Dołącz do czytelników
Brak wyników

Matematyka inaczej

23 czerwca 2018

NR 32 (Maj 2018)

Chiński sposób na obliczenie objętości kuli

0 267

      

Gdy w Europie w okresie średniowiecza w matematyce nastąpiła kilkusetletnia stagnacja, w Chinach dało się odczuć wielkie zainteresowanie matematyką, a wielu matematyków chińskich poczyniło spore osiągnięcia w tej dziedzinie, szczególnie w geometrii. Odkrywali oni interesujące twierdzenia i przeprowadzali dowody znanych już własności. Wówczas zaczęto również poszukiwać sposobu na wyznaczenie objętości kuli.

Pierwszym, który podjął się tego zadania, był Liu Hui, żyjący w południowych Chinach w III wieku n.e. Zauważył on, że stosunek pola kola wpisanego w kwadrat do pola tego kwadratu jest równy:
 

\(\frac{Pole \ koła \ wpisanego}{Pole \ kwadratu} = \frac{\pi \cdot r^{2}}{4\cdot r^{2}}=\frac{\pi }{4}\)
 

Podobnie stosunek objętości walca wpisanego w sześcian do objętości tego sześcianu jest równy:
 

\(\frac{Objętość \ walca \ wpisanego}{Objętość \ sześcianu} = \frac{\pi \cdot r^{2}\cdot2r}{( 2r)^{3}}=\frac{\pi }{4}\)

Gdy już odkrył te dwa fakty, umieścił w walcu kulę i próbował wykryć zależność pomiędzy jej objętością a objętością walca lub sześcianu. Jego badania jednak zakończyły się niepowodzeniem. Powodem była nieznajomość przez Liu Hui zasady Archimedesa – Cavalieriego.

Dopiero inny chiński matematyk w V w. n.e., Zu Chongzhi, zajął się przekrojami kuli i utworzył kwadraty styczne do tych kołowych przekrojów. W ten sposób odkrył bryłę, którą nazwał „mouhefanggai”, co oznacza „podwójna parasolka”. Rycina 2 ilustruje trzy etapy tworzenia tej bryły. 

Ponieważ kula umieszczona wewnątrz mouhefanggai jest styczna do niej, więc przekroje obu brył na każdej wysokości stanowią koło i kwadrat do niego styczny.

Zatem iloraz sumy pól tych kół (czyli objętość kuli) do sumy pól kwadratów (czyli objetość mouhefanggai) jest taki sam jak iloraz pola pojedynczego koła do pola kwadratu do niego stycznego, czyli:
 

\(\frac{Objętość\ kuli}{Obj \ mouhenfanggai} = \frac{pole \ koła}{pole \ kwadratu} = \frac{\pi}{4}\)

Jeśli więc potrafimy obliczyć objętość mouhefanggai, to z powyższego wzoru wyznaczymy objętość kuli o promieniu r:

\(V_{kuli}=\frac{\pi}{4}\cdot V_{ mouhenfanggai}\)
 
Bryła mouhefanggai, zwana też bicylindrem, została „odnowiona” piętnaście wieków później przez amerykańskiego matematyka pochodzenia niemieckiego, Charlesa Proteusa Steinmetza, który o...

Pozostałe 70% treści dostępne jest tylko dla Prenumeratorów.

Co zyskasz, kupując prenumeratę?
  • 6 wydań czasopisma "Matematyka"
  • Dostęp do wszystkich archiwalnych artykułów w wersji online
  • Możliwość pobrania materiałów dodatkowych, testów i zadań
  • ...i wiele więcej!
Sprawdź

Przypisy