Parkietaże to wdzięczny temat na lekcję z geometrii. Budowane są one najczęściej z wielokątów foremnych. Już Hugo Steinhaus w „Kalejdoskopie matematycznym” wspomniał, że można zbudować 11 parkietaży jednorodnych, czyli takich, w których wierzchołki są jednakowe, i nieskończenie wiele niejednorodnych, które są równie interesujące. W tym cyklu artykułów rozważymy zasady budowania parkietaży regularnych, czyli takich, które posiadają tożsame translacje w dwóch kierunkach i mają przynajmniej trzykrotne środki obrotów. Zatem jeden z 11 parkietaży jednorodnych nie jest, według tego określenia, regularny.
POLECAMY
Parkietaże regularne są nieskończenie wielkimi obiektami geometrycznymi. Najlepszymi schematami pomocnymi przy ich budowie są regularne sieci płaskie (krótko: sieci 2D). Znane są trzy sieci foremne: sieć kwadratowa, trójkątna i sześciokątna (ryc. 1).
Warto zauważyć, że sieć sześciokątna jest podsiecią sieci trójkątnej.
Pytanie: jaka część węzłów i wiązań sieci trójkątnej jest wykorzystywana w podsieci sześciokątnej?
Również podsieci sieci foremnych mogą posłużyć jako schemat do budowy parkietaży regularnych. Sieć kwadratowa ma tylko jedną podsieć, w której wierzchołki są przystające. W aktywnych wierzchołkach stykają się trzy wiązania.
Więcej podsieci ma sieć trójkątna. Na ryc. 2 pokazane są wszystkie możliwe ich wierzchołki: jeden z jednym wiązaniem nieaktywnym, trzy z dwoma wiązaniami nieaktywnymi i dwa z trzema.
Węzeł oznaczony 3a jest, oczywiście, węzłem sieci sześciokątnej.
Pytanie: jakie regularne i jednorodne podsieci są możliwe z węzłami pokazanymi powyżej? W następnym numerze pokażę te podsieci, które są mi znane. Zainteresowani czytelnicy mogą w międzyczasie popróbować swoich sił w ich poszukiwaniu. Można to robić np. przy użyciu zapałek, co może być świetną zabawą rozwijającą kreatywność.
Może ktoś znajdzie podsieć, która jest mi jeszcze nieznana. W tym numerze przyjrzymy się dokładniej sieci kwadratowej. Jest ona jedyna w swoim rodzaju, gdyż jej właściwości wiążą się głównie z kwadratem.
Sieć odwrotna (dualna) jest też siecią kwadratową. Obszar oddziaływania każdego węzła, zwany komórką Dirichleta-Woronoja lub komórką Wignera-Seitza1 lub też strefą Brillouina, jest kwadratem. Także obszar oddziaływania każdego wiązania jest kwadratem. Również w jedynej jej podsieci widzimy dwa różne kwadraty (ryc. 3).
Sieć ta przypomina kafelkowanie z przesuniętymi krawędziami (ang. non-edge-to-edge tiling), gdzie używa się dwóch płytek kwadratowych o różnej wielkości.
Wszystkie węzły tej podsieci są przystające, ale wiązania mają dwa różne usytuowania. Jest to widoczne, gdy narysujemy komórki Dirichleta-Woronoja (ryc. 4) i obszary oddziaływania wiązań (ryc. 5).
Interesujący parkietaż możemy utworzyć, łącząc ze sobą środki sąsiednich wiązań podsieci kwadratowej (ryc. 6).
Generowanie parkietaży na kanwie regularnych sieci 2D jest dość łatwe. Pokażemy to na przykładzie sieci kwadratowej. Do budowy parkietażu należy użyć płytek posiadających symetrię kwadratu, np. o kształcie ośmiokąta foremnego. Płytki te układamy tak, aby ich środki pokrywały się z punktami węzłowymi sieci kwadratowej. Wielkość płytek należy dobrać tak, aby boki dwóch sąsiednich płytek stykały się ze sobą na całej długości.
Wolne pola wypełniamy płytkami kwadratowymi. W tym trywialnym przykładzie powstaje znany parkietaż półforemny, oznaczony 4-8-8.
Na takim parkietażu można dokonać operacji ekspansji – ośmioboki należy tak rozsunąć, aby między każde dwa sąsiednie ośmioboki można było wstawić kwadrat. Wolne pola uzupełniamy ośmiokątami foremnymi.
W rezultacie otrzymujemy wyjątkowo ten sam parkietaż 4-8-8 co parkietaż wyjściowy!
Do ekspansji zamiast kwadratów możemy użyć dwóch trójkątów równobocznych złączonych bokiem lub rombu o kącie ostrym 60°. Ta operacja wprowadza opcję skręcenia. Powstają przy tym parkietaże, które w większości przypadków nie mają osi symetrii, a jedynie środki obrotu. Na ryc. 6 pokazany jest przykład z ośmiokątami foremnymi.
W parkietażu przedstawionym na rycinie 7 dwie płytki trójkątne można zastąpić jedną płytką rombową. Parkietaże ze skręceniem mają zazwyczaj dwie formy chiralne.
Notabene, w wielu wielościanach wypukłych dość często występują dwa trójkąty równoboczne połączone jednym bokiem lub też romby o kącie ostrym 60°. Niektórzy specjaliści od wielościanów, tacy jak Steve Waterman, Roger Kaufman, Alex Doskey i A.V. Timofeenko, uważają nawet, że wielościany Johnsona należałoby uzupełnić o wielościany wypukłe zawierające takie romby, które nazywają „złotymi diamentami”.
Zainteresowanym polecam dwie strony internetowe: //watermanpolyhedron.com/dsolids.html i //tupelo-schneck.org/polyhedra/.
