Pierwsze dwa – dwunasty i trzynasty wielo-ścian jednorodny, przedstawione są na ryc. 1 i 2.
POLECAMY
Są to wielościany bliźniacze, co oznacza, że trójkątne ściany jednego z nich są podstawami ostrosłupowych dziur drugiego - i na odwrót, pieciokątne ściany są podstawami pieciokątnych dziurawych ostrosłupów drugiego.
Oba wielościany wywodzą się z tego samego wielościanu archimedesowego –dwudziestodwunastościanu. Sposób jego tworzenia na bazie dwudziestościanu foremnego został opisany w poprzednim artykule.
Można go również utworzyć z dwunastościanu foremnego – ryc. 3. Wówczas wykreślamy w jego ścianach pięciokąty, których wierzchołki są środkami jego krawędzi – ryc. 4. Następnie odcinamy naroża dwunastościanu. Pod nimi ukazują się trójkąty równoboczne (ryc. 5), które będą stanowić ściany utworzonego w ten sposób dwudziestodwunastościanu – ryc. 6.
Jeżeli w tak utworzonym dwudziestodwunastościanie usuniemy trójkątne ściany, to otrzymamy pod nimi odwrócone trójkątne ostrosłupy foremne bez podstawy, których wierzchołkiem jest środek dwudziestodwunastościanu. Uzyskany w ten sposób wielościan to jednorodny mały dwudziestowklęsły dwunastościan – ryc. 1.
Jeśli natomiast w dwudziestodwunastościanie usuniemy pięciokątne ściany, wówczas pod nimi ukażą się odwrócone pięciokątne ostrosłupy foremne bez podstawy, których wierzchołkami jest również środek dwudziestodwunastościanu. Uzyskana bryła to mały dwunastowklęsły dwunastościan – ryc. 2.
Oglądając te dwa wielościany jednorodne, dostrzegamy sposób konstruowania ich siatki. Są one niezwykle proste z uwagi na brak przecinających się w nich płaszczyzn. Dla pierwszego wielościanu wystarczy wykonać dwadzieścia siatek odwróconych ostrosłupów o pięciokątnej podstawie z doklejonymi do ich krawędzi trójkątami równobocznymi. Ilustruje je ryc. 7.
Dla drugiego wielościanu odwrócone ostrosłupy mają pięciokątną podstawę z doklejonymi do niej trójkątami równoramiennymi. Iloraz długości ich boków do długości podstawy wyraża się złotą liczbą. Na ryc. 8 zilustrowano jedną z dwunastu segmentów siatki małego dwunastowklęsłego dwunastościanu.
Na ryc. 9 i 10 zobrazowano, jak wyglądają modele obu wielościanów wycięte z kartonu.Na koniec ważna uwaga techniczna: w wielościanach symetrii sześciennoośmiościennej mieliśmy do czynienia z sześcianem, w którym kąt między jego ścianami wynosi 90º.
Teraz w wielościanach jednorodnych symetrii dwunastościennej miary kąta dwuściennego nie da się dokładnie wyznaczyć. Jest ona równa ok. 106º. Dlatego wielościany te o wiele trudniej konstruować i tworzyć ich siatki.
Ale jest jeden ważny klucz, przydatny w ich tworzeniu – ich budowa oparta jest na złotej liczbie, gdyż w pięciokątach foremnych iloraz długości ich przekątnej do długości boku stanowi wartość złotej liczby. Tak więc wielościany te będziemy projektować w programie SketchUp wyłącznie cyrklem i linijką na bazie konstrukcji złotej liczby. Tych samych narzędzi będziemy używać przy konstruowaniu siatek tych wielościanów w programie GeoGebra.
