Na przykładzie dwunastościanu foremnego pokażemy jego modyfikacje, które uzyskujemy przez przecinanie, ścinanie oraz zmniejszanie i powiększanie brył. W poprzednim numerze pokazaliśmy związek dwunastościanu foremnego z sześcianem (ryc. 1).
POLECAMY
Gdy długość krawędzi sześcianu, w który wpisany jest dwunastościan foremny, wynosi 2, to krawędź dodekaedru ma długość równą małej liczbie złotej φ = ( – 1)/2 = 0,61803, a przękątna ściany pięciokątnej, która jest też krawędzią sześcianu wpisanego w dwunastościan, ma długość równą dużej liczbie złotej Φ = ( + 1)/2 = 1,61803.
Symetrie dwunastościanu foremnego zawierają podgrupę symetrii czworościanu foremnego (tetraedru). Wykorzystamy to przy pierwszej modyfikacji. Wybieramy cztery wierzchołki dodekaedru, które tworzą tetraeder, i obcinamy je łącznie z krawędziami schodzącymi się w tych wierzchołkach. Na ryc. 2 pokazane jest obcięcie wierzchołka A. Trzy pięciokąty foremne przekształciły się w trapezy równoramienne, między którymi pojawił się trójkąt równoboczny.
Po obcięciu czterech wybranych wierzchołków powstaje szesnastościan o dwunastu ścianach trapezowych i czterech trójkątach równobocznych (ryc. 3).
Uwaga: na stronie internetowej www.3doro.de/denk/ można zobaczyć ten szesnastościan w animacji. Dość ciekawa jest siatka tej bryły, to dlatego, że dwa sąsiednie trapezy, złączone ramionami, tworzą równoległobok (ryc. 4). Siatka ta jest wycinkiem parkietażu regularnego,
pokazanego na ryc. 5.
Pytanie: jaką bryłę otrzymamy, obcinając osiem wierzołków dodekaedru, które tworzą sześcian wpisany w niego?
To, że trójkąt może być przekrojem dwunastościanu foremnego, jest oczywiste. Łatwo też pokazać, że przekrojem może być kwadrat. Największym przekrojem dodekaedru jest dziesięciokąt foremny (jak przebiega w tym przypadku płaszczyzna przekroju?).
Jakie przekroje są w ogóle możliwe? – to dość ciekawe pytanie i szukanie odpowiedzi na nie, może być interesującym zadaniem.
Ciekawą bryłę otrzymujemy, postępując następująco: zachowujemy krawędzie dwunastościanu, natomiast jego ściany zastępujemy piramidami pięciobocznymi, ale bez ich podstaw. Wierzchołki piramid umieszczamy wewnątrz dodekaedru. Jeśli ściany tych piramd są trójkątami równobocznymi, to powstała bryła jest deltaedrem niewypukłym (wklęsłowypukłym) o 60 ścianach (ryc. 6).
Umieszczając pięcioboczne piramidy na ścianach dodekaedru, możemy otrzymać inne ciekawe bryły. Jeśli np. krawędzie boczne piramid bądą przedłużeniami krawędzi dwunastościanu, to powstaje znany, niewypukły wielościan dwunastościan gwiaździsty mały, którego ścianami są pentagramy.
Tu pokażemy inną modyfikację dodekaedru, a mianowicie tworzenie małej kopuły geodezyjnej o 60 jednakowych trójkątach równoramiennych (ryc. 7).
Aby otrzymać tę bryłę, na każdej ścianie dwunastościanu foremnego umieszczamy piramidę, której wierzchołek znajduje się na powierzchni kuli opisanej na dodekaedrze. Łatwo zauważyć, że wysokość takiej piramidy jest różnicą długości promienia kuli opisanej i wpisanej w dwunastościan. Zatem obliczenie parametrów jednej ściany tej kopuły (trójkąta równoramiennego) nie jest trudne. Kąt rozwarcia w tym trójkącie wynosi 67,6887°.
