z pięćdziesięcioma pasażerami.
  5. Dziś jaskółki nisko latają.
  6. Jutro w klasie Franka na lekcji chemii będzie testowy sprawdzian, a na nim lista 40 nazw związków chemicznych, wśród których są dwa aldehydy – uczeń ma je podkreślić i za trafne wskazanie obu aldehydów dostanie ocenę pozytywną (por. [8]). Franek nie ma wiedzy z materiału objętego testem, bo się nie uczył.
  7. Ala planuje jutro spacer po łące, by nazbierać wiosennych kwiatów.
  8. Myśliwy Hubert, mając trzy naboje w strzelbie, wyruszył na polowanie.

W tak określonym czasie i kontekście rozważmy zdarzenia:
A* = {w tym roku po 15. maja w Beskidzie Żywieckim będą przymrozki},
B* = {na skrzyżowaniu za rogiem trafię na zielone światło},
C* = {każda z dwunastu osób czekających na tramwaj urodziła się pod innym znakiem zodiaku},
D* = {w autobusie są co najmniej dwie osoby mające urodziny w tym samym dniu},
E* = {jutro będzie deszczowo},
F* = {Franek dostanie pozytywną ocenę z testowej klasówki z chemii},
G* = {Ala znajdzie na łące czterolistną koniczynkę}.
H* = {(Hubert ustrzeli zająca, który się ukazał na horyzoncie}.

Autor pamięta z dzieciństwa, jak w początkach marca w oknach wiejskich domów pojawiały się doniczki, do których wysiewano nasiona kapusty, by dopiero po 15. maja przesadzić sadzonki na grządki w ogródku. Podstawą tych decyzji było następujące wnioskowanie à posteriori: 

Jest bardzo mało prawdopodobne, aby w tym roku po 15. maja były u nas przymrozki, bo do tej pory (czyli w przeszłości) przymrozki po 15. maja prawie się u nas nie zdarzały. 

Fakt z przeszłości był podstawą do tego, by zajście zdarzenia A* w przyszłości uznawać za wyjątkowo mało prawdopodobne, a nawet wręcz za prawie niemożliwe. Człowiek skonstatował, że ilekroć jaskółki nisko latały, tylekroć wkrótce potem padał deszcz. Zdarzenie E* jest bardzo prawdopodobne. W przypadku zdarzenia G* powiemy, że jest ono wyjątkowo mało prawdopodobne, bo czterolistne koniczynki występują na polach wyjątkowo rzadko.
Ludzką mądrość kształtowały także takie obserwacje przyrody oraz oceny, jakie z nich wynikały na temat prawdopodobieństwa. To są jakościowe oceny prawdopodobieństwa zdarzenia, oparte na danych empirycznych, a więc oceny à posteriori. Mówimy tu o statystycznym albo częstościowym aspekcie prawdopodobieństwa zdarzenia (por. [4], s. 122). Te oceny prawdopodobieństwa posłużyły człowiekowi do podejmowania rozmaitych decyzji, w tym także do rozstrzygania, czy dany fakt jest rezultatem wiedzy, pewnych zdolności, informacji, czy też zgadywania, a więc przypadku (por. [4], s. 150). Zauważmy, jak ważny jest czas w tych dysputach.
W artykule pokażemy, że dla niektórych zdarzeń z przykładu 1 (jako zdarzeń „z życia wziętych”) można na gruncie matematyki znaleźć à priori ich prawdopodobieństwa (i to w ocenie ilościowej) i że dla innych tego typu zdarzeń takiego prawdopodobieństwa wyliczyć się nie da, bo są to zdarzenia związane z sytuacjami, które nie mają probabilistycznego modelu.

Przykład 2.
W zadaniach z rachunku prawdopodobieństwa pojawiają się myśliwi, którzy w trakcie polowania strzelają do zwierza, a strzał jest celny z prawdopodobieństwem 9/10. Studenci bezkrytycznie przystępują do obliczania prawdopodobieństwa, że taki myśliwy, mający trzy naboje, ustrzeli zająca, celując raz, dwa albo trzy razy (a zając tylko czeka, aż to się stanie). Tymczasem ułamek 9/10 jako prawdopodobieństwo pewnego zdarzenia („wziętego z życia”) nie ma tu żadnej racji bytu. Któż bowiem i na jakiej drodze uzyskał tę ilościową ocenę prawdopodobieństwa?
Zdarzenie H* wiąże się z sytuacją, która nie ma probabilistycznego modelu. Nie sposób oceniać tu à priori prawdopodobieństwa, że myśliwy zastrzeli zająca, bo to polowanie nie jest probabilizowalne. Nie ma również sensu mówić tu o ocenie à posteriori, bo skąd wziąć dane empiryczne.

Przykład 3.
Inaczej jest w przypadku Franka i zdarzenia F*. Dzięki informacji, że Franek nic nie umie z materiału objętego testem (jest to pewna hipoteza H0), możemy wypełnianie przez Franka owego testu z chemii traktować jako losowanie dwóch kul z urny, w której są dwie kule czerwone (to są dwa aldehydy) i 38 kul białych (to pozostałe związki). Zdarzenie F* jest tak samo prawdopodobne, jak trafienie na obie czerwone kule w losowaniu dwóch kul ze wspomnianej urny. To ostatnie prawdopodobieństwo da się wyliczyć na gruncie matematyki (jest ono równe 1/780 , co wykazano w [8]).Tworzenie probabilistycznego modelu dla rozwiązywania testu z chemii to jest faza matematyzacji.

Przykład 4.
Przypadek sprawi, na jakie światło trafię na skrzyżowaniu. Są trzy możliwości: światło może być zielone, czerwone albo żółte. Nie są one jednakowo prawdopodobne. Prawdopodobieństwo trafienia na dane światło zależy od czasu, w jakim to światło się świeci. Jest bardziej prawdopodobne, że trafię na zielone światło niż na żółte, bo światło zielone świeci się dłużej niż żółte.

Ryc. 1. Ruletka jako sygnalizator świetlny na skrzyżowaniu

Załóżmy, że światło żółte (na rysunku: pole białe) świeci się cztery sekundy, a zielone (szare) i czerwone (ciemnoszare) po 28 sekund. Te informacje dają podstawę do ilościowej oceny prawdopodobieństwa zdarzenia B*. Kolor światła, na które za chwilę trafię, przypomina kolor wylosowany ruletką z trzema sektorami: białym, ciemnoszarym i jasnoszarym. Na rycinie 1 mamy jej tarczę (wokół środka tarczy kręci się wprawiona w ruch strzałka, kolor sektora, w którym zatrzyma się strzałka, to jest wylosowany kolor). Prawdopodobieństwo zdarzenia B* jest zatem ilorazem 28/60 , czyli ułamkiem 7/15. Czas, który tu wymierza prawdopodobieństwo, jest pewną miarą. Mówimy tu o miarowym aspekcie prawdopodobieństwa. Sytuacja, której dotyczy zdarzenie B*, ma swój model probabilistyczny. To jest sytuacja probabilizowalna.
Dalej pokażemy, że dla zdarzeń C* i D* można à priori (dzięki matematyzacji) obliczyć ich prawdopodobieństwa. Zdarzenie C*
jest prawie niemożliwe, a zdarzenie D* jest prawie pewne 
(por. przykład 11).
Omawiane przykłady „z życia” wiele nam mówią o naturze pojęcia prawdopodobieństwa zdarzenia, mogą więc pełnić ważną funkcję w kształtowaniu tego pojęcia. Te przykłady skłaniają także do refleksji, gdy chodzi o fabułę zadań tekstowych, jakie proponujemy uczniowi do kontroli i oceny jego wiedzy i kompetencji w zakresie rachunku prawdopodobieństwa. Często są to zadania o treści pozbawionej sensu. Autor poleca tu refleksję nad fabułą zadania 1.

Zadanie 1.
Prawdopodobieństwo tego, że cyrkowiec akrobata będzie miał wypadek przy pierwszym występie danego dnia, jest równe 0,0001. Oblicz prawdopodobieństwo, że akrobata występujący 100 razy w ciągu roku będzie miał co najmniej jeden wypadek (por. [11]).

  1. Zdarzenie i jego prawdopodobieństwo w matematyce

Każde zdarzenie jako pojęcie matematyczne rozważa się w określonej przestrzeni probabilistycznej (por. [8] oraz [9], s. 124). W matematyce przyjęto następującą definicję aksjomatyczną tej przestrzeni oraz zdarzenia i jego prawdopodobieństwa, zwaną definicją Kołmogorowa.

Definicja 1. [PRZESTRZEŃ PROBABILISTYCZNA]
Przestrzenią probabilistyczną nazywamy każdą trójkę (Ω, Z, P), gdzie Ω jest dowolnym niepustym zbiorem, Z jest σ-ciałem podzbiorów zbioru Ω, a P funkcją określoną na zbiorze Z, o wartościach rzeczywistych, nieujemną, przeliczalnie addytywną i taką,  że P(Ω) = 1. Zbiory z rodziny Z nazywamy zdarzeniami. Funkcję P
nazywamy prawdopodobieństwem, a jej wartość dla zbioru A  z rodziny Z, czyli liczbę P(A), nazywamy prawdopodobieństwem zdarzenia A.
W szkolnej matematyce rozważania ograniczamy do przestrzeni probabilistycznych (Ω, Z, P), w których zbiór Ω jest co najmniej dwuelementowy i skończony. O produkowaniu takich przestrzeni mówi się szerzej w [8].

Definicja 2. [Ziarnista przestrzeń probabilistyczna]
Załóżmy, że Ω jest dowolnym, skończonym zbiorem co najmniej dwuelementowym. Niech Ω = {ω1, ω2, ω3, …, ωS}. Każdą funkcję p określoną na zbiorze Ω o wartościach ze zbioru ℝ liczb rzeczywistych, nieujemną i taką, że
p(ω1) + p(ω2) + p(ω3) + … + p(ωs) = 1, 
nazywamy rozkładem prawdopodobieństwa na zbiorze Ω, a parę (Ω, p) nazywamy ziarnistą przestrzenią probabilistyczną.

Definicja 3. Jeśli Ω = {ω1, ω2, ω3, …, ωS} i p(ωj) = 1/s dla 
j = 1, 2, 3, …, s, to funkcję p nazywamy klasycznym rozkładem prawdopodobieństwa na zbiorze Ω, a parę (Ω, p) nazywamy klasyczną przestrzenią probabilistyczną.

Definicja 4. [ZDARZENIE I JEGO PRAWDOPODOBIEŃSTWO W ZIARNISTEJ PRZESTRZENI PROBABILISTYCZNEJ] 
Niech para (Ω, p) będzie ziarnistą przestrzenią proba-bilistyczną, a Z rodziną wszystkich podzbiorów zbioru Ω. 
Te podzbiory nazywamy zdarzeniami. Funkcję P określoną na rodzinie Z wzorem: 

nazywamy prawdopodobieństwem, a jej wartość dla zbioru A z rodziny Z nazywamy prawdopodobieństwem zdarzenia A.
Zbiór Z wszystkich podzbiorów zbioru Ω jest σ-ciałem podzbiorów zbioru Ω. Funkcja P, o której mowa w definicji 4, jest prawdopodobieństwem w sensie aksjomatycznej definicji, a zatem trójka (Ω, Z, P), która powstała z pary (Ω, p), jest przestrzenią probabilistyczną w sensie Kołmogorowa.

Zadanie 2
Przestrzenią probabilistyczną jest para (Ω, p), gdzie: 
Ω = {ω0, ω1, ω2} i p(ω0) = 3/10, p(ω1) = 6/10 , p(ω2) = 1/10 .
W tabeli mamy wszystkie zdarzenia w tej przestrzeni. Pod trzema zdarzeniami wpisano ich prawdopodobieństwo, obliczone za pomocą definicji 4. Uzupełniwszy tę tabelę, określisz funkcję P, a zarazem trójkę (Ω, Z, P).
                     

[Algebra zdarzeń w ziarnistej przestrzeni probabilistycznej]
Jeśli para (Ω, p) jest ziarnistą przestrzenią probabilistyczną, to zbiór Z wszystkich podzbiorów zbioru Ω jest rodziną zdarzeń w tej przestrzeni. W tej rodzinie są dwa szczególne podzbiory zbioru Ω (zwane podzbiorami niewłaściwymi): zbiór pusty 0, który nazywamy zdarzeniem niemożliwym, i zbiór Ω, który nazywamy zdarzeniem pewnym.
Każdy właściwy podzbiór zbioru Ω nazywamy zdarzeniem losowym. Jednoelementowe podzbiory zbioru Ω nazywamy zdarzeniami prostymi.
Zdarzenie jest zbiorem, możemy więc mówić o sumie i o iloczynie zdarzeń. Jeśli A i B są zdarzeniami w przestrzeni probabilistycznej {Ω, p} takimi, że:

  • \(\bigcap_{}^{}\) B = 0, to mówimy, że są to zdarzenia rozłączne,
  • A \(\bigcap_{}^{}\) B = 0  i A \(\bigcup_{}^{}\) B = Ω, to mówimy, że są to zdarzenia przeciwne. 

Dalsze rozważania dotyczyć będą zdarzenia i jego prawdopodobieństwa:

  • w przestrzeni probabilistycznej (czyli w matematyce),
  • w modelu probabilistycznym doświadczenia losowego (czyli „wokół nas”).

W sensie logicznym zwroty zdarzenie i prawdopodobieństwo zdarzenia to są nazwy (por. [5], s. 45). Spróbujemy odpowiedzieć na pytanie ważne dla nauczycieli, czy jest jakieś (i jakie?) wytłumaczenie faktu, że:

  • desygnatem nazwy zdarzenie ([5], s. 50) jest podzbiór pewnego zbioru Ω,
  • desygnatem nazwy prawdopodobieństwo jest szczególna funkcja P.
  1. Twierdzenie klasyczne – prawdopodobieństwo klasyczne

Obliczając prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia w klasycznej przestrzeni probabilistycznej za pomocą definicji 4, stwierdzimy, że:

Twierdzenie 1. [TWIERDZENIE KLASYCZNE] 
Jeżeli A jest zdarzeniem w klasycznej przestrzeni probabilistycznej (Ω, p), to:

gdzie moc zbioru jest liczbą jego elementów.
Prawdopodobieństwo P w klasycznej przestrzeni probabilistycznej nazywamy prawdopodobieństwem klasycznym. Twierdzenie klasyczne czasami mylnie nazywane jest klasyczną definicją prawdopodobieństwa.
Jedna z jego własności orzeka:

Jeżeli P jest prawdopodobieństwem klasycznym, a zdarzenia A i B są zbiorami równolicznymi, to P(A) = P(B).

Nie jest to własność prawdopodobieństwa w każdej przestrzeni probabilistycznej. Wykaż to, korzystając z rozwiązania zadania 2.
Liczbę elementów zbioru skończonego A nazywamy jego mocą i oznaczamy . Zapis Ω = s oznacza, że Ω jest zbiorem s-elementowym.

  1. Własności prawdopodobieństwa w przestrzeni probabilistycznej

Z definicji 4 wynikają rozmaite własności prawdopodobieństwa P (zob. [7], s. 105). Ich formułowanie i dowodzenie jest fazą dedukcji. Rachunek prawdopodobieństwa dobrze ilustruje, jak się organizuje dedukcję w matematyce.

Zadanie 3
Udowodnij, że w każdej przestrzeni probabilistycznej (Ω, p) prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego jest równe 1, czyli że prawdziwa jest implikacja: 
jeżeli B = Ω (czyli B jest zdarzeniem pewnym), to P(B) = 1.
Od lat absolwenci naszych szkół średnich przypisują prawdopodobieństwu własności, których to pojęcie nie ma (por. badania opisane w [3], s. 310–315). W tym kontekście ważne staje się akcentowanie implikacji dotyczących prawdopodobieństwa, które nie są prawdziwe.

Zadanie 4.
Udowodnij, że nie są prawdziwe następujące implikacje:

  1. Jeżeli P(A) = 0, to A jest zdarzeniem niemożliwym,
  2. Jeżeli P(B) = 1, to B jest zdarzeniem pewnym.

Zauważ, że implikacja 2. jest odwrotna do tej, o której mowa w zadaniu 3.

Przykład 5.
Szczególne miejsce w organizacji dedukcji (jako źródło kontr-
przykładów) zajmie tu osobliwa przestrzeń probabilistyczna (Ω*, p*), gdzie: 



Prawdopodobieństwo w tej przestrzeni jest funkcją P określoną w tabeli.

Zauważmy, że w tej przestrzeni probabilistycznej (Ω*, p*):

  • istnieje zdarzenie, którego prawdopodobieństwo jest równe 0 i które nie jest niemożliwe – jest nim z...

Pozostałe 70% treści dostępne jest tylko dla Prenumeratorów.

Co zyskasz, kupując prenumeratę?
  • 6 wydań czasopisma "Matematyka"
  • Dostęp do wszystkich archiwalnych artykułów w wersji online
  • Możliwość pobrania materiałów dodatkowych, testów i zadań
  • ...i wiele więcej!
Sprawdź

Przypisy