Dołącz do czytelników
Brak wyników

Matematyka inaczej

24 czerwca 2018

NR 31 (Marzec 2018)

Modyfikacje dwunastościanu foremnego

0 233

Modyfikacje, czyli przekształcanie brył, to dobry sposób głębszego poznawania własności wielościanów, w szczególności brył regularnych z ich elementami symetrii. Bryły można modyfikować na wiele sposobów i w rezultacie otrzymywać nowe, czasem mniej lub bardziej znane, a czasem nieznane i zaskakujące nowe formy.

Na przykładzie dwunastościanu foremnego pokażemy jego modyfikacje, które uzyskujemy przez przecinanie, ścinanie oraz zmniejszanie i powiększanie brył. W poprzednim numerze pokazaliśmy związek dwunastościanu foremnego z sześcianem (ryc. 1).

Gdy długość krawędzi sześcianu, w który wpisany jest dwunastościan foremny, wynosi 2, to krawędź dodekaedru ma długość równą małej liczbie złotej φ = ( – 1)/2 = 0,61803, a przękątna ściany pięciokątnej, która jest też krawędzią sześcianu wpisanego w dwunastościan, ma długość równą dużej liczbie złotej Φ = ( + 1)/2 = 1,61803.

Symetrie dwunastościanu foremnego zawierają podgrupę symetrii czworościanu foremnego (tetraedru). Wykorzystamy to przy pierwszej modyfikacji. Wybieramy cztery wierzchołki dodekaedru, które tworzą tetraeder, i obcinamy je łącznie z krawędziami schodzącymi się  w tych wierzchołkach. Na ryc. 2 pokazane jest obcięcie wierzchołka A. Trzy pięciokąty foremne przekształciły się w trapezy równoramienne, między którymi pojawił się trójkąt równoboczny.

Po obcięciu czterech wybranych wierzchołków powstaje szesnastościan o dwunastu ścianach trapezowych i czterech trójkątach równobocznych (ryc. 3).

Uwaga: na stronie internetowej www.3doro.de/denk/ można zobaczyć ten szesnastościan w animacji. Dość ciekawa jest siatka tej bryły, to dlatego, że dwa sąsiednie trapezy, złączone ramionami, tworzą równoległobok (ryc. 4). Siatka ta jest wycinkiem parkietażu regularnego, 
pokazanego na ryc. 5.

Pytanie: jaką bryłę otrzymamy, obcinając osiem wierzołków dodekaedru, które tworzą sześcian wpisany w niego?

To, że trójkąt może być przekrojem dwunastościanu foremnego, jest oczywiste. Łatwo też pokazać, że przekrojem może być kwadrat. Największym przekrojem dodekaedru jest dziesięciokąt foremny (jak przebiega w tym przypadku płaszczyzna przekroju?). 
Jakie przekroje są w ogól...

Pozostałe 70% treści dostępne jest tylko dla Prenumeratorów.

Co zyskasz, kupując prenumeratę?
  • 6 wydań czasopisma "Matematyka"
  • Dostęp do wszystkich archiwalnych artykułów w wersji online
  • Możliwość pobrania materiałów dodatkowych, testów i zadań
  • ...i wiele więcej!
Sprawdź

Przypisy