Dołącz do czytelników
Brak wyników

Matematyka inaczej

25 czerwca 2018

NR 30 (Styczeń 2018)

Konstrukcja małego dwunastościanu rombowego

414

Nazwa tego piętnastego wielościanu jednorodnego jest dość niefortunna, gdyż sugeruje, że ten wielościan ma coś wspólnego z dwunastościanem rombowym. Nic bardziej mylnego. 

Zdecydowanie powstaje on na bazie dwunastościanu foremnego. Wyobraźmy sobie, że ściany takiego dwunastościanu foremnego odsuwamy od jego środka w taki sposób, by między nimi umieścić kwadraty o długości boków równych długościom boków pięciokątów dwunastościanu. Ryc. 1 ilustruje takie rozsunięcie kilku ścian dwunastościanu, w którym ściany pięciokątne są połączone niebieskimi prostokątami. Przy odpowiednio dobranej wielkości rozsunięcia uzyskamy kwadraty. 

Pomiędzy kwadratami utworzą się trójkąty równoboczne (widać je na ryc. 2). Boki pięciu kwadratów i pięciu trójkątów równobocznych stanowią boki dziesięciokąta foremnego. W naszym wielościanie jest ich łącznie dwanaście – tyle, ile ścian w dwunastościanie. Dwa z tych dziesięciokątów (dekagonów) wyróżniono na ryc. 2 kolorem czarnym i zielonym. Wszystkich ścian w małym dwunastościanie rombowym jest 42, krawędzi jest 120, a wierzchołków 60.

Gdy w dekagonie poprowadzimy przekątne, to wyłonią się nam trójkątne ściany wgłębień tego wielościanu. Wgłębienia te to prawidłowe ostrosłupy trójkątne, których ściany boczne są trójkątami równoramiennymi o kącie między ich ramionami o mierze 108° − ryc. 3. Pięciokąt foremny zamalowany na ryc. 3 kolorem niebieskim jest jedną ze ścian dwunastościanu foremnego, który znajduje się wewnątrz bryły.

Na ryc. 3 widać też, skąd wzięła się miara 108° w trójkątach, które są ścianami ostrosłupowych wgłębień.

Konstrukcję naszego wielościanu w programie SketchUp rozpoczynamy od wykreślenia dziesięciokąta foremnego i jego przekątnych –  ryc. 4. Następnie dla trójkątnej ściany BAW (ryc. 4) musimy skonstruować dwie sąsiednie ściany, tak aby kąty dwuścienne każdej pary  z tych trzech ścian miały miarę 108°.

W tym celu w płaszczyźnie prostopadłej do ściany BAW obracamy odcinek WA wokół prostopadłej do tej płaszczyzny, otrzymując odcinek WA’. Podobnie tworzymy odcinek WB'. Konstruujemy rzuty prostokątne A'' i B'' punktów A' i B' na płaszczyznę dziesięciokąta – ryc. 5.

Wykreślamy okręgi o środkach A'' i B'' przechodzące przez punkty A i B. Wyznaczone okręgi (ryc. 6) przecinają się w punkcie C, który wyznacza trzeci wierzchołek poszukiwanego ostrosłupa – ryc. 7, którego ścianami są trójkąty AWC, BWC i ABW.

Teraz obracamy pięciokrotnie skonstruowany ostro...

Pozostałe 70% treści dostępne jest tylko dla Prenumeratorów

Co zyskasz, kupując prenumeratę?
  • 6 wydań czasopisma "Matematyka"
  • Dostęp do wszystkich archiwalnych artykułów w wersji online
  • Możliwość pobrania materiałów dodatkowych, testów i zadań
  • ...i wiele więcej!
Sprawdź

Przypisy