Dołącz do czytelników
Brak wyników

Matematyka inaczej

25 czerwca 2018

NR 30 (Styczeń 2018)

Konstrukcja małego dwunastościanu rombowego

0 260

Nazwa tego piętnastego wielościanu jednorodnego jest dość niefortunna, gdyż sugeruje, że ten wielościan ma coś wspólnego z dwunastościanem rombowym. Nic bardziej mylnego. 

Zdecydowanie powstaje on na bazie dwunastościanu foremnego. Wyobraźmy sobie, że ściany takiego dwunastościanu foremnego odsuwamy od jego środka w taki sposób, by między nimi umieścić kwadraty o długości boków równych długościom boków pięciokątów dwunastościanu. Ryc. 1 ilustruje takie rozsunięcie kilku ścian dwunastościanu, w którym ściany pięciokątne są połączone niebieskimi prostokątami. Przy odpowiednio dobranej wielkości rozsunięcia uzyskamy kwadraty. 

Pomiędzy kwadratami utworzą się trójkąty równoboczne (widać je na ryc. 2). Boki pięciu kwadratów i pięciu trójkątów równobocznych stanowią boki dziesięciokąta foremnego. W naszym wielościanie jest ich łącznie dwanaście – tyle, ile ścian w dwunastościanie. Dwa z tych dziesięciokątów (dekagonów) wyróżniono na ryc. 2 kolorem czarnym i zielonym. Wszystkich ścian w małym dwunastościanie rombowym jest 42, krawędzi jest 120, a wierzchołków 60.

Gdy w dekagonie poprowadzimy przekątne, to wyłonią się nam trójkątne ściany wgłębień tego wielościanu. Wgłębienia te to prawidłowe ostrosłupy trójkątne, których ściany boczne są trójkątami równoramiennymi o kącie między ich ramionami o mierze 108° − ryc. 3. Pięciokąt foremny zamalowany na ryc. 3 kolorem niebieskim jest jedną ze ścian dwunastościanu foremnego, który znajduje się wewnątrz bryły.

Na ryc. 3 widać też, skąd wzięła się miara 108° w trójkątach, które są ścianami ostrosłupowych wgłębień.

Konstrukcję naszego wielościanu w programie SketchUp rozpoczynamy od wykreślenia dziesięciokąta foremnego i jego przekątnych –  ryc. 4. Następnie dla trójkątnej ściany BAW (ryc. 4) musimy skonstruować dwie sąsiednie ściany, tak aby kąty dwuścienne każdej pary  z tych trzech ścian miały miarę 108°.

W tym celu w płaszczyźnie prostopadłej do ściany BAW obracamy odcinek WA wokół prostopadłej do tej płaszczyzny, otrzymując odcinek WA’. Podobnie tworzymy odcinek WB'. Konstruujemy rzuty prostokątne A'' i B'' punktów A' i B' na płaszczyznę dziesięciokąta – ryc. 5.

Wykreślamy okręgi o środkach A'' i B'' przechodzące przez punkty A i B. Wyznaczone okręgi (ryc. 6) przecinają się w punkcie C, który wyznacza trzeci wierzchołek poszukiwanego ostrosłupa – ryc. 7, którego ścianami są trójkąty AWC, BWC i ABW.

Teraz obracamy pięciokrotnie skonstruowany ostro...

Pozostałe 70% treści dostępne jest tylko dla Prenumeratorów.

Co zyskasz, kupując prenumeratę?
  • 6 wydań czasopisma "Matematyka"
  • Dostęp do wszystkich archiwalnych artykułów w wersji online
  • Możliwość pobrania materiałów dodatkowych, testów i zadań
  • ...i wiele więcej!
Sprawdź

Przypisy