Od jakiegoś czasu nosiłem się z napisaniem serii artykułów na temat wielokątów i teselacji. Niestety, zawsze było coś ważniejszego do zrobienia i mój pomysł musiał swoje odczekać. W ostatnim numerze „Matematyki” (styczeń/luty 2018) skończyłem serię tekstów poświęconych gerehowi, czyli ornamentom geometrycznym w sztuce islamu, więc jest to odpowiedni moment, aby zmienić tematykę. Wprawdzie o gerehu można pisać w nieskończoność i wiele zostało do opowiedzenia, a jeszcze więcej do pokazania, więc od czasu do czasu będziemy do niego wracać. Jednakże głównym tematem tego i kilku następnych tekstów będą wielokąty, teselacje i desenie. Co zatem nas czeka?
POLECAMY
W matematyce szkolnej poznajemy podstawowe wielokąty i uczymy się ich elementarnych własności. To jest szkoła podstawowa. Dalej jest już niewiele na ten temat. Teselacje nie należą do materiału szkolnego – ani w szkole podstawowej, ani na dalszych etapach edukacji. Wprawdzie od czasu do czasu ktoś z nauczycieli mówi o nich na lekcjach dodatkowych, specjalnych czy na kółkach zainteresowań, ale jest tego w sumie bardzo niewiele. Wreszcie desenie nie są już w ogóle wspominane i wszystko, co wiemy na ich temat, to zazwyczaj wiedza wynikająca z naszych intuicji.
Tymczasem wielokąty, teselacje i desenie spotykamy na każdym kroku naszego życia. Płytki chodników na ulicach, posadzki w domach, ściany w łazienkach itp. są pokryte wielokątami, najczęściej kwadratami lub prostokątami, ale nie tylko, i układają się one w teselację, a wzór, jaki tworzą, często jest mniej lub bardziej bogatym deseniem. To były tylko niektóre zastosowania praktyczne. Są jeszcze artyści, którzy wykorzystują te elementy w swojej sztuce. Najbardziej znanym był M.C. Escher (Maurits Cornelis Escher, ur. 17 czerwca 1898 r., zm. 27 marca 1972 r.). Byli, lub są, jeszcze inni – Makoto Nakamura, Marjorie Rice, Robert Fathauer, Rinus Roelofs. Wśród polskich artystów prace Wacława Szpakowskiego (1883–1973) wykorzystują teselacje bogatych motywów liniowych. W archiwach prac Henryka Siemiradzkiego (1843–1902) znajdziemy również bardzo interesujące i kompletnie nieznane rysunki wykorzystujące teselacje na kole.
Wielokątami i teselacjami interesowali się matematycy od starożytności. Spotykamy je u Pitagorejczyków, Platona, a później u Keplera, Hilberta, Eulera i wielu innych. W matematyce współczesnej mamy bardzo bogaty nurt badań wielokątów i teselacji. Tu lista badaczy oraz tematów jest już gigantyczna. Znakomite podsumowanie tych badań znajdziemy w monografii Tilings and Patterns autorów Grünbauma i Shepharda (1984 r.). Od czasu wydania monografii Grünbauma powstało wiele ciekawych przyczynków dotyczących wielokątów i temat ciągle się rozwija. Mamy między innymi bardzo ciekawe teselacje rodem z krystalografii, z którymi wiążą się prace sir Rogera Penrose’a, Roberta Ammanna, Marjorie Senechal i wielu innych.
Desenie są badane z dwóch stron. Zajmują się nimi nie tylko matematycy, ale również artyści. Tu warto nadmienić bogaty nurt literatury na temat tworzenia wzorów na kanwie geometrycznych teselacji. Najciekawsze teksty na ten temat powstawały w okresie międzywojennym, a ich autorami byli Lewis Day (1933 r.) oraz Amor Fenn (1930 r.). Tu również należy nadmienić polskiego naukowca, profesora Stanisława Jaśkowskiego (1952 r.). Jego monografia jest jedną z nielicznych polskich publikacji na temat symetrii i deseni. W dalszych tekstach z tej serii często będę korzystał z terminologii wprowadzonej przez Jaśkowskiego, m.in. termin „deseń” jako ornament zbudowany na teselacji pochodzi od niego.
Wreszcie warto nadmienić, że gereh, czyli ornament geometryczny w sztuce islamu, jest również deseniem zbudowanym na teselacjach z wykorzystaniem odpowiednich aksjomatów. Podobnie deseniami są skomplikowane maswerki gotyku.
Teselacja z jaskini w Blombos
Niewątpliwie odcinek i wielokąt są najstarszymi elementami geometrii ziemskich cywilizacji. Są to najdawniejsze elementy dekoracyjne wyrobów ludowych. Odkryta w roku 1991 jaskinia Blombos w Afryce Południowej zadziwiła badaczy interesującymi znaleziskami z okresów od 100 000 do 70 000 oraz 2000 do 300 lat przed czasami współczesnymi (dokładniej – przed rokiem 1950). Są nimi m.in. malowidła i prymitywne sztychy wycinane w ochrze. Ochra jest minerałem z dużą zawartością tlenków żelaza. Stąd mamy ten specyficzny brązowy kolor. Sproszkowane minerały ochry służyły do produkcji charakterystycznego pigmentu, którego barwę określamy jako ochra. Ochra jako barwnik występuje w większości starych kultur. Znał ją i używał człowiek neandertalski. Ochra była używana przez społeczności paleolitu, mezolitu i neolitu do konserwacji i obróbki skór oraz jako barwnik wyrobów artystycznych. Również współcześnie jest ważnym elementem palety artystów. Wróćmy jeszcze na chwilę do jaskini Blombos. Znaleziono tam kilka kawałków ochry zdobionych elementami geometrycznymi. Jeden z nich pokazany jest na załączonej tu rycinie. Odkrywcy tych znalezisk piszą: Niektóre ze znalezionych kawałków ochry były celowo grawerowane lub nacinane i możemy uważać, że stanowią swego rodzaju wczesne abstrakcyjne i symboliczne przedstawienia. Są to najbardziej skomplikowane i wyraziste elementy wczesnej sztuki abstrakcyjnej (wolne tłumaczenie fragmentu wypowiedzi jednego z badaczy znalezisk w jaskini Blombos). Więcej na temat odkryć w jaskini Blombos znajdziemy w angielskiej wersji Wikipedii.
Co zobaczy matematyk na kawałku ochry z Blombos?
Mamy tu najstarszą z dotychczas znalezionych teselację trójkątami. Można tu zidentyfikować trójkąty zbliżone do równobocznych oraz sześciokąty zbliżone do foremnych.
Czasy starożytne
Nie ulega żadnej wątpliwości, że starożytni Grecy znali własności wielokątów, m.in. wielokątów foremnych, ale oni bardziej pasjonowali się wielościanami zbudowanymi z wielokątów, w tym z wielokątów foremnych. Jestem pewien, że większość Czytelników zna
tzw. bryły platońskie oraz mniej popularne bryły archimedesowe. Jak zauważyło wielu autorów, historyków matematyki, Elementy Euklidesa są tak skonstruowane, aby przygotować grunt do opisania brył platońskich. Księga XIII dzieła Euklidesa zawiera wiele interesujących konstrukcji dotyczących brył platońskich, między innymi konstrukcję dwunastościanu foremnego, który, jak wiemy, jest zbudowany z dwunastu pięciokątów foremnych. Wielokąty foremne występują w pracach kilku innych starożytnych matematyków.
Uważny Czytelnik zauważył zapewne, że każda z tych brył wykorzystuje dokładnie jeden rodzaj wielokąta foremnego. Mamy tu ich zresztą niewiele – trójkąt równoboczny, kwadrat oraz pięciokąt foremny. Okazuje się, że są to jedyne bryły o takiej własności. Innych brył zbudowanych tylko z jednego wielokąta foremnego nie znajdziemy.
Jeśli zdecydujemy się użyć do konstrukcji wielościanu dwu lub więcej rodzajów wielokątów foremnych, to nasze możliwości staną się znacznie ciekawsze. Powstaną w ten sposób między innymi bryły archimedesowe. Nie mamy wprawdzie żadnego dokumentu Archimedesa opisującego te bryły, ale wiemy, że Papus z Aleksandrii (ok. 290–350 r.n.e.), jeden z ostatnich wielkich matematyków starożytnej Grecji, wspomina 13 brył Archimedesa. Dalej mamy wiele innych rodzajów brył, ale to już zupełnie inna historia. Nas, tym razem, interesują tylko wielokąty i teselacje.
Dürer i jego geometria
Dürer (1471–1528) to już czasy renesansu. Dürer jest uważany za najważniejszego i najbardziej wpływowego artystę północnego renesansu. Urodził się w Norymberdze. Znany jest zarówno z licznych dziełmalarskich, jak i z badań z zakresu geometrii. Jego cztery księgi zatytułowane Underweysung der Messung mit dem Zirckel und Richtscheyt zawierają liczne konstrukcje geometryczne, w tym konstrukcje wielu wielokątów foremnych lub tylko równoramiennych. Interesujące jest to, że wspomniane tu księgi były pisane w języku niemieckim, a nie w łacinie. Co więcej, w celu lepszego przedstawienia tematu, a zatem również użyteczności swojego dzieła, Dürer używa języka stosowanego przez lokalnych rzemieślników. Druga z wymienionych przed chwilą ksiąg była poświęcona wielokątom foremnym i jest w dużym stopniu oparta na pracach Ptolemeusza.
Teselacje Keplera
Johanes Kepler (1580–1630) jest znany głównie jako astronom. Rzeczywiście jego pionierskie prace z astronomii zasługują na uwagę. Natomiast mało kto wie, że Kepler był również matematykiem i pasjonował się wielokątami oraz teselacjami. Jego księga Harmonices Mundi, 1919, podzielona na pięć obszernych części, zawiera materiał z różnych dziedzin. Części 1 i 2 poświęcone są wielokątom i wielościanom, które dzieli na foremne i półforemne. Tam znajdziemy obszerny materiał, który będzie stanowił punkt wyjścia do naszych rozważań. Mamy tam teselacje zbudowane z wielokątów foremnych i wielokątów gwiaździstych. Jak pisze Branko Grünbaum (1989 r.), pewne z pomysłów Keplera dotychczas nie były w pełni zbadane. Uwagę czytelnika pragnę zwrócić na dużą teselację zbudowaną z pięciokątów i dziesięciokątów foremnych oraz paru innych figur. Teselacja ta stanowiła punkt wyjścia do odkrycia przez Rogera Penrose’a quasiokresowych teselacji płaszczyzny. Do tego odkrycia wrócimy w jednym z kolejnych szkiców.W Harmonices Mundi Keplera znajdziemy znacznie więcej teselacji. Wrócimy do nich przy najbliższej okazji, a tymczasem spróbujmy uporządkować definicje potrzebne do tej serii artykułów.
W naszych rozważaniach będziemy wykorzystywać wyłącznie wielokąty, które określa się jako dysk topologiczny. Są to wielokąty, które nie mają dziur i możliwe jest przejście od jednego punktu wielokąta do drugiego bez konieczności przechodzenia przez krawędź wielokąta.
Teselacją nazwać będziemy każde pokrycie danego obszaru figurami takie, że żadna z figur nie zachodzi na drugą i nie ma pomiędzy nimi pustych przestrzeni.
Teselacje w polskiej literaturze czasem określa się jako „parkietaże” lub „płytkowanie”. We wspomnianej wcześniej książce Jaśkowskiego bywa używany termin „mozaika”. W angielskiej literaturze matematycznej mamy natomiast terminy tessellation lub tiling.
W zasadzie można rozważać teselacje bardzo różnymi, czasem dość dziwnymi figurami, ale u nas będą to zazwyczaj wielokąty lub figury z nich otrzymane na drodze pewnych konstrukcji geometrycznych. Zauważmy, że teselacja „Aa” u Keplera jest poprawnie zbudowaną teselacją – nie ma w niej figur zachodzących na siebie ani przerw. Teselacja ta jest tzw. teselacją krawędź do krawędzi – czyli każdy odcinek w tej teselacji jest wspólną krawędzią dwóch sąsiednich wielokątów. Wielu autorów rozważa teselacje pokrywające całą płaszczyznę. Można jednak rozważać teselacje pokrywające pewien wybrany obszar, np. prostokąt, trójkąt równoboczny lub inną figurę. Teselacje rozważane w tym i kolejnych szkicach nie zawsze będą teselacjami typu krawędź do krawędzi.
Wreszcie warto nadmienić, że możemy rozważać teselacje w trzech i więcej wymiarach. Teselacje w 3D zazwyczaj są teselacjami brył i mamy wiele pojęć podobnych do tych, o jakich wcześniej wspominaliśmy. Przyjrzyjmy się przez chwilę kilku ciekawym teselacjom.
Teselacja Pitagorejska
Nie sądzę, aby kiedykolwiek Pitagoras rozważał taką teselację czy w ogóle zajmował się teselacjami, ale teselacja, o której opowiemy za chwilę, jest w pewien sposób związana z jego nazwiskiem. Na początek skonstruujmy tę teselację, a potem będziemy zastanawiać się, skąd może pochodzić jej nazwa.
Na zamieszczonej tu rycinie mamy pokazane dwa wektory. Jeśli weźmiemy kopię naszej całej teselacji (tu jest tylko fragment) i przesuniemy bez obracania o jeden z tych wektorów, to obie teselacje – ta oryginalna i jej kopia – dokładnie się pokryją. O takiej teselacji mówimy, że jest okresowa lub periodyczna. Pokazana tu teselacja nie jest teselacją krawędź do krawędzi. Popatrzmy jeszcze przez chwilę na zaznaczony tu czerwony kwadrat. Łatwo można zauważyć, że jego pole jest równe sumie pola małego kwadratu i większego, przy czym boki zaznaczonego trójkąta mają te same długości co boki widocznych tu kwadratów. Tak więc mamy tu graficzną ilustrację dowodu znanego nam twierdzenia Pitagorasa. Stąd pochodzi nazwa tej teselacji.
Teselacja z wiatraczkami
Pokazana teselacja ma dość interesujące własności matematyczne. Jej konstrukcja może być wykonana metodą tzw. inflacji i o tym za chwilę. Teselacja ta jest znana powszechnie jako pinwheel tiling (ang.), co po polsku można tłumaczyć jako „teselacja z wiatraczkami”. Nazwana jest tak prawdopodobnie dlatego, że pewne fragmenty tej teselacji przypominają skrzydła wiatraków.
Teselacja wiatraczkowa została odkryta przez Johna Hortona Conwaya. Zauważył on, że trójkąt prostokątny o stosunku długości przyprostokątnych równym 2:1 może być pocięty na 5 mniejszych trójkątów podobnych do trójkąta wyjściowego. Przy czym nowe trójkąty możemy otrzymać z trójkąta wyjściowego przez podobieństwo o współczynniku 1/√5. Ten proces można wykonać również inaczej. Najpierw należy przekształcić nasz trójkąt przez podobieństwo o współczynniku √5 w trójkąt większy i ten podzielić na 5 trójkątów jak na załączonej rycinie. W tym przypadku większy trójkąt zostanie podzielony na 5 trójkątów przystających do trójkąta wyjściowego. Będą one miały te same długości boków co trójkąt wyjściowy.
Opisany tu proces w geometrii nosi nazwę inflacji lub, bardziej formalnie, procesu inflacyjnego. W nowoczesnej geometrii matematycy rozważają procesy inflacyjne zastosowane w stosunku do różnych wielokątów. Zauważmy, że stosując opisany tu proces inflacyjny do otrzymanych nowych trójkątów, pokrywamy coraz większy fragment płaszczyzny trójkątami. Gdybyśmy mogli kontynuować ten proces nieskończenie wiele razy, to otrzymalibyśmy teselację całej płaszczyzny, co byłoby już dość trudne do narysowania.
Do procesów inflacyjnych wrócimy przy innej okazji, a tymczasem zobaczmy, co nam daje kilkakrotne zastosowanie opisanego tu procesu. Zanim to jednak zrobimy, zwróćmy jeszcze uwagę na pewien drobny, ale z punktu widzenia konstrukcji ważny fakt. Na załączonej rycinie mamy dwa kolory trójkątów: żółty i niebieski.
Czym różnią się one – oprócz kolorów? Uważny Czytelnik zauważy, że trójkąty niebieskie są lustrzaną kopią trójkątów żółtych. Są one zorientowane odwrotnie względem siebie. To oznacza, że proces inflacji będzie za każdym razem tworzył dwa rodzaje trójkątów – skierowany ostrym końcem w lewo (żółty) i w prawo (niebieski). Proponuję, aby Czytelnik narysował samodzielnie takie trójkąty i prześledził sam, jak to działa.
Skoro już wiemy, jak działa proces inflacji, to proponuję sprawdzenie, co otrzymamy po wykonaniu kilku kroków inflacji. W tym celu weźmiemy pod uwagę dwa połączone trójkąty, np. oba prawe, i będziemy stosować proces inflacyjny kilka razy.
Z opisaną tu teselacją wiąże się jeszcze jeden ważny z punktu widzenia matematyki fakt. Teselacja wiatraczkowa nie jest periodyczna. Nawet gdyby udało nam się pokryć całą płaszczyznę teselacją wiatraczkową, co, jak wiemy, wymaga nieskończenie wielu kroków inflacji, to i tak nie uda nam się znaleźć dwóch wektorów takich, aby przesunięcie kopii teselacji o każdy z nich pokryło się idealnie z teselacją wyjściową. W takim przypadku będziemy mówić o teselacji nieperiodycznej.
Zauważmy, że w geometrii współczesnej istnieje również pojęcie teselacji aperiodycznej. Jest to nieco inne pojęcie i każda teselacja aperiodyczna jest nieperiodyczna, ale nie jest jednak odwrotnie. Teselacje aperiodyczne zyskały w ostatnich latach na znaczeniu. Są one związane z najnowszymi odkryciami w krystalografii. Wrócimy do nich w jednym z kolejnych szkiców.
O teselacji wiatraczkowej matematycy udowodnili kilka ciekawych faktów, które jednak wykraczają mocno poza tematykę tego szkicu. Wobec tego wyjdźmy poza matematykę i zobaczmy, co może zrobić z nią artysta amator. Pokazana na kolejnej rycinie teselacja została poskładana z kawałków wzorów z materiałów. Nie jest ona skończona, aby pokazać jej związek z teselacją otrzymaną w drugim kroku inflacji. Proponuję, aby Czytelnik wykonał samodzielnie na dużym arkuszu papieru, np. A3, teselację wiatraczkową otrzymaną po drugim lub trzecim kroku inflacji i wykleił ją trójkątami wyciętymi z kolorowych czasopism. Tu ciekawostka – w wielu krajach możemy zaobserwować grupy ludzi zajmujące się szyciem tzw. patchworków. Jest to technika zszywania kawałków materiału w większe dzieła, np. pokrycia na kołdry czy kilimy bądź materiału na suknie. Kolejna rycina pokazuje taki właśnie matematyczny patchwork.
W teselacji wiatraczkowej istotne było to, że jedna przyprostokątna wyjściowego trójkąta była dwa razy dłuższa niż druga. Dzięki temu otrzymaliśmy bardzo regularny wzór. Jeśli jednak zrezygnujemy z tego warunku, to zaczniemy otrzymywać dwa rodzaje trójkątów i nasza teselacja będzie mniej regularna. Pokazaliśmy to na rycinie obok.
Na zakończenie tego szkicu pokażemy jeszcze jeden ciąg teselacji, które również powstają przez zastosowanie pewnego rodzaju inflacji. Będzie to teselacja znana pod nazwą domino i latawiec.
Teselacja domino i latawiec
W tym przykładzie również będziemy mieć do czynienia z procesem inflacyjnym. Tym razem będzie on już znacznie bardziej skomplikowany. Efekty końcowe będą bardzo podobne do tego, co otrzymaliśmy w poprzednim przykładzie.
Na początek poznamy ciekawą i mało znaną konstrukcję pozwalającą podzielić odcinek na dowolną liczbę równych części. Konstrukcja wykorzystuje twierdzenie Talesa, w związku z czym będziemy nazywać ją konstrukcją Talesa.
Skoro już wiemy, jak możemy szybko podzielić odcinek na dowolną liczbę równych części, to możemy przystąpić do konstrukcji teselacji domino i latawiec.
Opisana tu teselacja domino i latawiec jest stosunkowo nowym tworem w matematyce. Znajdziemy ją wyłącznie w specjalistycznych publikacjach związanych z teorią teselacji aperiodycznych i kwazikryształów, np. w Baake i Grimm (2015 r.). Niewątpliwie ma ona ciekawą strukturę i, odpowiednio pokolorowana, a może także dodatkowo przekształcona, może dać interesujące efekty artystyczne w postaci kolorowej posadzki ułożonej na dużej powierzchni. Dla przykładu możemy zrobić witraż lub posadzkę z marmurowych kafelków. Możemy również wykonać matematyczny patchwork z kawałków kolorowego materiału. Przypuszczam, że byłaby to praca na wiele wieczorów, ale między innymi z tego powodu często tradycyjne patchworki w Anglii były pracami robionymi przez kilkuosobowe grupy.
Na zakończenie naszych eksperymentów powinniśmy zwrócić uwagę, że opisane tu teselacje domino i latawiec oraz wiatraczkowa mogą być rozpatrywane jako pewnego rodzaju fraktale. Przy czym obiekty pokazane na naszych rycinach są tylko kolejnymi przybliżeniami tego, co otrzymamy po nieskończonej liczbie kroków procesu inflacyjnego.
W tym momencie możemy przerwać nasze rozważania o teselacji domino i latawiec. Dalej już jest albo dość mocno zaawansowana matematyka, albo eksperymenty artystyczne. Przypuszczam, że to ostatnie będzie bliższe moim Czytelnikom. Proponuję Czytelnikom samodzielne skonstruowanie wzoru domino i latawiec oraz nadanie mu takiej formy graficznej, jaka akurat wydaje się w danym momencie najdogodniejsza. Tu możliwości jest wyjątkowo dużo.
Do teselacji nieperiodycznych i aperiodycznych będziemy jeszcze wracać wielokrotnie przy różnych okazjach.
Załączony tu spis literatury obejmuje większość pozycji wykorzystywanych w tym oraz kolejnych szkicach.
W chwili pisania tego tekstu nie jest on jeszcze kompletny i będzie uzupełniany w miarę powstawania kolejnych szkiców.
Baake M. Grimm U. (2015). Aperiodic Order. Volume 1: A Mathematical Invitation. Cambridge: Cambridge University Press.
Jest to najbardziej wartościowa i jedna z nielicznych publikacji dotyczących kwazikryształów. Książka jest trudna w czytaniu i nie nadaje się dla amatorów.
Beyer J. (1998). Designing Tessellations. Chicago. Contemporary Books.
Jedyna w swoim rodzaju i niepowtarzalna Jinny Beyer. Drugiego tej klasy opracowania teselacji na świecie nie znajdziemy.
Day L.W. (1933). Pattern Design. New York: Charles Scribner’s Sons. London: B. T. Batsford LTD.
Bardzo stara książka i do chwili obecnej uważana za najbardziej klasyczne dzieło dotyczące projektowania wzorów tkanin.
Escher M.C. (2009). Magia M.C. Eschera. Köln: Taschen GmbH.
Każdy szanujący się matematyk powinien posiadać w swojej bibliotece przynajmniej jedną monografię twórczości Eschera. Ta ma tę szczególną cechę, że była pisana przez samego Eschera. Jej dodatkową zaletą jest doskonałe tłumaczenie na język polski.
Fenn, A. (1930). Abstract Design and How to Create It. London: B. T. Batsford Ltd. New York: Charles Scribner’s Sons.
Książka na temat projektowania wzorów tkanin. Dobre uzupełnienie dla wymienionej przed chwilą pozycji Day L.W. (1933).
Grunbaum B., Shephard G.C. (1989). Tilings and Patterns, an introduction. New York: Freeman and Company.
Ta książka była wydana w dwóch wielkościach (wyd. I, 700 stron, oraz wydanie okrojone 446 stron). Zarówno jedno, jak i drugie wydanie są praktycznie nie do kupienia.
Jaśkowski S. (1952).O symetrii w zdobnictwie i przyrodzie. Warszawa: PZWS.
Jedyna w języku polskim książka związana z symetriami. Warta kupienia i zachowania jako materiał referencyjny.
Łubowicz E. (red.), (2015).Wacław Szpakowski, 1883-1973. Linie Rytmiczne. wyd. Ośrodek Kultury i Sztuki we Wrocławiu.
Wprawdzie o Szpakowskim jest kilka popularnych opracowań, jednak to jest jedyne wydanie zawierające duży wybór prac Szpakowskiego. Czy jest ten wybór kompletny? Wiele jego prac zaginęło w okresie okupacji.
Schattscheneider D., Emmer M., (2003). M.C. Escher’s Legacy. Berlin Heidelberg: Springer Verlag.
Książka jest wyborem prac konferencji organizowanej w setną rocznicę urodzin M.C. Eschera. Znajdziemy tu nie tylko przyczynki na temat twórczości Eschera, ale również wybór prac jego licznych naśladowców.
Schattschneider D. (2005). M.C. Escher, Visions of Symmetry. London: Thames & Hudson Ltd.
Drugie co do ważności opracowanie książkowe twórczości M.C. Eschera. Autorka jest matematykiem i doskonałym znawcą M.C. Eschera.
Senechal M. (2004). The Mysterius Mr. Ammann. The Mathematical Intelligencer. Springer Science, str. 10-21.
W zasadzie poza tym artykułem nie znajdziemy nic więcej o osobie Ammana. Jest to więc jedyne spojrzenie na ciekawą psychikę urzędnika pocztowego, który zajmował się matematyką w przerwach pomiędzy stemplowaniem znaczków na listach.
Senechal M. (2005). Quasicrystals and Geometry. London: Cambridge University Press.
Stosunkowo łatwe do zrozumienia opracowanie kwazikryształów. Nadaje się jako lektura dla studentów i amatorów matematyki.
Blombos − //en.wikipedia.org/wiki/Blombos_Cave
