Dołącz do czytelników
Brak wyników

Nowe technologie w matematyce

30 sierpnia 2018

NR 29 (Listopad 2017)

„Mobilne” ciągi z GeoGebrą

0 206

GeoGebra jest programem, a właściwie można byłoby powiedzieć – projektem stale rozwijającym się i zmieniającym. Dzięki temu jej rozwój podąża za współczesnymi trendami. Od dawna mamy możliwość korzystania z programu w wersji mobilnej, na urządzenia przenośne. Możemy uruchomić program w przeglądarce, bez konieczności instalowania go na komputerze. Praca z GeoGebrą możliwa jest zatem na smartfonach i tabletach, a także na każdym komputerze posiadającym dostęp do Internetu. 

Jest to rozwiązanie wygodne szczególnie w sytuacji, kiedy jako nauczyciele matematyki prowadzimy zajęcia w sali komputerowej, w której jesteśmy tylko gościnnie i nie zawsze możemy (bądź też nie zawsze mamy na to czas i uprawnienia) zainstalować dodatkowe oprogramowanie. Podobnie nasi uczniowie niejednokrotnie korzystają z komputerów swoich rodziców albo nie potrafią przeprowadzić sprawnie procesu instalacji nowego oprogramowania. Dlatego też uruchomienie GeoGebry w przeglądarce będzie w takich sytuacjach idealnym rozwiązaniem. Chciałabym jedynie dodać, że w najnowszym wydaniu programu wersja internetowa nieco różni się od wersji klasycznej. Podczas uruchamiania GeoGebry w przeglądarce mamy bowiem do wyboru trzy opcje: klasyczną (najbardziej zbliżoną do tradycyjnej wersji programu), geometryczną (zawierającą polecenia związane z obiektami geometrycznymi) oraz graficzną (zawierającą polecenia kalkulatora graficznego). Mimo że dwie ostatnie wersje nieco się różnią, to możemy szybko przełączyć widok pomiędzy nimi (ryc. 1), a sprawny użytkownik programu nie powinien mieć większych problemów, aby odnaleźć się w wersji mobilnej już po kilku chwilach. Dlatego dziś postanowiłam opisać sposób pracy z GeoGebrą uruchamianą w przeglądarce w trybie kalkulatora graficznego.

Zagadnieniem, któremu chciałabym poświęcić swoją uwagę, są ciągi. Jeśli chodzi o okno GeoGebry uruchomionej w przeglądarce, to po lewej stronie mamy pole wprowadzania oraz przyciski pozwalające na przełączanie się pomiędzy kalkulatorem a wersją geometryczną (ryc. 1). Prawa część okna to nasz obszar roboczy, natomiast jego dolny fragment to miejsce, w którym wyświetlane są podstawowe funkcje, polecenia i symbole matematyczne (nieco rozbudowany odpowiednik tabeli, którą można było wyświetlić w programie, klikając na ikonkę w prawym dolnym rogu). Ponadto mamy dostępne wszystkie funkcje (analogicznie do klasycznej wersji GeoGebry). Ich bazę możemy wyświetlić, klikając przycisk trzech kropek – widoczny tuż pod obszarem roboczym (ryc. 2).

Warto dodać, że dzięki widocznym w dolnej części okna symbolom ich użycie podczas pracy z programem staje się zdecydowanie łatwiejsze – zwłaszcza dla mniej biegłych użytkowników. Nie jest bowiem konieczna znajomość poleceń podczas wprowadzania w wyrażeniu pierwiastka, potęgi czy wartości bezwzględnej, a nawet zwykłego ułamka.

Wracając jednak do zapowiadanej tematyki ciągów, warto zacząć od sposobu generowania kolejnych wyrazów wybranego przez nas ciągu. Tu, niestety, napotkamy pewne ograniczenie związane z tym, że używając polecenia dla ciągu, musimy określić element końcowy. Dlatego też nie mamy możliwości generowania ciągu nieskończonego. Polecenia dotyczące ciągów dostępne są w zakładce Lista (ryc. 3).

Wybierając dwa pierwsze polecenia, uzyskamy fragmenty ciągu liczb naturalnych odpowiednio od liczby 1 do wybranej liczby oraz od określonej do podanej liczby. Idąc dalej, możemy już wyjść poza liczby naturalne. Użycie kolejnych poleceń pozwala nam na określenie kroku. I tak, wpisując polecenie Ciąg (2, 5, 0.5), otrzymamy listę liczb 2, 2.5, 3, 3.5, 4, 4.5, 5. Zdecydowanie większą swobodę w generowaniu wyrazów ciągu będziemy mieli, używając ostatnich dwóch poleceń. To dzięki nim możemy wprowadzić dowolny ciąg, dla którego mamy podany wyraz ogólny. Wystarczy wpisać wzór, podać zmienną oraz określić zakres, w jakim ta zmienna ma się zmieniać, na przykład: Ciąg (2n − 6, n, 1, 10). Może to być ciąg zarówno arytmetyczny, jak i geometryczny oraz każdy inny (ryc. 4).

Narzędzie to możemy także wykorzystać do badania ciągów – rozpoznawania ciągów arytmetycznych i geometrycznych poprzez analizę własności ich wyrazów. Chodzi mi tu o moment często pomijany podczas lekcji. Zanim zaczniemy uzasadniać formalnie, że ciąg jest na przykład geometryczny, możemy pozwolić uczniom na chwilę eksperymentowania. Być może pozwoli im to nabrać przekonania, że dowodzony fakt autentycznie ma miejsce, a formalny dowód jest konieczny ze względu na niemożliwość sprawdzenia nieskończonej liczby przypadków. Możemy pozwolić uczniom samodzielnie generować „wyrwane” fragmenty ciągów, na przykład: Ciąg (−3·2n, n, 10, 12). Po otrzymaniu wybranych wyrazów mogą oni samodzielnie sprawdzać, czy zachodzi własność dotycząca wyrazów, w tym wypadku ciągu geometrycznego (ryc. 5).

Wykorzystan...

Pozostałe 70% treści dostępne jest tylko dla Prenumeratorów.

Co zyskasz, kupując prenumeratę?
  • 6 wydań czasopisma "Matematyka"
  • Dostęp do wszystkich archiwalnych artykułów w wersji online
  • Możliwość pobrania materiałów dodatkowych, testów i zadań
  • ...i wiele więcej!
Sprawdź

Przypisy