Gdy w Europie w okresie średniowiecza w matematyce nastąpiła kilkusetletnia stagnacja, w Chinach dało się odczuć wielkie zainteresowanie matematyką, a wielu matematyków chińskich poczyniło spore osiągnięcia w tej dziedzinie, szczególnie w geometrii. Odkrywali oni interesujące twierdzenia i przeprowadzali dowody znanych już własności. Wówczas zaczęto również poszukiwać sposobu na wyznaczenie objętości kuli.
POLECAMY
Pierwszym, który podjął się tego zadania, był Liu Hui, żyjący w południowych Chinach w III wieku n.e. Zauważył on, że stosunek pola kola wpisanego w kwadrat do pola tego kwadratu jest równy:
\(\frac{Pole \ koła \ wpisanego}{Pole \ kwadratu} = \frac{\pi \cdot r^{2}}{4\cdot r^{2}}=\frac{\pi }{4}\)
Podobnie stosunek objętości walca wpisanego w sześcian do objętości tego sześcianu jest równy:
\(\frac{Objętość \ walca \ wpisanego}{Objętość \ sześcianu} = \frac{\pi \cdot r^{2}\cdot2r}{( 2r)^{3}}=\frac{\pi }{4}\)
Gdy już odkrył te dwa fakty, umieścił w walcu kulę i próbował wykryć zależność pomiędzy jej objętością a objętością walca lub sześcianu. Jego badania jednak zakończyły się niepowodzeniem. Powodem była nieznajomość przez Liu Hui zasady Archimedesa – Cavalieriego.
Dopiero inny chiński matematyk w V w. n.e., Zu Chongzhi, zajął się przekrojami kuli i utworzył kwadraty styczne do tych kołowych przekrojów. W ten sposób odkrył bryłę, którą nazwał „mouhefanggai”, co oznacza „podwójna parasolka”. Rycina 2 ilustruje trzy etapy tworzenia tej bryły.
Ponieważ kula umieszczona wewnątrz mouhefanggai jest styczna do niej, więc przekroje obu brył na każdej wysokości stanowią koło i kwadrat do niego styczny.
Zatem iloraz sumy pól tych kół (czyli objętość kuli) do sumy pól kwadratów (czyli objetość mouhefanggai) jest taki sam jak iloraz pola pojedynczego koła do pola kwadratu do niego stycznego, czyli:
\(\frac{Objętość\ kuli}{Obj \ mouhenfanggai} = \frac{pole \ koła}{pole \ kwadratu} = \frac{\pi}{4}\)
Jeśli więc potrafimy obliczyć objętość mouhefanggai, to z powyższego wzoru wyznaczymy objętość kuli o promieniu r:
\(V_{kuli}=\frac{\pi}{4}\cdot V_{ mouhenfanggai}\)
Bryła mouhefanggai, zwana też bicylindrem, została „odnowiona” piętnaście wieków później przez amerykańskiego matematyka pochodzenia niemieckiego, Charlesa Proteusa Steinmetza, który odkrył ją jako część wspólną dwóch prostopadłych walców – ryc. 3.
Ciekawostką jest, że Steinmetz urodził się we Wrocławiu i studiował na tamtejszym Uniwersytecie. Potem z przyczyn politycznych uciekł do Zurychu, a następnie wyemigrował do Nowego Jorku, gdzie odkrył zjawisko histerezy magnetycznej i ustanowił podwaliny współczesnej elektrotechniki. W Stanach Zjednoczonych współpracował
m.in. z Tomaszem Alfa Edisonem, Lordem Kelvinem
i Albertem Einsteinem.
Aby wyznaczyć objętość mouhefanggai, przypatrzmy się 1/8 części tej bryły. Zauważmy, że jeśli uzupełnimy ją do sześcianu, wówczas jego krawędź ma długość równą promieniowi r kuli wpisanej do mouhefanggai.
Przekrojem 1/8 mouhefanggai na wysokości h jest kwadrat o polu \(x^{2}\) (ryc. 4). Natomiast pole przekroju bryły uzupełniającej 1/8 mouhefanggai do sześcianu na wysokości h
jest sześciokąt w kształcie litery L i jego pole jest równe \(r^{2}-x^{2}\)
Ale z twierdzenia Pitagorasa widzimy, że:
\(r^{2}-x^{2}=h^{2}\)
Łatwo obliczyć, że takie samo pole przekroju na wysokości \(h\) ma ostrosłup, którego podstawą jest podstawa sześcianu, a wysokością jego krawędź.
Zgodnie z zasadą Cavalieriego, objętość tego ostrosłupa i bryły uzupełniającej mouhefanggai do sześcianu jest taka sama i stanowi 1/3 objętości sześcianu. Ponieważ na mouhefanggai składa się osiem takich uzupełnień do sześcianu, to:
\(Obj \ mouhefanggai = 8\cdot \frac{2}{3}\cdot r^{3}=\frac{16}{3}\cdot r^{3}\)
Zatem objętość kuli jest równa:
\(V_{kuli}=\frac{\pi}{4}\cdot \frac{16}{3}\cdot r^{3}=\frac{4}{3}\cdot \pi^{3}\)
