Prześledźmy to na przykładzie.
POLECAMY
Dany jest pięciokąt foremny ABCDE. Wystawmy w wierzchołku B prostą prostopadłą do boku AB. Niech P będzie punktem przecięcia tej prostej z odcinkiem CD. Zmierzmy odcinki DP i CP. Odczytajmy wartość ilorazu |DP| / |PC|. Okazuje się, że iloraz ten wynosi… 1,618033988749894.
Odczytany wynik świadczy o tym, że prosta wystawiona w wierzchołku pięciokąta prostopadła do boku, do którego należy ten bok, dzieli odcinek DC w sposób złoty. Udowodnijmy to twierdzenie.
W tym celu poprowadźmy przekątną BD. Wiadomo, że w każdym pięciokącie foremnym każda przekątna jest równoległa do odpowiedniego boku tego pięciokąta. W tym wypadku BD||AE.
W pięciokącie foremnym stosunek długości dowolnej przekątnej do długości boku przyjmuje zawsze wartość złotej liczby.
Zatem: |BD| / |BC| ≈ 1,618033... = Φ. Przedłużmy odcinek AB.
Ponieważ |∠EAB| = 108º, również |∠DBF| = 108º.
Ponieważ BP jest prostopadły do AB, więc |∠DBP| =18º.
Z takich samych powodów: |∠CBP| = 18º. Te fakty oznaczają, że BP jest dwusieczną kąta DBC. Z twierdzenia o odcinkach, na jakie dwusieczna dzieli odcinek przeciwległy CD w trójkącie BCD,
wynika, że: |DP|/|PC| = |DB|/|BC| = Φ. (cbdu)
Wiemy, że pięciokąt foremny jest pięciokątem złotym, czyli takim, w którym przekątne dzielą się ze sobą w złotej proporcji. Gdy przekształcimy taki pięciokąt w powinowactwie prostokątnym tak, jak to ilustruje ryc. 3 konstrukcji Cabri II PLUS, wówczas podział przekątnych nadal będzie zachowany jako złoty. Podobnie prosta wystawiona z wierzchołka A dzieli odcinek BC punktem M w sposób złoty. Powodem tego jest zachowanie podziału odcinka w przekształceniach afinicznych, a powinowactwo prostokątne takim jest. Natomiast prosta wystawiona z innego wierzchołka takiego złotego pięciokąta nie dzieli już żadnego innego
boku w sposób złoty.
