Najpierw pokażemy, jak tworzy się wielościany Archimedesa skonstruowane na bazie złotego podziału odcinka, bowiem tak powstają wielościany jednorodne symetrii dwunastościennej i dwudziestościennej.
POLECAMY
Powszechnie znana jest konstrukcja dwudziestościanu foremnego powstałego z trzech złotych prostokątów. Przypomnijmy – kreślimy w programie SketchUp złoty prostokąt narzędziem Rectangle, z wyborem złotego podziału (golden ratio), a następnie tworzymy jego trzy kopie wzajemnie prostopadłe, przedstawione na ryc. 1. Wierzchołki tak uformowanych prostokątów stanowią wierzchołki dwudziestościanu
foremnego – ryc. 2.
Na bazie tego wielościanu skonstruujemy w programie SketchUp kilka brył Archimedesa.
Najpierw na każdej trójkątnej ścianie dwudziestościanu utworzymy trójkąt równoboczny, którego wierzchołkami są środki boków jego trójkątnej ściany. Wyróżnijmy je kolorem – na ryc. 4 pomalowano je na niebiesko.
Teraz usuwamy narzędziem Erase krawędzie dwudziestościanu, tworząc w ten sposób pięciokątne otwory – ryc. 5. Zasłaniamy je poprzez kreślenie w każdym pięciokącie dwóch przekątnych. Otrzymujemy pięciokątne ściany, które na ryc. 6 pomalowane są na zielono.
Wykreślone wcześniej przekątne ukrywamy narzędziem Hide, wywołanym z menu kontekstowego po wskazaniu odcinka i wciśnięciu prawego klawisza myszy.
W ten sposób uzyskujemy dwudziestodwunastościan – jeden z trzynastu wielościanów Archimedesa.
Drugą bryłą, którą można uzyskać z dwudziestościanu, jest dwudziestościan ścięty. Uzyskamy ją, dzieląc każdą krawędź dwudziestościanu na trzy równe odcinki. Taki podział otrzymamy po kliknięciu prawym przyciskiem myszy w daną krawędź i wybraniu narzędzia Divide.
Następnie łączymy punkty podziału krawędzi dwudziestościanu odcinkami, uzyskując na jego ścianach sześciokąty foremne.
Po usunięciu krawędzi dwudziestościanu otrzymamy otwory pięciokątne, które zamykamy, tworząc w sumie wielościan o dwudziestu ścianach sześciokątnych i dwunastu pięciokątnych – ryc. 10. Taki kształt przyjmuje piłka uszyta do rozgrywek w piłce nożnej.
Podobnie na bazie dwunastościanu foremnego skonstruujemy dwunastościan ścięty. W tym celu wybieramy jedną z jego ścian (na ryc. 11 jest to ściana żółta), znajdujemy jej środek obrotu, po czym prowadzimy przez ten środek i środek dwunastościanu prostą, która jest prostopadła do wybranego pięciokąta.
Obróćmy pięciokąt wokół tej prostej o kąt o mierze 36° – ryc. 12. Kompozycja tych dwóch pięciokątów utworzyła dziesięciokąt wpisany w pięciokąt. Usuwamy zbędne odcinki narzędziem Erase i wyróżniamy dziesięciokąt wybranym kolorem – na ryc. 13 jest on niebieski. Teraz wystarczy go utworzyć na pozostałych ścianach dwunastościanu.
Są dwa sposoby na przeniesienie skonstruowanego dziesięciokąta na pozostałe 11 ścian dwunastościanu. Jeden z nich polega na obracaniu dziesięciokąta wokół wybranych osi, a drugi na kreśleniu okręgów na każdej ścianie o środkach w wierzchołkach ścian przechodzących przez odpowiedni punkt – ryc. 14.
Pierwsza metoda może doprowadzić do błędu z powodu niedokładnie wybranej osi lub niedokładnego obrotu.
Druga, trochę „szkolna” metoda jest czasochłonna, ale z powodzeniem doprowadza do wyniku końcowego – dwunastościanu ściętego (ryc. 16).
Wielościany te posłużą nam w kolejnych artykułach do tworzenia wielościanów jednorodnych symetrii dwunastodwudziestościennej.
