Dołącz do czytelników
Brak wyników

Matematyka inaczej

10 września 2018

NR 26 (Maj 2017)

Sieci płaskie a parkietaże

0 217

Sieci płaskie mają wiele wspólnego z parkietażami. W tym cyklu artykułów pokażemy drogę, która poprowadzi nas od sieci płaskich do parkietaży – nie zawsze tak znanych, albo też i nowych, a czasem zaskakujących. Pojawi się też aspekt trzeciego wymiaru.

Parkietaże to wdzięczny temat na lekcję z geometrii. Budowane są one najczęściej z wielokątów foremnych. Już Hugo Steinhaus w „Kalejdoskopie matematycznym” wspomniał, że można zbudować 11 parkietaży jednorodnych, czyli takich, w których wierzchołki są jednakowe, i nieskończenie wiele niejednorodnych, które są równie interesujące. W tym cyklu artykułów rozważymy zasady budowania parkietaży regularnych, czyli takich, które posiadają tożsame translacje w dwóch kierunkach i mają przynajmniej trzykrotne środki obrotów. Zatem jeden z 11 parkietaży jednorodnych nie jest, według tego określenia, regularny.

Parkietaże regularne są nieskończenie wielkimi obiektami geometrycznymi. Najlepszymi schematami pomocnymi przy ich budowie są regularne sieci płaskie (krótko: sieci 2D). Znane są trzy sieci foremne: sieć kwadratowa, trójkątna i sześciokątna (ryc. 1). 


Warto zauważyć, że sieć sześciokątna jest podsiecią sieci trójkątnej.

Pytanie: jaka część węzłów i wiązań sieci trójkątnej jest wykorzystywana w podsieci sześciokątnej?

Również podsieci sieci foremnych mogą posłużyć jako schemat do budowy parkietaży regularnych. Sieć kwadratowa ma tylko jedną podsieć, w której wierzchołki są przystające. W aktywnych wierzchołkach stykają się trzy wiązania.

Więcej podsieci ma sieć trójkątna. Na ryc. 2 pokazane są wszystkie możliwe ich wierzchołki: jeden z jednym wiązaniem nieaktywnym, trzy z dwoma wiązaniami nieaktywnymi i dwa z trzema.

Węzeł oznaczony 3a jest, oczywiście, węzłem sieci sześciokątnej.

Pytanie: jakie regularne i jednorodne podsieci są możliwe z węzłami pokazanymi powyżej? W następnym numerze pokażę te podsieci, które są mi znane. Zainteresowani czytelnicy mogą w międzyczasie popróbować swoich sił w ich poszukiwaniu. Można to robić np. przy użyciu zapałek, co może być świetną zabawą rozwijającą kreatywność. 

Może ktoś znajdzie podsieć, która jest mi jeszcze nieznana. W tym numerze przyjrzymy się dokładniej sieci kwadratowej. Jest ona jedyna w swoim rodzaju, gdyż jej właściwości wiążą się głównie z kwadratem. 
Sieć odwrotna (dualna) jest też siecią kwadratową. Obszar oddziaływania każdego węzła, zwany komórką Dirichleta-Woronoja lub komórką Wignera-Seitza1 lub też strefą Brillouina, jest kwadratem. Także obszar oddziaływania każdego wiązania jest kwadratem. Również w jedynej jej podsieci widzimy dwa różne kwadraty (ryc. 3).

Sieć ta przypomina kafelkowanie z przesuniętymi krawędziami (ang. non-edge-to-edge tiling), gdzie używa się dwóch płytek kwadratowych o różnej wielkości.

Wszystkie węzły tej podsieci są przystające, ale wiązania mają dwa różne usytuowania. Jest to widoczne, gdy narysujemy komórki Dirichleta-Woronoja (ryc. 4) i obszary oddziaływania wiązań (ryc. 5).

Interesujący parkietaż możemy utworzyć, łącząc ze sobą środki sąsiednich wiązań podsieci kwadratowej (ryc. 6).

Generowanie parkietaży na ka...

Pozostałe 70% treści dostępne jest tylko dla Prenumeratorów.

Co zyskasz, kupując prenumeratę?
  • 6 wydań czasopisma "Matematyka"
  • Dostęp do wszystkich archiwalnych artykułów w wersji online
  • Możliwość pobrania materiałów dodatkowych, testów i zadań
  • ...i wiele więcej!
Sprawdź

Przypisy