Pośród opisów szerokiego wachlarza zastosowań GeoGebry dawno nie pojawiał się temat przedłużania zadań problemowych z geometrii. Ponieważ rozwiązywanie takich zadań i możliwość wykonywania do nich ilustracji były głównymi powodami, dla których polubiłam GeoGebrę i postanowiłam ją poznać, dziś skupię się na opisaniu właśnie takiego przykładu. Jest to temat właściwie niekończący się, ponieważ zawsze znajdziemy nowe, ciekawe zadania, którym warto bliżej się przyjrzeć. Analizując zadania problemowe, dotyka się różnych tematów, można też pokierować zainteresowanie uczniów w dowolnym kierunku, trudno przypisać je do konkretnego etapu edukacyjnego. Takie zadania możemy i powinniśmy rozwiązywać zawsze, jeśli tylko mamy chwilę czasu. Polecam posiadanie takiego prywatnego banku zadań do wykorzystania podczas dodatkowych zajęć. Zadanie, od którego rozpocznę, jest niezwykle proste:
POLECAMY
Dany jest równoległobok ABCD (niebędący rombem ani prostokątem). Środki jego boków oznaczono K, L, M, N. Podaj własności czworokąta KLMN i udowodnij je.
Ilustracja jest dość łatwa do wykonania, dlatego możemy ją pozostawić uczniom do samodzielnej pracy. Po narysowaniu równoległoboku znajdujemy środki boków za pomocą narzędzia środek i łączymy powstałe punkty w wielokąt KLMN (ryc. 1).
Pracując z młodszymi uczniami, możemy pozostać na poziomie obserwowania własności, wyszukiwania i opisywania cech powstałego czworokąta. Od uczniów szkoły średniej możemy dodatkowo wymagać formalnych dowodów i uzasadnień. W obserwacji warto wykorzystać dodatkowo narzędzie GeoGebry, które pozwala na badanie relacji między obiektami . Jego działanie pozwala na potwierdzenie bądź obalenie stawianych hipotez. W wyniku jego zastosowania możemy uzyskać każdorazowo nieco inny komunikat, w zależności od tego, jakie obiekty wskażemy do analizy. Przykładowo, jeżeli wybierzemy odcinki KL i MN, program wyświetli informację o ich równości i równoległości.
Oczywiście, mówiąc o własnościach czworokąta, możemy dodatkowo wykreślić jego przekątne albo zmierzyć miary jego kątów wewnętrznych. Zadania tego typu są otwartymi problemami i to od nas i od naszych uczniów zależy, co będziemy kolejno robić, na co zwracać uwagę, czym się zajmować. Warto zaznaczyć też, że w treści zadania nie jest powiedziane, co trzeba udowodnić. Pozwala to na uruchomienie kreatywnego myślenia i nie zmusza uczniów do szukania uzasadnień faktów, co do których nie są przekonani, a które zostały im narzucone przez autora zadania.
Ponadto nasze działanie nie musi, a nawet nie powinno zakończyć się na tym etapie. Bardzo łatwo możemy zmodyfikować treść tego zadania i zastanowić się nad analogicznym problemem, gdy początkowy czworokąt ABCD będzie rombem. Jeżeli chodzi o GeoGebrę, to dość szybko wykonamy ilustrację dla tego przypadku. Musimy tylko zadbać o to, aby nasz równoległobok miał równe boki. Możemy w tym celu skorzystać z narzędzia odcinek o określonej długości . Po narysowaniu odcinka AB wybieramy to narzędzie, a następnie wskazujemy punkt B jako punkt początkowy oraz wpisujemy nazwę odcinka, którego długość chcemy uzyskać (małą literę alfabetu, jaką program domyślnie nazwał nasz odcinek AB). Potem postępujemy analogicznie jak w przypadku równoległoboku (ryc. 2).
Myślę, że dla wielu uczniów ciekawy powinien okazać się fakt, że dla równoległoboku otrzymaliśmy równoległobok, a dla rombu otrzymujemy prostokąt. Jeszcze przed wykonaniem rysunku możemy zapytać uczniów o ich przewidywania, jaką figurę otrzymamy. Dobrym doświadczeniem będzie dla nich skonfrontowanie przeczuć z obserwacjami. Oczywiście, podczas pracy z GeoGebrą nie możemy zapomnieć o poruszaniu punktami A, B, C, co pozwoli na lepszą analizę problemu. Idąc dalej, możemy zadać uczniom pytanie o to, jaki wielokąt otrzymamy po połączeniu środków boków w prostokącie i kwadracie. Możemy dla tych przypadków wykonać nowe rysunki lub też znaleźć odpowiednie ułożenie wierzchołków wielokąta ABCD dla równoległoboku – tworząc z niego prostokąt i rombu – tworząc kwadrat. Jednak polecam wykonanie rysunku przynajmniej dla prostokąta, co pozwoli nam na swobodne poruszanie wierzchołkami czworokąta bez obawy, że utracimy jego kąty proste (ryc. 3).
Dla kwadratu możemy stworzyć nowy rysunek albo ponownie wykorzystać rysunek prostokąta. Dla ułatwienia, dla szybszego umieszczenia punktów A, B, C, D w odpowiednich miejscach, możemy włączyć widok siatki. Wówczas wierzchołki prostokąta będziemy mogli umieścić w punktach kratowych (ryc. 4). Widok siatki w nowej wersji GeoGebry możemy włączyć za pomocą przycisku ustawień, widocznym w prawym górnym rogu okna programu .
Ostatnim krokiem pracy z tym zadaniem może być zastanowienie się wspólnie z uczniami, jaki wielokąt otrzymamy, łącząc środki dowolnego czworokąta wypukłego, niebędącego równoległobokiem ani trapezem (ryc. 5).
Możemy, oczywiście, podejść do tego zadania kompletnie odwrotnie i rozpocząć od analizy przypadku
dowolnego czworokąta wypukłego, a następnie rozpatrywać równoległobok, romb, prostokąt i kwadrat jako przypadki szczególne. Wszystko zależy od nas i od tego, co chcemy osiągnąć, co pokazać naszym uczniom. Możliwość właśnie takiego „elastycznego” podejścia, samodzielnego stawiania pytań i szukania odpowiedzi, rozpatrywania wybranych przypadków, wybierania kolejności analizowanych figur dają nam zadania problemowe. Wszystko to świadczy o ich wyjątkowości i atrakcyjności.
Innym przykładem tego typu zadania może być następujący problem:
Dany jest czworokąt wypukły ABCD. Na każdym boku tego czworokąta wybieramy po dwa punkty tak, aby podzieliły każdy z nich na trzy równe części. Przez powstałe punkty prowadzimy proste – jak na rycinie. Punkty przecięcia prostych są wierzchołkami czworokąta EFGH. Co możemy powiedzieć o powstałym czworokącie?
Zadanie to celowo sformułowałam odwrotnie do poprzednio rozważanego, rozpoczynając od dowolnego czworokąta. Ponadto wykonanie rysunku w GeoGebrze jest nieco bardziej pracochłonne niż poprzednie. Dlatego też trudne będzie wykonanie osobnego rysunku dla każdego czworokąta. Polecam więc tutaj drugą drogę – przygotowanie ilustracji ogólnej, a następnie rozpatrywanie szczególnych przypadków. Trudność wykonania rysunku polega na złożoności podziału odcinków na trzy części. Niestety, nie mamy gotowego narzędzia, które nam to umożliwi (tak jak w przypadku szukania środka odcinka). Musimy więc dla każdego boku czworokąta wykonać klasyczną konstrukcję podziału odcinka na trzy części. Aby wykonać taką konstrukcję, musimy narysować półprostą o początku w wierzchołku wielokąta. Na tej półprostej zaznaczamy trzy okręgi o takich samych promieniach. Przez punkt przecięcia ostatniego okręgu z półprostą oraz przez wybrany wierzchołek wielokąta prowadzimy prostą. Następnie rysujemy proste równoległe do tej prostej. Otrzymamy wówczas punkty dzielące bok wielokąta na trzy części (ryc. 6).
Dla przejrzystości rysunku wszystkie linie i okręgi musimy ukryć, a następnie powtórzyć wykonanie podziału dla pozostałych boków czworokąta. Po wykonaniu pełnej ilustracji możemy przejść do analizowania przypadków szczególnych. Dla ułatwienia sposobu rozmieszczania punktów A, B, C, D ponownie proponuję wyświetlenie siatki (ryc. 7).
