Dołącz do czytelników
Brak wyników

Matematyka dawniej i dziś , Otwarty dostęp

24 czerwca 2018

NR 31 (Marzec 2018)

O wielokątach, teselacjach i deseniach

0 99

Wielokąty i teselacje od zarania dziejów ludzkości stanowią element nie tylko sztuki, ale również architektury oraz zdobnictwa rzemieślniczego i przemysłowego. W tym i kilku kolejnych szkicach opowiemy o wybranych własnościach wielokątów i teselacji. Pokażemy również liczne przykłady deseni zbudowanych na tych teselacjach. Same teselacje, w wielu przypadkach, będą rozpatrywane również jako desenie.

Od jakiegoś czasu nosiłem się z napisaniem serii artykułów na temat wielokątów i teselacji. Niestety, zawsze było coś ważniejszego do zrobienia i mój pomysł musiał swoje odczekać. W ostatnim numerze „Matematyki” (styczeń/luty 2018) skończyłem serię tekstów poświęconych gerehowi, czyli ornamentom geometrycznym w sztuce islamu, więc jest to odpowiedni moment, aby zmienić tematykę. Wprawdzie o gerehu można pisać w nieskończoność i wiele zostało do opowiedzenia, a jeszcze więcej do pokazania, więc od czasu do czasu będziemy do niego wracać. Jednakże głównym tematem tego i kilku następnych tekstów będą wielokąty, teselacje i desenie. Co zatem nas czeka?

W matematyce szkolnej poznajemy podstawowe wielokąty i uczymy się ich elementarnych własności. To jest szkoła podstawowa. Dalej jest już niewiele na ten temat. Teselacje nie należą do materiału szkolnego – ani w szkole podstawowej, ani na dalszych etapach edukacji. Wprawdzie od czasu do czasu ktoś z nauczycieli mówi o nich na lekcjach dodatkowych, specjalnych czy na kółkach zainteresowań, ale jest tego w sumie bardzo niewiele. Wreszcie desenie nie są już w ogóle wspominane i wszystko, co wiemy na ich temat, to zazwyczaj wiedza wynikająca z naszych intuicji.

Tymczasem wielokąty, teselacje i desenie spotykamy na każdym kroku naszego życia. Płytki chodników na ulicach, posadzki w domach, ściany w łazienkach itp. są pokryte wielokątami, najczęściej kwadratami lub prostokątami, ale nie tylko, i układają się one w teselację, a wzór, jaki tworzą, często jest mniej lub bardziej bogatym deseniem. To były tylko niektóre zastosowania praktyczne. Są jeszcze artyści, którzy wykorzystują te elementy w swojej sztuce. Najbardziej znanym był M.C. Escher (Maurits Cornelis Escher, ur. 17 czerwca 1898 r., zm. 27 marca 1972 r.). Byli, lub są, jeszcze inni – Makoto Nakamura, Marjorie Rice, Robert Fathauer, Rinus Roelofs. Wśród polskich artystów prace Wacława Szpakowskiego (1883–1973) wykorzystują teselacje bogatych motywów liniowych. W archiwach prac Henryka Siemiradzkiego (1843–1902) znajdziemy również bardzo interesujące i kompletnie nieznane rysunki wykorzystujące teselacje na kole.

Wielokątami i teselacjami interesowali się matematycy od starożytności. Spotykamy je u Pitagorejczyków, Platona, a później u Keplera, Hilberta, Eulera i wielu innych. W matematyce współczesnej mamy bardzo bogaty nurt badań wielokątów i teselacji. Tu lista badaczy oraz tematów jest już gigantyczna. Znakomite podsumowanie tych badań znajdziemy w monografii Tilings and Patterns autorów Grünbauma i Shepharda (1984 r.). Od czasu wydania monografii Grünbauma powstało wiele ciekawych przyczynków dotyczących wielokątów i temat ciągle się rozwija. Mamy między innymi bardzo ciekawe teselacje rodem z krystalografii, z którymi wiążą się prace sir Rogera Penrose’a, Roberta Ammanna, Marjorie Senechal i wielu innych.

Desenie są badane z dwóch stron. Zajmują się nimi nie tylko matematycy, ale również artyści. Tu warto nadmienić bogaty nurt literatury na temat tworzenia wzorów na kanwie geometrycznych teselacji. Najciekawsze teksty na ten temat powstawały w okresie międzywojennym, a ich autorami byli Lewis Day (1933 r.) oraz Amor Fenn (1930 r.). Tu również należy nadmienić polskiego naukowca, profesora Stanisława Jaśkowskiego (1952 r.). Jego monografia jest jedną z nielicznych polskich publikacji na temat symetrii i deseni. W dalszych tekstach z tej serii często będę korzystał z terminologii wprowadzonej przez Jaśkowskiego, m.in. termin „deseń” jako ornament zbudowany na teselacji pochodzi od niego.

Wreszcie warto nadmienić, że gereh, czyli ornament geometryczny w sztuce islamu, jest również deseniem zbudowanym na teselacjach z wykorzystaniem odpowiednich aksjomatów. Podobnie deseniami są skomplikowane maswerki gotyku.

Teselacja z jaskini w Blombos

Niewątpliwie odcinek i wielokąt są najstarszymi elementami geometrii ziemskich cywilizacji. Są to najdawniejsze elementy dekoracyjne wyrobów ludowych. Odkryta w roku 1991 jaskinia Blombos w Afryce Południowej zadziwiła badaczy interesującymi znaleziskami z okresów od 100 000 do 70 000 oraz 2000 do 300 lat przed czasami współczesnymi (dokładniej – przed rokiem 1950). Są nimi m.in. malowidła i prymitywne sztychy wycinane w ochrze. Ochra jest minerałem z dużą zawartością tlenków żelaza. Stąd mamy ten specyficzny brązowy kolor. Sproszkowane minerały ochry służyły do produkcji charakterystycznego pigmentu, którego barwę określamy jako ochra. Ochra jako barwnik występuje w większości starych kultur. Znał ją i używał człowiek neandertalski. Ochra była używana przez społeczności paleolitu, mezolitu i neolitu do konserwacji i obróbki skór oraz jako barwnik wyrobów artystycznych. Również współcześnie jest ważnym elementem palety artystów. Wróćmy jeszcze na chwilę do jaskini Blombos. Znaleziono tam kilka kawałków ochry zdobionych elementami geometrycznymi. Jeden z nich pokazany jest na załączonej tu rycinie. Odkrywcy tych znalezisk piszą: Niektóre ze znalezionych kawałków ochry były celowo grawerowane lub nacinane i możemy uważać, że stanowią swego rodzaju wczesne abstrakcyjne i symboliczne przedstawienia. Są to najbardziej skomplikowane i wyraziste elementy wczesnej sztuki abstrakcyjnej (wolne tłumaczenie fragmentu wypowiedzi jednego z badaczy znalezisk w jaskini Blombos). Więcej na temat odkryć w jaskini Blombos znajdziemy w angielskiej wersji Wikipedii.

Co zobaczy matematyk na kawałku ochry z Blombos?
Mamy tu najstarszą z dotychczas znalezionych teselację trójkątami. Można tu zidentyfikować trójkąty zbliżone do równobocznych oraz sześciokąty zbliżone do foremnych.

Czasy starożytne

Nie ulega żadnej wątpliwości, że starożytni Grecy znali własności wielokątów, m.in. wielokątów foremnych, ale oni bardziej pasjonowali się wielościanami zbudowanymi z wielokątów, w tym z wielokątów foremnych. Jestem pewien, że większość Czytelników zna 
tzw. bryły platońskie oraz mniej popularne bryły archimedesowe. Jak zauważyło wielu autorów, historyków matematyki, Elementy Euklidesa są tak skonstruowane, aby przygotować grunt do opisania brył platońskich. Księga XIII dzieła Euklidesa zawiera wiele interesujących konstrukcji dotyczących brył platońskich, między innymi konstrukcję dwunastościanu foremnego, który, jak wiemy, jest zbudowany z dwunastu pięciokątów foremnych. Wielokąty foremne występują w pracach kilku innych starożytnych matematyków.

 Uważny Czytelnik zauważył zapewne, że każda z tych brył wykorzystuje dokładnie jeden rodzaj wielokąta foremnego. Mamy tu ich zresztą niewiele – trójkąt równoboczny, kwadrat oraz pięciokąt foremny. Okazuje się, że są to jedyne bryły o takiej własności. Innych brył zbudowanych tylko z jednego wielokąta foremnego nie znajdziemy. 

Jeśli zdecydujemy się użyć do konstrukcji wielościanu dwu lub więcej rodzajów wielokątów foremnych, to nasze możliwości staną się znacznie ciekawsze. Powstaną w ten sposób między innymi bryły archimedesowe. Nie mamy wprawdzie żadnego dokumentu Archimedesa opisującego te bryły, ale wiemy, że Papus z Aleksandrii (ok. 290–350 r.n.e.), jeden z ostatnich wielkich matematyków starożytnej Grecji, wspomina 13 brył Archimedesa. Dalej mamy wiele innych rodzajów brył, ale to już zupełnie inna historia. Nas, tym razem, interesują tylko wielokąty i teselacje.

Dürer i jego geometria

Dürer (1471–1528) to już czasy renesansu. Dürer jest uważany za najważniejszego i najbardziej wpływowego artystę północnego renesansu. Urodził się w Norymberdze. Znany jest zarówno z licznych dziełmalarskich, jak i z badań z zakresu geometrii. Jego cztery księgi zatytułowane Underweysung der Messung mit dem Zirckel und Richtscheyt zawierają liczne konstrukcje geometryczne, w tym konstrukcje wielu wielokątów foremnych lub tylko równoramiennych. Interesujące jest to, że wspomniane tu księgi były pisane w języku niemieckim, a nie w łacinie. Co więcej, w celu lepszego przedstawienia tematu, a zatem również użyteczności swojego dzieła, Dürer używa języka stosowanego przez lokalnych rzemieślników. Druga z wymienionych przed chwilą ksiąg była poświęcona wielokątom foremnym i jest w dużym stopniu oparta na pracach Ptolemeusza.

Teselacje Keplera

Johanes Kepler (1580–1...

Artykuł jest dostępny dla zalogowanych użytkowników w ramach Otwartego Dostępu.

Załóż konto lub zaloguj się.
Czeka na Ciebie pakiet inspirujących materiałów pokazowych.
Załóż konto Zaloguj się

Przypisy